·系统的状态转移矩阵与基本解阵的选择无关，只决定于 A(),因此它是唯一的。 证明：设X①与X,是齐次状态方程的两个基本解阵，则 存在一个非奇异的线性变换阵P，使X,0=X,)P,于是有 (t,to)=X2(t)X2(to)=X(t)P(X(to)P)=X(t)PP-X(to) =X(t)X(to) 证毕 状态转移矩阵可由下式求取 Φ(t,o)=I+∫A(r)dπ+∫A(t)[A(t2)dr2]ldt1+… 此关系的正确性，可将它代入(，)=A()t,)得到验证。 11
11 状态转移矩阵可由下式求取 Φ(t,t0 ) I A( )d A( 1)[ A( 2 )d 2 ]d 1 此关系的正确性，可将它代入 得到验证。 系统的状态转移矩阵与基本解阵的选择无关，只决定于 A(t)，因此它是唯一的。 证明：设 与 是齐次状态方程的两个基本解阵，则 存在一个非奇异的线性变换阵 ，使 ，于是有 ( ) 1 X t (t) X2 P X 2 (t) X1 (t)P ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 2 2 t t t t t t t t t t X X Φ X X X P X P X PP X 证毕 ( , ) ( ) ( , ) 0 0 Φ t t A t Φ t t
例2-2如上例，其基本解阵 xw-bra 0.252+1-0.5 -0.2512 0.5 其状态转移矩阵为 )0)02252 10.256+1-0.5 0.5 2-2-2线性系统状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵有如下重要性质： (1)t,)是n维的非奇异方阵 (2)(t,)=1 (2-13) (3）Φ少(t,t)=(,) (2-14) (4)(u,)=(t,)Φ(4，o) 对任意t,t和t1 (2125)
12 2-2-2线性系统状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵有如下重要性质： ( , ) 0 Φ t t 是 维的非奇异方阵 Φ(t,t) I ( , ) ( , ) 0 0 1 Φ t t Φ t t ( , ) ( , ) ( , ) 0 1 1 0 Φ t t Φ t t Φ t t 对任意 t，t0 和 1 t ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ n 例2-2 如上例，其基本解阵 0.5 0.5 2 1 1 ( ) 2 2 t t X t 0.25 0.5 0.25 1 0.5 ( ) 2 2 1 t t X t 其状态转移矩阵为 0.5( ) 1 1 0 0.25 0.5 0.25 1 0.5 0.5 0.5 2 1 1 ( , ) ( ) ( ) 2 0 2 2 0 2 0 0 2 2 1 0 t t t t t t Φ t t X t X t 则 （2－13） （2－15） （2－14）
2.3线性时变系统的响应 2.3.1线性时变系统的状态响应 线性系统由初始状态x。)=x,和输入)同时作用下的状态 响应，即状态方程的解p(t,to.xo,)由下式给出 x(t0=p(t;to,0)=(t,o)x,+(,t)B(t)u(r) (2-16) 式中，t,)是系统的状态转移矩阵。 证明： p(t;to.xo,u)=p(t;to,x00)+p(t;to,0,u) 系统的零输入响应：p(t,七，0)=(t,)x 不妨把系统的零状态响应假设具有类似的形式： (t;to,0,u)=(t,to) 即把零状态响应也看成是某个向量)的转移。 13
13 2.3 线性时变系统的响应 2.3.1 线性时变系统的状态响应 线性系统由初始状态 和输入 同时作用下的状态 响应，即状态方程的解 由下式给出 x x0 ( ) 0 t u(t) ( ; , ) φ t t0, x0 u t t t t t t t t 0 ( ) ( ; , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) 0, 0 0 x φ x u Φ x Φ B u 0 ( , ) 0 式中，Φ t t 是系统的状态转移矩阵。 证明： ( ; , ) ( ; , , ) ( ; 0 ) φ t t0, x0 u φ t t0 x0 0 φ t t0 , ,u 0 0 0 0 系统的零输入响应：φ(t;t , x ,0) Φ(t, t )x 不妨把系统的零状态响应假设具有类似的形式： φ( ; ,0, u) Φ( , )ξ 0 0 t t t t 即把零状态响应也看成是某个向量ξ(t)的转移。 （2－16）
由此系统的响应有如下的形式 x(t)=Φ(tto)x0+Φ(t,to)(t)=Φ(t,to)[x+(] (2-17) 将它代入上式有 (0)=(L,to)儿x。+5(]+(u,o)5() =A(t)Φ(t,t)儿xo+(t)]+Φ(L,to)(t0 =A(t)x()+Φ(t,t)5(t) 比较上式与状态方程，可得 B(tu(t)=(t,t(t) (2-18) 5(t)=Φ-'(t,t)B(t)u(t=Φ(to,)B(t)u(t) (2-19) 将上式中用t替换t,并从到t积分 (t)=5(t)+(to)B()u(r)dr 于是 x(t)=Φ(t,o)xo+Φ(t,o)(t) =(txo+()B(u(d(t(to) 14
14 由此系统的响应有如下的形式 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )[ ( )] 0 0 0 0 0 x t Φ t t x Φ t t ξ t Φ t t x ξ t ( ) ( , )[ ( )] ( , ) ( ) 0 0 0 x t Φ t t x ξ t Φ t t ξ t ( ) ( , )[ ( )] ( , ) ( ) 0 0 0 A t Φ t t x ξ t Φ t t ξ t ( ) ( ) ( , ) ( ) 0 A t x t Φ t t ξ t 将它代入上式有 比较上式与状态方程，可得 ( ) ( ) ( , ) ( ) 0 B t u t Φ t t ξ t ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 0 0 1 ξ t Φ t t B t u t Φ t t B t u t 将上式中用 替换 t ，并从 t0到 t 积分 t t t d t t 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ξ ξ 0 Φ 0 B u ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 0 t t t d t t t t t Φ x Φ B u Φ ξ ( ) ( , ) ( , ) ( ) 0 0 0 于是 x t Φ t t x Φ t t ξ t （2－17） （2－18） （2－19）
在o时刻 x(to)=Φ(to,o)儿x(to)+5(t】=x(to)+(t) 所以 (t)=0 于是 x()=(t,to)x+Φ(，t)B(r)u(r)dr 证毕 系统在初始状态x()=x和输入()同时作用下的响应由零 输入响应和零状态响应叠加而成： 零输入响应为 p(t,xo,0)=Φ(t,to)x0 (2-20) 零状态响应为 (t:t,0,u)=(t,)B()u(r)d (2-21) 说明： 系统运动的实质是状态转移 系统的运动规律（零输入响应或零状态响应)由系统 的状态转移矩阵(t,)决定。 15
15 在 t0时刻 ( ) ( , )[ ( ) ( )] ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 x t Φ t t x t ξ t x t ξ t ξ( ) 0 0 所以 t t t t t d t t 0 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) 于是 x Φ 0 x0 Φ B u 证毕 系统在初始状态 和输入 同时作用下的响应由零 输入响应和零状态响应叠加而成 ： 0 0 x(t ) x u(t) 零输入响应为 零状态响应为 0 φ( ; , x ,0) Φ( , )x 0 0 0 t t t t t t t d t t 0 ( ; , , ) ( , ) ( ) ( ) φ 0 0 u Φ B u 系统的运动规律（零输入响应或零状态响应）由系统 的状态转移矩阵 Φ(t,t0 )决定。 说明： 系统运动的实质是状态转移 （2－20） （2－21）