上海交通大学：《现代控制理论（B类）》教学资源（PPT课件）第二章 线性系统的状态响应和输出响应

例2-3给定线性时变系统的状态方程为 设：t=1,x四=1，x(①)=2，输入为单位阶跃函数u=1t-1) 求系统的响应。 前例中已求得 ae-ls'-gg] 于是 x()=(t,to)xo+∫'Φ(t,t)B(r)u(rdx -os-os o 16

16 例2-3 给定线性时变系统的状态方程为 u t               1 1 0 0 0 x x 设：t 0  1 ， (1) 1, (1) 2 x1  x2  ，输入为单位阶跃函数 u  1(t 1) 求系统的响应。         0.5( ) 1 1 0 ( , ) 2 0 0 2 t t 前例中已求得 Φ t t t t t t    d t    1 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) x Φ 0 x0 Φ B u                                                          3 2 3 1 6 5 0.5 3 1 1 0.5 1.5 1 1 1 0.5 0.5 1 1 0 2 1 0.5 0.5 1 1 0 3 2 3 2 1 2 2 2 t t t t t t t t d t t t   于是

2.32线性时变系统的输出响应 求得系统的状态响应x①)，由输出方程可直接求得系统的 输出响应 y(1)=C(t)x(t)+D(t)u(t) =C(t)[Φ(t,io)x+∫nΦ(t,t)B(x)u(r)dx+Dt)u(t) =C()(tt)x+[C(t)(t,)B()u()dr+D(t)u(t)] (2-22) 类似地，第一项是输出的零输入响应，第二项是输出的零 状态响应。 2-33线性时变系统的单位脉冲响应阵 当输入为单位脉冲函数(t)=6(t-),输出就是系统的 单位脉冲响应阵G(t)。用类似推导可求得 G(t,T)=C()(t,t)B(T)+D()8(t-T) (2-23) 17

17 2.3.2 线性时变系统的输出响应 求得系统的状态响应 ，由输出方程可直接求得系统的 输出响应 x(t) y(t)  C(t)x(t)  D(t)u(t) ( )[ ( , ) ( , ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) 0 0 0 t t t t d t t t t  C Φ x   Φ  B  u    D u ( ) ( , ) [ ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )] 0 0 0 t t t t t d t t t t  C Φ x  C  Φ  B  u    D u 类似地，第一项是输出的零输入响应，第二项是输出的零 状态响应。 2-3-3 线性时变系统的单位脉冲响应阵 当输入为单位脉冲函数 ，输出就是系统的 单位脉冲响应阵 。用类似推导可求得 u(t)   (t  ) G(t, ) G(t, )  C( )Φ(t, )B( )  D( ) (t  ) （2－22） （2－23）

2.4线性定常系统的响应 2.4.1线性定常系统的状态转移矩阵 线性定常系统的状态齐次状态方程 x=Ax (2-24) 类比标量一阶微分方程=ar,其解具有指数函数em的形 式，并且 e =1+at+ 2+…=2a 21 k! 定义如下n×n矩阵指数函数 e=1++-含阳 (2-25) e具有如下性质 品-名n广=同含4 (2-26) 18

18 2.4 线性定常系统的响应 2.4.1 线性定常系统的状态转移矩阵 线性定常系统的状态齐次状态方程 x  Ax 类比标量一阶微分方程 ，其解具有指数函数 的形 式，并且 x  ax at e         0 2 1 2 1 1 k t k k a t k! a ! e a at  定义如下 n n 矩阵指数函数         0 ! 1 2! 1 k t k k t k e I At A A A 2  t e A 具有如下性质 t t k t k k k k k k e e dt d t k t k t k e dt d A A k 0 k 0 A A A A A A                           1 1 ! 1 ! 1 ( 1)! 1 （2－24） （2－25） （2－26）

上式说明e是=Ax的一个基本解阵。由状态转移矩阵 的定义，可得线性定常系统的状态转移矩阵是 B(t,to)=e(eM0)-1=e-) (2-27) -o)同样具有状态转移矩阵所具有的性质，即 e4-o》是n维的非奇异阵 eA(-1)=eAr.e-Ar =eo=I (2-28) (e4-o)=e4-o)=e4o-0 (2-29) e4-o）=eA-4i)e4-o) (2-30) 2.4.2线性定常系统的响应 线性定常系统的零输入响腐和零状态响应是 p(t;to,x00)=e (2-31) pto0,山=e-)B(r)ua)dr (2-32) 线性定常系统的状态响应是 x(t)=eB(u( (2-33) 19

19 上式说明 是 的一个基本解阵。由状态转移矩阵 的定义，可得线性定常系统的状态转移矩阵是 t e A x  Ax 1 ( ) 0 0 0 ( , ) ( ) t t t t t t e e e     A A A Φ e A(tt0 ) 同样具有状态转移矩阵所具有的性质，即 e A(tt0 )是 n 维的非奇异阵 I A At A 0       e e e e (t t) t ( ) 1 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) t t t t t t e e e        A A A ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 t t t t t t e e e     A A A 2.4.2 线性定常系统的响应 线性定常系统的零输入响应和零状态响应是 t t e   d t t e t t t t t t ( ; , , ) ( ) ( ) ( ; , , ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 φ 0 u B u φ x 0 x A 0 A      线性定常系统的状态响应是 t e e   d t t t t t t      0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) x x B u A A （2－28） （2－29） （2－30） （2－31） （2－33） （2－27） （2－32）

线性定常系统的响应与初始时刻的选择无关，通常选。=0 于是其状态转移矩阵简化为 Φ(t,0)=e4r (2-34) 其零输入响应与状态响应也简化为 p(t;O,xo:0)=e4xo x(t)=exo+eB()u(dr (2-35) 2.4.3矩阵指数函数e"的计算 e"是一种特殊的方阵函数，为了对其有更深入的了解， 将先介绍方阵多项式，然后研究方阵函数。 20

20 线性定常系统的响应与初始时刻的选择无关，通常选 t 0  0 于是其状态转移矩阵简化为 t t e A Φ( ,0)  其零输入响应与状态响应也简化为 0 A 0 φ x 0 x t (t;0, , )  e t e e   d t t t t    0 ( ) ( ) ( ) x x0 B u A A 2.4.3 矩阵指数函数 e A t 的计算 是一种特殊的方阵函数，为了对其有更深入的了解， 将先介绍方阵多项式，然后研究方阵函数。 At e （2－34） （2－35）