第六讲假设法解题 “假设法”是解决问题常用的一种思维方法,是指在解决问题的过程中,根据题 目的条件或结论作出某种假设,然后根据假设进行推算,当出现矛盾时,则分析矛盾 产生的原因,并对照已知条件进行适当调整,最后找到解决问题的方法。 例题选讲 1:有5元和10元的邮票共20张,总面值125元。问:5元的和10元的邮票各多 少张?【分析与解答】假设20张邮票都是10元的,总面值应该是10×20一200(元),而实际上只有125元 实际比假设少200-125-75(元),仔细分析一下为什么比假设少75元呢?原因就是把5元的邮票当作10元算的、, 每张就多算10-5= (元),因此可以求出5元的邮票张数75÷5=15(张)则10元的邮票张数为20-15=5(张) 解:(10×20-125)÷(10一5) 75÷5=15(张)……5元的邮票张数 20-15=5(张)……10元的邮票张数 答:5元的邮票15张,10元的邮票5张。 请同学想想如果假设2张邮票都是5元的.应该如何解答呢? 例2:中央百货公司委托搬运公司送1000只茶杯,双方签订合同每只运费是0.3元如 果打破1只,不但不付运费,而且还要照价赔偿1.5元。结果搬运公司共得运费291 元。问:搬运公司在搬运过程中打破了几只茶杯? 【分析与解答】假设在搬运过程中没有茶杯被打破,那么应该得运费0.3x1000300元),而实际上 只就损失:0.31.5=1.8(元),因此在搬运过程中打破了9÷1.85,个到运费,还要赔偿,所以打破1 却少得了运费(300—291)=9(元),原因是打破了几只茶杯,每打破1只不但拿 解:(0.3X1000-291)÷(0.3+1.5) =9÷1.8 答:在搬运过程中打破了5只茶杯。 练习与思考 1.笼中共有鸡兔100只,鸡兔共有280只脚。问:鸡兔各有多少只? 2.某搬运站为某商店运800只花瓶,运费为每只3元,如果损坏一只,不但不给运 费还要照价赔偿5元,结果搬运站共得运费2352元。问:搬运公司在搬运过程中打 破几只花瓶? 3.松鼠爸爸采松子,晴天可以采30个,雨天只能采20个,它一连几天共采了240个 松子,平均每天采24个。问:这几天当中有几个晴天?几个雨天? 4.甲、乙两人进行投飞镖比赛,规定每中一次记10分,脱靶一次扣6分,两人各投 10次,共得152分,其中甲比乙多16分。问:甲、乙两人各投中几次? 5.蜘蛛有8只脚,没有翅膀,蜻蜓有6只脚和2对翅膀,蝉有6只脚和1对翅膀, 现在这三种小动物共78只脚,13对翅膀。问:每种小动物各有几只? 6.甲仓库存粮是乙仓库的2倍,甲仓库每天运出40吨,乙仓库每天运出30吨,若 干天后,乙仓库的粮食运完了,甲仓库还有80吨。问:甲、乙两个仓库原来各有粮 食多少吨? 7.一堆硬币:面值为1分、2分、5分三种,其中1分的个数是2分的11倍,如果 这堆硬币共1元,那么5分硬币有多少个? 8.某班同学参加学校的数学竞赛,试题共50道。评分标准是:答对1题给3分,不 答给1分,答错倒扣1分。请你说明:该班同学得分总和一定是偶数
第六讲 假设法解题 “假设法”是解决问题常用的一种思维方法，是指在解决问题的过程中，根据题 目的条件或结论作出某种假设，然后根据假设进行推算，当出现矛盾时，则分析矛盾 产生的原因，并对照已知条件进行适当调整，最后找到解决问题的方法。 例题选讲 例 1:有 5 元和 10 元的邮票共 20 张，总面值 125 元。问：5 元的和 10 元的邮票各多 少张?【分析与解答】假设 20 张邮票都是 10 元的，总面值应该是 10×20 一 200(元)，而实际上只有 125 元， 实际比假设少 200—125—75(元)，仔细分析一下为什么比假设少 75 元呢?原因就是把 5元的邮票当作 10 元算的、， 每张就多算 10-5= 5(元)，因此可以求出 5 元的邮票张数 75÷5=15(张)则 10 元的邮票张数为 20—15=5(张)。 解：(10×20—125)÷(10 一 5) =75÷5=15(张)……5 元的邮票张数 20-15=5(张)……10 元的邮票张数 答：5 元的邮票 15 张，10 元的邮票 5 张。 请同学想想如果假设 2 张邮票都是 5 元的．应该如何解答呢? 例 2:中央百货公司委托搬运公司送 1000 只茶杯，双方签订合同每只运费是 O.3 元如 果打破 1 只，不但不付运费，而且还要照价赔偿 1．5 元。结果搬运公司共得运费 291 元。问：搬运公司在搬运过程中打破了几只茶杯? 【分析与解答】 假设在搬运过程中没有茶杯被打破，那么应该得运费 O．3 x 1000=300(元)，而实际上 却少得了运费(300—291)=9(元)，原因是打破了几只茶杯，每打破 1 只不但拿不到运费，还要赔偿，所以打破 1 只就损失：0．3+1．5=1．