例.求函数z=3x2y-y2在点P(2,3沿曲线y=x2-1 朝κ增大方向的方向导数 解:将已知曲线用参数方程表示为 P xX三x 它在点P的切向量为(1,2x)x=2=( cos C COS B 4 a7p-6y7+(x-2y)7」(2,357 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 2 (1, 2 ) x= 它在点 P 的切向量为 x , 17 1 cos = 17 60 = o x y 2 P = − = 1 2 y x x x = (1, 4) 17 4 cos = −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1 2 指向外侧的法向量,求函数u 6x2+8y 在点P处沿 方向n的方向导数 解:n=(4x,6y,2z)P=2(2,3,1) 方向余弦为cosa coS B 14 14 cosy √14 6x 而 ax v6x2+8y2 P 64 同理得 uyu 80n=-14 P√140zp (6×2+8×3-14×1) an p 14 1—7 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 设 n 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 , 14 2 cos = , 14 3 cos = 14 1 cos = 而 x P u = n P u 同理得 = 2(2 , 3 ,1) 方向 的方向导数. P (4x , 6y , 2z) 14 6 = 7 11 (6 2 8 3 14 1 ) = 14 1 + − z x y P x 2 2 6 8 6 + = 求函数 在点P 处沿 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n = n
二、梯度 方向导数公式ofb/c500f af f cosβ3+cosy al ax 令向量G=/,f dx ay 0z I0 (cos a, cos B, cos n) 0/=G70=6cG) al 当10与G方向一致时,方向导数取最大值: af max al 这说明 方向:f变化率最大的方向 模:∫的最大变化率之值 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
二、梯度 方向导数公式 cos cos cos z f y f x f l f + + = 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = z f y f x f G , , (cos , cos , cos ) 0 l = , 当l 0 与G方向一致时 G : ( ) G l f = max