第一讲立体图形及展开 同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体,从这一讲开始我们将 一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题,帮助大家提高观察能力 和空间想像能力,以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和 正方体的特征及展开图 例题选讲 例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢 复成原来的正方体,图中的点F、点G分别与哪个点重合? 【分析与解答】为了研究方便,我们将正方体六个面 Bir 就是上面,(如图2)从图中不难看出点与点,重小￥ 分别标上序号1、2、3、4、5、6,如果将1作为底面 那么4就是后面,5为右面,6为前面,2则是左面,3 Eus 展开图,折一折,结果就一目了然了,同学们不妨试 试吧! 例2:一只小虫从图1所示的长方体上的A点出发,沿长 方体的表面爬行,依次经过前面、上面、后面、底面 最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线 【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行,所 芦 以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成 平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段 图 长度最短”,所以连接AP,则线段AP为小虫爬行的最短路线。 练习与思考 1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果 将这个展开图恢复成原来的正方体,图中的点B、点D分别与哪个点 重合? 2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块,一只蚂蚁从A点沿表A 面爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问:这样的路线共有几条? 3.将一张长方形硬纸片,剪去多余部分后,折叠成一个棱长为1厘米的正方体。这张 长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米? 4.一块长方形的铁皮,长28厘米,在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正 方形,然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是960 立方厘米,求原来长方形铁皮的面积 28厘米 5如图所示的是一个正方体木块的表面展开图,若在正方体的各面填上 数,使其对面两数之和为7,则A、B、c处填的数各是多少?
第一讲 立体图形及展开 同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将 一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力 和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和 正方体的特征及展开图 例题选讲 例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢 复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合? 【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面 分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面， 那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3 就是上面，(如图2)。从图中不难看出点F与点N，重 合，点G与点S重合。还有一种方法就是动手制作一张 展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试 试吧! 例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长 方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面， 最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。 【分析与解答】 因为小虫在长方体的表面爬行，所 以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成 平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段 长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线。 练习与思考 1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果 将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点 重合? 2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表 面爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条? 3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张 长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米? 4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正 方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是960 立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。 5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上 数，使其对面两数之和为7，则A、B、c处填的数各是多少?
第二讲长方体和正方体的表面积 在数学竞赛中,有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。这些知识不仅 有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体表面积的问题时,需要 同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力,另外还要掌握一些解题的 思路和技巧。 例题选讲 例1:一个长方体,前面和上面的面积之和是88平方厘米,这个长方体的长、宽、高是 以厘米为单位的数,且都是质数,求这个长方体的表面积。 【分析与解答】要求长方体的表面积,就要求长方体的长、宽、高。根据题意,前面 与上面的面积之和是88平方厘米,也就是长×高+长x宽=88,即长×(高+宽)=88因为 长、宽、高都是质数,我们把88分解质因数得88=1×2×2×2,依题意,11不能分成 两个质数和,经试验,有两种情况符合条件,(1)11×(3+5):88(2)2×(41+3)-88 因此长方体的表面积可以有两种情况 解:88-11×2X2×2,2×2×2:3+5,11×2×2-41+3。长方体的表面积:(1)(11 ×3+11×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x41+41×3)×2-422(平方厘米) 例2:如图,将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体, 求这个长方体的表面积。 【分析与解答】仔细观察图形,不难看出3个正方体块粘成1个长方体,{… 共有2个粘接处,每一处都有2个面粘在一起,两处共粘去4个面,因此 粘成的长方体的表面积等于(6×3-4)个面的面积,即24÷6×(6x3-4)=56(平方厘 米) 例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形,其中 有一些正方体看不见,那么这个立体图形的表面积是多少? 【分析与解答】仔细观察图形,虽然这个立体图形是不规则的,但是从前 面看到的面与从后面看到的面个数是相等,同理从左、右看到的面个数是 相等的,从上、下看到的面是一致的,所以这个立体图形的表面积等于(前 面十上面+左面)×2,即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。 练习与思考 1.有一个长方体,前面和上面两个面面积和为209平方厘米,并且长、宽、高都是以 厘米为单位的数,且都是质数,求这个长方体的表面积。 2.将两个长都是8厘米,6厘米,高都是5厘米的长方体拼成一个大长方 体,那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米? 如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形,求它 的表面积。 4有一个长方体,长是8厘米,宽是4厘米,高是6厘米,把它截成棱长是2厘米的若干 个小正方体,这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?