8(元)，因此在搬运过程中打破了 9÷1．8=5(只)。 解：(O．3X1000—291)÷(O．3+1．5) =9÷1．8 =5(只) 答：在搬运过程中打破了 5 只茶杯。 练习与思考 1．笼中共有鸡兔 100 只，鸡兔共有 280 只脚。问：鸡兔各有多少只? 2．某搬运站为某商店运 800 只花瓶，运费为每只 3 元，如果损坏一只，不但不给运 费还要照价赔偿 5 元，结果搬运站共得运费 2352 元。问：搬运公司在搬运过程中打 破几只花瓶? 3．松鼠爸爸采松子,晴天可以采 30 个,雨天只能采 20 个，它一连几天共采了 240 个 松子，平均每天采 24 个。问：这几天当中有几个晴天?几个雨天? 4．甲、乙两人进行投飞镖比赛，规定每中一次记 10 分，脱靶一次扣 6 分，两人各投 l0 次，共得 152 分，其中甲比乙多 16 分。问：甲、乙两人各投中几次？ 5．蜘蛛有 8 只脚，没有翅膀，蜻蜓有 6 只脚和 2 对翅膀，蝉有 6 只脚和 1 对翅膀， 现在这三种小动物共 78 只脚，13 对翅膀。问：每种小动物各有几只? 6．甲仓库存粮是乙仓库的 2 倍，甲仓库每天运出 40 吨，乙仓库每天运出 30 吨，若 干天后，乙仓库的粮食运完了，甲仓库还有 80 吨。问：甲、乙两个仓库原来各有粮 食多少吨? 7．一堆硬币：面值为 1 分、2 分、5 分三种，其中 1 分的个数是 2 分的 ll 倍，如果 这堆硬币共 1 元，那么 5 分硬币有多少个? 8．某班同学参加学校的数学竞赛，试题共 50 道。评分标准是：答对 l 题给 3 分，不 答给 1 分，答错倒扣 1 分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数
第七讲代换法解题 在一些较复杂的应用题中,经常会出现两个或两个以上的未知量,但是这些未知量 是有一定的逻辑关系的。解题时,可以用其中一个未知量通过等量代换,代替其它未 知量,从而使复杂的问题变得简单,这种解题的方法称为代换法 例题选讲 例1:一个足球的价格等于两个篮球的价格,也等于三个排球的价格,还等于一个篮 球加一个排球和一个垒球的价格。那么一个足球等于多少个垒球的价格? 【分析与解答】这道题条件比较多,我们把条件摘录如下,列出等式:1个足球:2个篮球, 个足球=3个排球,一个足球=1个篮球+1个排球+1个垒球,由此可以推出2个篮球=3个排球,即 1个篮球:1.5个排球,又1个篮球:1个排球+1个垒球,所以1个垒球一0.5个排球,即2 个垒球=1个排球,因此1个足球=2×3=6(个)垒球 例2:5只同样的红球和18只同样的绿球共重396克,已知1只红球和3只绿球的重 量相等,求每只红球和每只绿球各重多少克? 【分析与解答】摘录条件:(1)5只红球+18只绿球=396,(2)1只红球=3只绿球,由(2)可得5 只红球=15只绿球,因此用15只绿球代替(1)中5只红球可得15只绿球+18只绿球=396,即33 只绿球=396,所以每只绿球=396÷(15+18)=12(克),每只红球的重量=12×3=36(克)。 同学们想一想用几只同样的红球可以代换18只绿球,又如何计算呢? 例3:甲、乙、丙三人,甲的年龄比乙的2倍大3岁,乙的年龄比丙的2倍小2岁, 三人年龄之和是109岁。问:三人各几岁? 【分析与解答】摘录条件(1)甲=2乙+3,(2)乙=2丙-2,由(2)可得2乙=4丙-4,又根据(1)可得 甲=4丙=1,如果甲正好是丙的4倍,乙正好是丙的2倍,那么年龄和应是(109+1+2)=112(岁), 也就相当于丙的(4+2+1)倍,因此丙的年龄=112÷7=16(岁)。乙的年龄:16X2-2=30(岁),甲的 年龄=30×2+3=63(岁) 练习与思考 1.2只红球与4只蓝球的重量相等,3只蓝球的重量等于1只红球加1只黑球的重量, 那么几只黑球的重量等于3只红球加4只蓝球的重量? 2.百货商店运来400双球鞋,分别装在2个木箱和6个纸箱中,如果2个纸箱同1 个木箱装的鞋一样多,那么每个木箱和每个纸箱各装多少双鞋? 3.有红、黄、蓝三色笔共4枝,已知红色笔比黄色笔的2倍少2枝,黄色笔比蓝色 笔的2倍多4枝,求三色笔各多少枝? 4.一批货物,如果用大号集装箱要20只箱子,如果用小号集装箱装,要25只箱子, 已知大号箱比小号箱可多装货物200千克,求这批货物重多少千克? 5.学校图书馆购买5本科技书和3本文学书共用去147.5元,如果用1本文学书换 回2本科技书,那么还要用去7.3元。问:科技书和文学书每本的价格各是多少元? 6.甲、乙、丙、丁四个数的和是325,如果甲加上10,乙减去5,丙乘以2,丁除以 3,那么四个数恰好相等,求丁数 7.甲、乙两数之差是17.82,如果将乙的小数点向右移动两位就与甲数相等。求甲 乙两数分别是多少?
