近似解的计算 设V=[,2,,m】和W=[,u,,0m分别是K和C一组基 由于元∈xo)+K,即元-o)∈K,因此存在向量y=[1,2,,mT∈Rm使得 元=xo+Vg 根据正交性条件可得 m-AVy⊥，(i=1,2,.,m) → WAVy=Wm 若WrAV非奇异，则y=(WTA)-1Wr%→ 元=xo)+VWA)-1WT0 多在实际计算中，矩阵TAV通常可以直接形成，而无需另外计算 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 6/180
近似解的计算 设 V = [v1, v2, . . . , vm] 和 W = [w1, w2, . . . , wm] 分别是 K 和 L 一组基. 由于 ˜x ∈ x (0) + K, 即 ˜x − x (0) ∈ K, 因此存在向量 y = [y1, y2, . . . , ym] ⊺ ∈ R m 使得 ˜x = x (0) + Vy 根据正交性条件可得 r0 − AVy ⊥ wi , (i = 1, 2, . . . , m) =⇒ W ⊺AVy = W ⊺ r0 若 W⊺AV 非奇异, 则 y = (W⊺AV) −1W⊺ r0 =⇒ ˜x = x (0) + V(W ⊺AV) −1W ⊺ r0 在实际计算中, 矩阵 W⊺AV 通常可以直接形成, 而无需另外计算. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/180
定理如果A,人和C满足下面条件之一 (1)A正定且C=K: (2)A非奇异且C=AK, 则矩阵WTAV非奇异. (留作练习)】 http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 7/180
定理 如果 A, K 和 L 满足下面条件之一 (1) A 正定且 L = K; (2) A 非奇异且 L = AK, 则矩阵 W⊺AV 非奇异. (留作练习) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 7/180
子空间K和C的选取 在实施投影方法时，我们需要考虑下面两个问题： ⊙怎样选择搜索空间心和约束空间C? 如果找到的近似解达不到精度要求，则需要更换搜索空间人，此时如何更新心？ 日前能够很好地解决上面两个问题的方法是采用Krylov子空间. http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 8/180
子空间 K 和 L 的选取 在实施投影方法时, 我们需要考虑下面两个问题: 怎样选择搜索空间 K 和约束空间 L? 如果找到的近似解 ˜x 达不到精度要求, 则需要更换搜索空间 K, 此时如何更新 K? 目前能够很好地解决上面两个问题的方法是采用 Krylov 子空间. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 8/180
4-21 Krylov子空间与Arnoldi过程 4.2 Krylov子空间与Arnoldi过程 4.2.1 Krylov子空间 4.2.2 Arnoldi过程 https://math.ecnu.edu.cn/-jypan/Teaching/IMP
42 Krylov 子空间与 Arnoldi 过程 4.2 Krylov 子空间与 Arnoldi 过程 4.2.1 Krylov 子空间 4.2.2 Arnoldi 过程 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/IMP
4-2-1 Krylov子空间 设A∈Rnxn,r∈R”,我们称 Cm(A,r）≌span{r,Ar,,Am-1r}cR” 是由A和r生成的Krylov子空间，通常简记为Km,或K. NOMTA CCCP http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 10/180
421 Krylov 子空间 设 A ∈ R n×n , r ∈ R n , 我们称 Km(A, r) ≜ span{r, Ar, . . . , A m−1 r} ⊆ R n 是由 A 和 r 生成的 Krylov 子空间, 通常简记为 Km, 或 K. 基本性质 dim(Km) ≤ m Krylov 子空间是嵌套的, 即: K1 ⊆ K2 ⊆ · · · ⊆ Km ⊆ · · · Km(A, r) = n x = p(A)r : p 为次数不超过 m − 1 的多项式 o http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 10/180