第二讲 长方体和正方体的表面积 在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。这些知识不仅 有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体表面积的问题时，需要 同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的 思路和技巧。 例题选讲 例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是 以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。 【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。根据题意，前面 与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为 长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成 两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88， 因此长方体的表面积可以有两种情况。 解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。长方体的表面积：(1)(11 ×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平方厘米) 例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体， 求这个长方体的表面积。 【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体， 共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此 粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘 米)。 例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中 有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少? 【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前 面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是 相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前 面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。 练习与思考 1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以 厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。 2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方 体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米? 3.如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它 的表面积。 4.有一个长方体,长是8厘米,宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干 个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?
第三讲长方体和正方体的体积 前一讲,我们研究了长方体和正方体表面积的计算,其实在数学竞赛中,有关长 方体和正方体体积的知识也很重要。学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能 力和空间想像能力 例题选讲 例1:如图,一个长方体木块,从上部和卞靠分别截去高2厘米和3厘米的长方体后, 便成为一个正方体,表面积减少了100平方厘米,原来长方体的体积是多少立方 厘米? 【分析与解答】仔细观察右图,截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的 侧面积,也就相当于减少的是高为(2+3)厘米的长方体的侧面积,因此高为5厘米的长 方体每个侧面积是100÷4-25(平方厘米),那么长方体底面正方形的边长就是25÷ 5=5(厘米),所以原长方体的体积是:5×5×(2+5+3)=250(立方厘米) 例2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体,已知长方体棱长总和是96厘米, 每块正方体木块的体积是多少立方厘米? 【分析与解答】根据题意,两个正方体棱长共有12×2=24(条)。当它们拼在一起成为一个长方体 时,由于两个面重合,也就减少了4×2=8(条)棱长,实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于 248=16(条)正方体棱长总和,因此每条正方体棱长为96÷16=6(厘米),则每块正方体木块的体 积是:6×6×6=216(立方厘米) 例3:如图,正方体的棱长为4厘米,分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边 长1厘米的正方形小孔直至对面,求它的体积。 【分析与解答】仔细观察图形,每个凿去的小长方体体积均为:1×1×4=4(立方厘 米),共凿小长方体3个,即4×3=12(立方厘米),而实际上由于正中间相交,重 复凿去了2个1立方厘米的正方体小块,因此,这个物体的体积是4×4×4-12+1m 2=54(立方厘米)。 练习与思考 1.把一个长方体的长平均分成4段,每段长6厘米,表面积增加24平方厘米, 求原长方体的体积。 2.用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体,这个长方体的棱长总和是 80厘米,每个正方体的体积是多少立方厘米? 3.如图,在一个棱长为20厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置,分别凿 个边长为4厘米的正方形小孔直至对面,做成玩具,求这个玩具的 4.一个长方体,它的前面和上面的面积之和是156平方厘米,并且 长、宽 高都是质数,这个长方体的体积是多少? 5.一个表面积是36。平方厘米的长方体,它恰好可以切成两个相同 的正方体,每个小正方体的体积是多少立方厘米? 6. 个长方体,它的底面是一个正方形,它的表面积是190平方厘米,如 果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体,则两个长方体的表面积之和是240 平方厘米,求原来长方体的体积