第七讲 代换法解题 在一些较复杂的应用题中，经常会出现两个或两个以上的未知量，但是这些未知量 是有一定的逻辑关系的。解题时，可以用其中一个未知量通过等量代换，代替其它未 知量，从而使复杂的问题变得简单，这种解题的方法称为代换法。 例题选讲 例 1:一个足球的价格等于两个篮球的价格，也等于三个排球的价格，还等于一个篮 球加一个排球和一个垒球的价格。那么一个足球等于多少个垒球的价格? 【分析与解答】这道题条件比较多，我们把条件摘录如下，列出等式：1 个足球：2 个篮球，1 个足球=3 个排球，一个足球=1 个篮球+1 个排球+1 个垒球，由此可以推出 2 个篮球=3 个排球，即 1 个篮球：1．5 个排球，又 1 个篮球：1 个排球+1 个垒球，所以 1 个垒球一 O．5 个排球，即 2 个垒球=1 个排球，因此 1 个足球=2×3=6(个)垒球。 例 2:5 只同样的红球和 18 只同样的绿球共重 396 克，已知 1 只红球和 3 只绿球的重 量相等，求每只红球和每只绿球各重多少克? 【分析与解答】摘录条件：(1)5 只红球+18 只绿球=396，(2)1 只红球=3 只绿球，由(2）可得 5 只红球=15 只绿球，因此用 15 只绿球代替（1）中 5 只红球可得 15 只绿球+18 只绿球=396，即 33 只绿球=396，所以每只绿球=396÷(15+18)=12(克)，每只红球的重量=12×3=36(克)。 同学们想一想用几只同样的红球可以代换 18 只绿球，又如何计算呢? 例 3:甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的 2 倍大 3 岁，乙的年龄比丙的 2 倍小 2 岁， 三人年龄之和是 109 岁。问：三人各几岁? 【分析与解答】摘录条件(1)甲=2 乙+3，(2)乙=2 丙-2，由(2)可得 2 乙=4 丙-4，又根据(1)可得 甲=4 丙=1，如果甲正好是丙的 4 倍，乙正好是丙的 2 倍，那么年龄和应是(109+l+2)=112(岁)， 也就相当于丙的(4+2+1)倍，因此丙的年龄=112÷7=16(岁)。乙的年龄：16X2—2=30(岁)，甲的 年龄=30×2+3=63(岁)。 练习与思考 1.2 只红球与 4 只蓝球的重量相等，3 只蓝球的重量等于 1 只红球加 1 只黑球的重量， 那么几只黑球的重量等于 3 只红球加 4 只蓝球的重量? 2.百货商店运来 400 双球鞋，分别装在 2 个木箱和 6 个纸箱中，如果 2 个纸箱同 1 个木箱装的鞋一样多，那么每个木箱和每个纸箱各装多少双鞋? 3.有红、黄、蓝三色笔共 94 枝，已知红色笔比黄色笔的 2 倍少 2 枝，黄色笔比蓝色 笔的 2 倍多 4 枝，求三色笔各多少枝? 4.一批货物，如果用大号集装箱要 20 只箱子，如果用小号集装箱装，要 25 只箱子， 已知大号箱比小号箱可多装货物 200 千克，求这批货物重多少千克? 5.学校图书馆购买 5 本科技书和 3 本文学书共用去 147．5 元，如果用 1 本文学书换 回 2 本科技书，那么还要用去 7．3 元。问：科技书和文学书每本的价格各是多少元? 6.甲、乙、丙、丁四个数的和是 325，如果甲加上 lO，乙减去 5，丙乘以 2，丁除以 3，那么四个数恰好相等，求丁数。 7.甲、乙两数之差是 17．82，如果将乙的小数点向右移动两位就与甲数相等。求甲、 乙两数分别是多少?