子空间投影法的一般描述 因此，投影方法一般可以描述为 find∈K such that b-Az⊥C. (4.2) 如果给定初值x0),为了能够充分利用初值的相关信息，我们改为在仿射空间x0)+K中寻 找最佳近似，即 find∈xo+K such that b-Ar⊥C. (4.3) 事实上，如果将元写成：元=o+金其中金∈尤，则(4.52)就是 find∈K such that ro-Ar⊥C, (4.4) 其中m=b一Ao)是初始残量.这与(4.2)的形式是一样的. http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 4/180
子空间投影法的一般描述 因此, 投影方法一般可以描述为 find ˜x ∈ K such that b − A˜x ⊥ L. (4.2) 如果给定初值 x (0) , 为了能够充分利用初值的相关信息, 我们改为在仿射空间 x (0) + K 中寻 找最佳近似, 即 find ˜x ∈ x (0) + K such that b − A˜x ⊥ L. (4.3) 事实上, 如果将 ˜x 写成: ˜x = x (0) + ˆx, 其中 ˆx ∈ K, 则 (4.52) 就是 find ˆx ∈ K such that r0 − Aˆx ⊥ L, (4.4) 其中 r0 = b − Ax(0) 是初始残量. 这与 (4.2) 的形式是一样的. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/180
子空间方法需要考虑的三个问题 O如何选择K和C? ⑦如何计算近似解？ 若不满足精度要求，如何寻找新的K和C? http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 5/180
子空间方法需要考虑的三个问题 如何选择 K 和 L? 如何计算近似解 ˜x? 若 ˜x 不满足精度要求，如何寻找新的 K 和 L? http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/180
近似解的计算 设V=[,2,.,m和W=,u,,m分别是K和C一组基 http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 6/180
近似解的计算 设 V = [v1, v2, . . . , vm] 和 W = [w1, w2, . . . , wm] 分别是 K 和 L 一组基. 由于 ˜x ∈ x (0) + K, 即 ˜x − x (0) ∈ K, 因此存在向量 y = [y1, y2, . . . , ym] ⊺ ∈ R m 使得 ˜x = x (0) + Vy 根据正交性条件可得 r0 − AVy ⊥ wi , (i = 1, 2, . . . , m) =⇒ W ⊺AVy = W ⊺ r0 若 W⊺AV 非奇异, 则 y = (W⊺AV) −1W⊺ r0 =⇒ ˜x = x (0) + V(W ⊺AV) −1W ⊺ r0 在实际计算中, 矩阵 W⊺AV 通常可以直接形成, 而无需另外计算. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/180
近似解的计算 设V=[,2,,m】和W=[,u,,0m分别是K和C一组基 由于x∈xo)+K,即元-o)∈K,因此存在向量y=[1,2,,mT∈Rm使得 i=x0)+Vy http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 6/180
近似解的计算 设 V = [v1, v2, . . . , vm] 和 W = [w1, w2, . . . , wm] 分别是 K 和 L 一组基. 由于 ˜x ∈ x (0) + K, 即 ˜x − x (0) ∈ K, 因此存在向量 y = [y1, y2, . . . , ym] ⊺ ∈ R m 使得 ˜x = x (0) + Vy 根据正交性条件可得 r0 − AVy ⊥ wi , (i = 1, 2, . . . , m) =⇒ W ⊺AVy = W ⊺ r0 若 W⊺AV 非奇异, 则 y = (W⊺AV) −1W⊺ r0 =⇒ ˜x = x (0) + V(W ⊺AV) −1W ⊺ r0 在实际计算中, 矩阵 W⊺AV 通常可以直接形成, 而无需另外计算. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/180
近似解的计算 设V=[,2,,vmJ和W=[1,2,,wm分别是K和C一组基 由于交∈o)+K,即元-o)∈K,因此存在向量y=[h,欢，，mT∈Rm使得 元=xo)+Vy 根据正交性条件可得 o-AVy⊥， (i=1,2,.,m) → WTAVy=WTm http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 6/180
近似解的计算 设 V = [v1, v2, . . . , vm] 和 W = [w1, w2, . . . , wm] 分别是 K 和 L 一组基. 由于 ˜x ∈ x (0) + K, 即 ˜x − x (0) ∈ K, 因此存在向量 y = [y1, y2, . . . , ym] ⊺ ∈ R m 使得 ˜x = x (0) + Vy 根据正交性条件可得 r0 − AVy ⊥ wi , (i = 1, 2, . . . , m) =⇒ W ⊺AVy = W ⊺ r0 若 W⊺AV 非奇异, 则 y = (W⊺AV) −1W⊺ r0 =⇒ ˜x = x (0) + V(W ⊺AV) −1W ⊺ r0 在实际计算中, 矩阵 W⊺AV 通常可以直接形成, 而无需另外计算. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/180