第三讲 长方体和正方体的体积 前一讲，我们研究了长方体和正方体表面积的计算，其实在数学竞赛中，有关长 方体和正方体体积的知识也很重要。学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能 力和空间想像能力。 例题选讲 例 1:如图，一个长方体木块，从上部和卞靠分别截去高 2 厘米和 3 厘米的长方体后， 便成为一个正方体，表面积减少了 100 平方厘米，原来长方体的体积是多少立方 厘米? 【分析与解答】仔细观察右图，截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的 侧面积，也就相当于减少的是高为(2+3)厘米的长方体的侧面积，因此高为 5 厘米的长 方体每个侧面积是 100÷4—25(平方厘米)，那么长方体底面正方形的边长就是 25÷ 5=5(厘米)，所以原长方体的体积是：5×5×(2+5+3)=250(立方厘米)。 例 2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96 厘米， 每块正方体木块的体积是多少立方厘米? 【分析与解答】根据题意，两个正方体棱长共有 12×2=24(条)。当它们拼在一起成为一个长方体 时，由于两个面重合，也就减少了 4×2=8(条)棱长，实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于 24—8=16(条)正方体棱长总和，因此每条正方体棱长为 96÷16=6(厘米)，则每块正方体木块的体 积是：6×6×6=216(立方厘米)。 例 3:如图，正方体的棱长为 4 厘米，分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边 长 1 厘米的正方形小孔直至对面，求它的体积。 【分析与解答】仔细观察图形，每个凿去的小长方体体积均为：1×1×4=4(立方厘 米)，共凿小长方体 3 个，即 4×3=12(立方厘米)，而实际上由于正中间相交，重 复凿去了 2 个 1 立方厘米的正方体小块，因此，这个物体的体积是 4×4×4—12+1 ×2=54(立方厘米)。 练习与思考 1．把一个长方体的长平均分成 4 段，每段长 6 厘米，表面积增加 24 平方厘米， 求原长方体的体积。 2．用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是 80 厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米? 3．如图，在一个棱长为 20 厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置，分别凿 一个边长为 4 厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求这个玩具的 4． 一个长方体，它的前面和上面的面积之和是 156 平方厘米，并且 长、宽、 高都是质数，这个长方体的体积是多少? 5．一个表面积是 36。平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同 的正方体，每个小正方体的体积是多少立方厘米? 6． 一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是 190 平方厘米，如 果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积之和是 240 平方厘米，求原来长方体的体积
第四讲水面高度变化和等积变换 水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题,是指把一个物体放入盛水的长方 体或正方体容器中,水面将上升:或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出,水面会 下降一类的问题。解答时,同学们要仔细观察水面高度变化的现象,发挥空间想像力,发现体积 变化的规律,从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换,改造成另一种形状 的物体,虽然形状变了,但是体积没有发生变化。解答时,应该抓住体积不变这一突口,再根据 实际问题进行认真分析,从而寻求解决问题的方法。 例题选讲 例1:在一个长25分米,宽20分米的长方体容器中,有15分米深的水。如果在水中 沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块,那么容器中水深多少分米?、 【分析与解答】根据题意,正方体铁块沉入长方体容器中后,水面会上升,而上升部分的水的体 积与正方体铁块的体积相等,因此就可以求出上升部分水的高度,那么现在的水深就迎刃而解了 解:50厘米一5分米 5÷(25X20)+15 =0.25+15 =15.25(分米) 答:容器中水深15.25分米 例2:一个长方体水箱,底面是一个边长为50厘米的正方形。水箱里直立着一个高10 分米,底面边长是25厘米的长方体铁块,这时水箱里的水深6分米。现在把铁块轻 轻地向上提起20厘米,那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长 多少厘米? 【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下 降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的20厘米的铁块的体积,因此水面下降的高 度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。 解:25×25×20÷(50×50)+20 =5+20 练子 1.在一个长20分米,宽15分米的长方体容器中,有20分米深的水。现在在水中沉 入一个棱长15分米的正方体铁块,这时容器中的水深多少分米? 2.一个长方体容器.,长90厘米,宽40厘米。容器里直立着一个高1米,底面边长 是15厘米的长方体铁块,这时容器里的水深0.5米。 3.一个棱长6分米的正方体容器,装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长12 分米,宽6分米,高5分米的长方体水槽中,求现在长方体水槽中水面到水槽口的距 离 4.现在把铁块轻轻向上提起24厘米,那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少 厘米? 5.一个长方体水箱,从里面量长8分米,宽6分米。先倒入165升水,再浸入一块 棱长3分米的正方体铁块,这时水面离水箱口1分米。问:这个水箱的容积是多少? 6.在一个长15分米,宽12分米的长方体容器中,水深10分米。如果在水中浸入 个棱长是30厘米的正方体铁块,那么,容器中水深多少分米? 7.有大、中、小三个底面是正方形的水池,它们底面的边长分别是5米、3米、 2米,把两堆碎石分别沉人中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高6厘米和4 厘米。如果将这两堆碎石都沉人大水池的水里,大水池的水面升高多少厘米? 8.一个长方体容器里面装有水,一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁 块取出,水面下降18厘米;如果将一个长18厘米,宽16厘米,高12厘米的长方体 铁块浸入水中:水面将上升多少厘米?
