兀FR33FR3 相对位移ay的方向是截面A向上,截面B向下。 (2)求A、B两横截面的相对扭转角67AB 在A、B两截面内加一对大小相等,方向相反的扭转力偶矩T (图c)。在任意b截面与T平衡的内力将如图(c)所示。 结合图(b),得θ横截面上的弯矩与扭矩 M(0=FRsin 8-Tsin 8 Tsin 0 T(8=FR(1-cos 8)+Tcos 8 环杆的应变能 2ElJ M"(O)RdO+2G Jot"(erde R EI Jo (FRsin0-Tsin 0)d0+ Gp Jo IFR(-cos0+T 0]2d0 Er Jo 2FRsin e(-sin)dAx Gi 2FR(1-cos 0)cos 6d8 丌FR丌FR GⅠ 相对扭转角,AB与外加力偶矩T的方向相反。 (3)求A、B两横截面在垂直该横截面的平面内的相对转角OB A、B处加一对大小相等,方向相反的力偶矩MAB(图d),在 任意θ横截面上与外加M4B相平衡的内力如图(d)所示。结合图 (b),得任意θ横截面上的弯矩、扭矩为 M.ane M(0)=FR sin 8+ MAR coS 8 T(0)=FR(I-cos 0)+MaB sin 8 环杆的应变能 M(6)Rd6+ TORdO 2EⅠ 2Gl El (FRsin 6+ Marcos 0)d8 [FR(-cos 0)+ Mrsin el d fR sin ecos odd+ 相对转角OB的转向同于M4B 3-10试用卡氏第二定理求习题3-4两种情况下节点A处的水平位移和铅垂位移。 解:(a)(1)求铅垂位移4y(图al)。由节点A的静力平衡,易求各杆轴力为 F=2F.F 三角架的应变能
S *, )5 (, )5 '$%9 $ % $ % T7 $% $ % 7 F T 7 F E T 0 T VLQT 7)5 VLQT 7 T FRVT 7)5 FRVT ³ ³ S G G T T T 57 T *, 0 5 (, 9 S VLQ VLQ G *, 5 )5 7 (, 5 ³ T T T ³ >)5 FRVT 7 FRV @ GTT w w 7 $% 7 7 9 T ³ ³ S VLQT VLQT GT )5 FRVT FRV GTT *, 5 )5 (, 5 S *, )5 (, )5 T7 $% 7 $ % T $% $ % 0 $% G T 0 $% G E T 0 T )5 T 0 $% FRVVLQ T 7 T )5 FRVT 0 $% VLQ T ³ ³ S G G T T T 57 T *, 0 5 (, 9 S VLQ FRV G *, 5 )5 0 (, 5 $% ³ T T T ³ >)5 FRVT 0 $% VLQ @ GTT w w 0 $% $% $% 0 9 T ³ ³ S VLQT FRVT GT )5 FRVT VLQ GTT *, 5 )5 (, 5 S *, )5 T $% 0 $% $ D '$9 D $ )$% ))$& ) $ 7 % 7 VLQT T 7 FRVT 7 7 $ 0 $% % 0 $% VLQT T 0 $% 0 $% 0 $% FRVT
FARLAR FaCI 2EA 2EA (4F2·2a+3F2·√3a) 2EA 2EA +33a aF EA (2)求水平位移4(图a2)在节点A处加 水平作用力F,相应地各杆轴力为 F=2F,F(=-(F+F) 三角架的应变能 v=8Fa(3F+E). 3a 2EA 2EA (向左) (b)因材料是非线弹性的,不能用卡氏第二定理求解位移。 3-11试用卡氏第二定理求图示梁在荷载作用下截面A的转 角及截面B的铅垂位移。EⅠ为已知 解:(1)求截面A的转角 在截面A处加一力偶矩M4(图a),梁的弯矩方程 M(x)= qo LA)X 61 梁的应变能 x)dx 2EI qo2 (-)x2 gol go 1-d 2EⅠ 661l45EI (2)求截面B的铅垂位移Av 截面B处加_竖直向卜荷载F。梁的弯矩方程 626l M(x)=( x-90x-F(x-7)(sx≤D 梁的应变能 40 dx+,[ qolExx-g0x3+5]dx) 2EⅠ
($ ) O ($ ) O 9 $% $% $& $& ) D ) D ($ ($ ) D ($ )D ) 9 $ 9 w w H ' '$+ D $ ) )$% ) )$& ) ) ($ ) ) D ($ ) D 9 '$+ ($ )D ) 9 ) w w E $ % (, $ T $ $ 0 $ D [ O T [ O T O 0 0 [ $ ³ O 0 [ [ (, 9 G H ³ O $ [ [ T O O T O 0 (, @ G > w w 0 $ $ $ 0 9H T (, T O [ O [ [ O T [ T O (, O @ G > ³ % '% 9 % ) O [ [ O T [ T O ) 0 [ dd O ) [ O T [ [ T O ) 0 [ O[ O d d ³ ³ @ G > ^ > O O O [ T O ) [ [ O T [ T O ) (, 9 @ G ` [ )O [ O T $ % & q ) $ % & q ) ) O [ % $ R \ O [ O T T O [ % $ R O T O 0 $ [ O T O 0 $ 0 $ \ O [ O T T O [ % $ R [ T O ) ) TO ) O [ O T T
Exx-9or312x dx+2[ o 768E7(下 3-12试用卡氏第二定理求解图示超静定结构。已知各杆的EA,EI相同。 解:(a)一次静不定,静定基如图3-12a-1 由对称性知F3=F4=F5=F6 (1) 由节点C平衡F=x+2F3cos45 F3 (F-X) (2) 由节点B平衡F1+2F3cos45°=0 F1=-(F-X) F2=X OF_,F3√2aF2 2 aX F 2a+4 EA (F-X)+√2X-2 (F-X)=0 X-F+X F-X)=0 F2=X=-F(拉) (5) 代入式(3),F1=-F(压) F3=F4=F5=F6 解:(b)一次静不定,静定基如图3-12b-1 (1) 弹簧列度系数 k 3EI ∑Mn=0、F11+2y12-X1=0 h== (2) M(x)=Fx=(x-91x, (0≤x1≤D) aX (0≤x2≤D
'% 9 w w ) ) 9 ³ ³ G ` @ G > @ ^ > O O O [ [ O [ O T [ T O [ [ [ O T [ T O ) (, (, T O ($ (, D D ) ) ) ) & $ FRV ) ; ) ) ) ; % FRV $ ) ) ) ) ; ) ; w w w w w w ; ) ; ) ; ) D ($ ) D ($ ; D ($ ) ' ) ; ; ;) ; ) ; ;) ) ; ) ) ) ) ) ) ) ) E E (, ;O N ; ' ' ¦ 0 % )$ O TO ; O ; TO )$ [ [ O ; 0 [ TO 0 [ )$[ ; d d w w [ [ O ; 0 0 [ ;[ T[ dd w w % & ) ) * ' D % & ) ) * ' ; ; $ % ' O (, O O N T $ % ' O O T )$ )% ; [ [