HIT 第三章 ◆能控性指数 完全能控的线性定常系统,A和B分别是n×n和 xP的常值矩眸 B:AB AB k 定义 A B 为nXkp常阵,其中k为正整数。系统能控,当k=n 时,Q即为能控性矩阵Q,且 ranko。=n,现在,依次 将k由1增加,直到使 ranko=n,那么,便称这个使 成立 ranke=n的k的最小正整数为系统的能控性指 数。 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 026
第三章 定义： 完全能控的线性定常系统， 和 分别是 和 k k n = u能控性指数 为 常阵，其中 为正整数。系统能控，当 Q n n p ´ n ´ k p 时， 即为能控性矩阵 ，且 ，现在，依次 2 1 k Q k B A B A B A B - = é ù ë û L 的常值矩阵。 A B n n ´ Qc c ra n kQ n = 将 k 由 1 增加，直到使 ra n kQ n m = ，那么，便称这个使 成立 ra n kQ n k = 的 k 的最小正整数 为系统的能控性指 数。 m 026
HIT 第三章 估计能控性指数的一个关系式 令:nkB=r≤p 则 ≤p≤n-r+1 推论 ①对于单输入系统,也即P=1时,系统的能控性指数为 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 027
第三章 估计能控性指数 的一个关系式 1 n n r p £ m £ - + 令： 则 rankB = £ r p m 推论： m = n ①对于单输入系统，也即 p = 1 时，系统的能控性指数为 。 027
HIT 第三章 画②对线性定常系统,可导出简化的能控性的秩判据为:系统 完全能控的充分必要条件是: rank@n-n+l =rank B: AB A B=n ③令n为矩阵A的最小多项式的次数,且必有n≤n,则 通能控性指数的估计不等式可进而表为: ≤≤min(n,n-r+ 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 028
第三章 n ②对线性定常系统，可导出简化的能控性的秩判据为：系统 A 完全能控的充分必要条件是： 1 n r n r rankQ rank B AB A B n - - + = = é ù ë û L ③令 为矩阵 的最小多项式的次数，且必有 ，则 能控性指数 的估计不等式可进而表为： n n £ m min( , 1) n n n r p £ m £ - + 028
HIT 第三章 矩阵A的最小多项式v()是使V(A)=0成立的次数最 低的首系数为1的多项式。 V(A=A"+aA++aA+al=0 ④将C4表为 且依次从左至右搜索Q中的n个线性无关的列,若某个列 不能表为其左方各列之线性组合,则为线性无关,否则便是 线性相关。考虑到B的秩为r,故可将得到的n个线性无 关的列重新排列如下 佥黔爾成z紫火 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 029
第三章 矩阵 A 的最小多项式 是使 y ( A) 0 = 成立的次数最 低的首系数为 1 的多项式。 y( )s 1 1 1 0 ( ) 0 n n y A A a n A a a A I - = + - + L + + = Qm n ④将 表为 且依次从左至右搜索 Qm 中的 个线性无关的列，若某个列 1 1 1 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , Q p p p b b b Ab Ab Ab A b A b A b m m m m - - - =é ù ë û L L L L n 不能表为其左方各列之线性组合，则为线性无关，否则便是 线性相关。考虑到 B 的秩为 r ，故可将得到的 个线性无 关的列重新排列如下： 029
HIT 第三章 b,Ab,…A-1b,bAb AH2-b bAb…AH-b r 且对能控系统显然有 n 而能控性指数μ满足关系式: u= max r 2 通常,称{1,H2…,H4}为系统(A.B)的能控 性指数集 佥爾液z萦火学 HARBIN INST I TUTE OF TECHNOLOGY 030
第三章 m = max {m1 2 , m m , L , , r } 1 2 r m + m m + L + = n 且对能控系统显然有： 而能控性指数 m 满足关系式： 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 , , , ; , , , ; ; , , , r r r r b Ab A b b Ab A b b Ab A b m m m - - - L L L L L 通常，称 {m1 2 , m m , L , , r }为系统 (A B, ) 的能控 性指数集。 030