第四讲 水面高度变化和等积变换 水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方 体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会 下降一类的问题。解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积 变化的规律，从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状 的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据 实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。 例题选讲 例 1:在一个长 25 分米，宽 20 分米的长方体容器中，有 15 分米深的水。如果在水中 沉入一个棱长是 50 厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、 【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体 积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。 解：50 厘米一 5 分米 5÷(25X20)+15 =O．25+15 =15．25(分米) 答：容器中水深 15．25 分米。 例 2:一个长方体水箱，底面是一个边长为 50 厘米的正方形。水箱里直立着一个高 10 分米，底面边长是 25 厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深 6 分米。现在把铁块轻 轻地向上提起 20 厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长 多少厘米? 【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的 20 厘米和铁块提起后水面下 降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的 20 厘米的铁块的体积，因此水面下降的高 度就可以用高 20 厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。 解：25×25×20÷(50×50)+20 =5+20 =25(厘米) 练习与思考 1．在一个长 20 分米，宽 15 分米的长方体容器中，有 20 分米深的水。现在在水中沉 入一个棱长 15 分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分米? 2．一个长方体容器．，长 90 厘米，宽 40 厘米。容器里直立着一个高 1 米，底面边长 是 15 厘米的长方体铁块，这时容器里的水深 0．5 米。 3．一个棱长 6 分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长 12 分米，宽 6 分米，高 5 分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距 离。 4．现在把铁块轻轻向上提起 24 厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少 厘米? 5．一个长方体水箱，从里面量长 8 分米，宽 6 分米。先倒入 165 升水，再浸入一块 棱长 3 分米的正方体铁块，这时水面离水箱口 1 分米。问：这个水箱的容积是多少? 6．在一个长 15 分米，宽 12 分米的长方体容器中，水深 10 分米。如果在水中浸入一 个棱长是 30 厘米的正方体铁块，那么，容器中水深多少分米? 7．有大、中、小三个底面是正方形的水池，它们底面的边长分别是 5 米、3 米、 2 米，把两堆碎石分别沉人中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高 6 厘米和 4 厘米。如果将这两堆碎石都沉人大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米？ 8．一个长方体容器里面装有水，一块棱长 24 厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁 块取出，水面下降 18 厘米；如果将一个长 18 厘米，宽 16 厘米，高 12 厘米的长方体 铁块浸入水中：水面将上升多少厘米?
第五讲列方程解题 有数量关系比较复杂的应用题,特别是需要逆向思维的应用题,运用算术方法解答比较困难 如果列方程解答,通过设未知数,把未知数当作己知数来考虑数量 关系,抓住数量之间的相等关系,列出方程式解答就比较容易了 例题选讲 例1:御苑小学五(3)班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出8元,就 多84元,如果每人出6元,那么就少12元,御苑小学五(3)班有多少名学生? 【分析与解答】从给出的条件分析,用算术方法解答问题有些困难,似乎数量关系不明显,但深入分析可以看出 同学们买的是同一件生日礼物,因比价格是一定的,即每人出8元表示的总价与每人出6元表示的总价相等,可 以列出以下方程式解答。 解:设御苑小学五(3)班有x名学生。 8x-84=6x+12 8x一6x=12+84 2x=96 答:御苑小学五(3)班有48名学生 例2:胜利大队粮库里的大米是面粉的2倍,现在用卡车运走,每辆卡车装4吨大米 和3吨面粉,当面粉运完时,还剩20吨大米,粮库里原来有大米和面粉共多少吨? 【分析与解答】这道题的未知数量比较多:有大米、面粉的重量和卡车的数量,那么设哪个未知数为x比较合适 呢?我们仔细分析一下等量关系,容易看出运大米的卡车数量与运面粉的卡车数量相等,如果设面粉有x吨,则 大米有2x吨,根据卡车数量相等可以列出方程(2x-20)÷4=x÷3再进一步分析已知条件,可以看出另一个等量 关系,即大米的重量等于面粉重量的2倍。我们设有x辆卡车,根据等量关系可列出方程:4x+20=3x×2比较两 种方法,发现后一种方法列出的方程式比较容易解答 练习与思考 1.爸爸带一些钱去买酸奶,如果买10瓶就剩下4元,如果买12瓶同样的酸奶则差 5.2元。问:每瓶酸奶多少元?爸爸带了多少钱? 2.滨江小学体育室里的篮球是足球的3倍。体育课上,每班借8只篮球、5只足球, 足球借完时还有84只篮球。问:体育室原来有篮球和足球共多少只?。 3.某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。如果每车坐60人,则有20人没有座位 如果每车多坐5人,则有一辆车空出45个座位。请问:一共有多少辆公交车?五、六 年级去秋游的学生一共有多少人? 4一条船从甲港到乙港顺流丽下,再从乙港返回共用了8小时,已知这船在静水中的 速度是每小时,20千米,水流速度是每小时5千米。请问:甲、乙两港之间的距离 是多少千米? 5.4个人的年龄之和是77岁,最小的是10岁,他与年龄最大的人的年龄之和比其他 两人的年龄之和大7。问:年龄最大的人是多少岁? 6.一个两位数,十位数上的数字是个位上数字的1.5倍,如果调换十位与个位上的 数字,则新数比原数小18,求原来的数。 7.甲每分钟走‘50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲、乙从A地出发, 丙从B地出发,丙遇到乙以后2分钟又遇到甲,求A、B两地的距离
第五讲 列方程解题 有数量关系比较复杂的应用题，特别是需要逆向思维的应用题，运用算术方法解答比较困难， 如果列方程解答，通过设未知数，把未知数当作已知数来考虑数量 关系，抓住数量之间的相等关系，列出方程式解答就比较容易了。 例题选讲 例 1：御苑小学五(3)班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出 8 元，就 多 84 元，如果每人出 6 元，那么就少 12 元，御苑小学五(3)班有多少名学生? 【分析与解答】从给出的条件分析，用算术方法解答问题有些困难，似乎数量关系不明显，但深入分析可以看出 同学们买的是同一件生日礼物，因比价格是一定的，即每人出 8 元表示的总价与每人出 6 元表示的总价相等，可 以列出以下方程式解答。 解：设御苑小学五(3)班有 x 名学生。 8x-84=6x+12 8x 一 6x=12+84 2x=96 x=48 答：御苑小学五(3)班有 48 名学生。 例 2：胜利大队粮库里的大米是面粉的 2 倍，现在用卡车运走，每辆卡车装 4 吨大米 和 3 吨面粉，当面粉运完时，还剩 2 0 吨大米，粮库里原来有大米和面粉共多少吨? 【分析与解答】这道题的未知数量比较多：有大米、面粉的重量和卡车的数量，那么设哪个未知数为 x 比较合适 呢?我们仔细分析一下等量关系，容易看出运大米的卡车数量与运面粉的卡车数量相等，如果设面粉有 x 吨，则 大米有 2x 吨，根据卡车数量相等可以列出方程(2x 一 20)÷4=x÷3 再进一步分析已知条件，可以看出另一个等量 关系，即大米的重量等于面粉重量的 2 倍。我们设有 x 辆卡车，根据等量关系可列出方程：4x+20=3x×2 比较两 种方法，发现后一种方法列出的方程式比较容易解答。 练习与思考 1．爸爸带一些钱去买酸奶，如果买 1 O 瓶就剩下 4 元，如果买 12 瓶同样的酸奶则差 5.2 元。问：每瓶酸奶多少元?爸爸带了多少钱？ 2.滨江小学体育室里的篮球是足球的 3 倍。体育课上，每班借 8 只篮球、5 只足球， 足球借完时还有 84 只篮球。问：体育室原来有篮球和足球共多少只?。 3.某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。如果每车坐 60 人，则有 20 人没有座位； 如果每车多坐 5 人，则有一辆车空出 45 个座位。请问：一共有多少辆公交车?五、六 年级去秋游的学生一共有多少人? 4.一条船从甲港到乙港顺流丽下，再从乙港返回共用了 8 小时，已知这船在静水中的 速度是每小时，20 千米，水流速度是每小时 5 千米。请问：甲、乙两港之间的距离 是多少千米? 5.4 个人的年龄之和是 77 岁，最小的是 10 岁，他与年龄最大的人的年龄之和比其他 两人的年龄之和大 7。问：年龄最大的人是多少岁? 6.一个两位数，十位数上的数字是个位上数字的 1．5 倍，如果调换十位与个位上的 数字，则新数比原数小 18，求原来的数。 7.甲每分钟走‘50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米，甲、乙从 A 地出发， 丙从 B 地出发，丙遇到乙以后 2 分钟又遇到甲，求 A、B 两地的距离