振动与波动 第一章振动 §1简谐振动 简谐振动 1.表达式(运动学方程) 物体沿一直线运动时,如离开平衡位置的位移按余弦(或正 弦)规律随κ反复变化,这样的振动称作简谐振动。如水平弹簧 振子的振动。 x(t)=Acos(o t+) 2.特点 (1)等幅振动 (2)周期性振动x(t)=x(t+T) 描述简谐振动的特征量 振幅A最大位移的绝对值(A恒为正值)。 2.周期和频率(反映振动的快慢) (1)周期T振动一次所需时间。 (2)频率v单位时间内的振动次数。ν=1单位:Hz (3)圆频率(角频率)2π秒内的振动次数。 2 T(单位:rad/s或1/s) 3.相位 (1)(ot+p)是t时刻的相位
1 振动与波动 第一章 振 动 §1 简谐振动 一.简谐振动 1.表达式(运动学方程) 物体沿一直线运动时,如离开平衡位置的位移按余弦(或正 弦)规律随 t 反复变化，这样的振动称作简谐振动。如水平 弹簧 振子的振动。 x(t)=Acos( t + ) 2.特点： (1)等幅振动 (2)周期性振动 x( t ) = x( t +T ) 二.描述简谐振动的特征量 1.振幅 A 最大位移的绝对值(A 恒为正值)。 2.周期和频率(反映振动的快慢) (1)周期 T 振动一次所需时间。 (2)频率 单位时间内的振动次数。 T v 1 = 单位：Hz (3)圆频率(角频率)2秒内的振动次数。 T v 2 = 2 = (单位：rad/s 或 1/s) 3.相位 (1)(t + )是 t 时刻的相位。 x m o x
(2)t时刻的相位反映t时刻的振动状态(x、U、a) 由x=cos(ott) (3)初相 是t=0时刻的相位。(t=0称时间零点,是开始计时的时刻, 不一定是开始运动的时刻)。 反映t=0时刻的振动状态(x,L)。 Ac os cAsino 要熟记典型φ值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。 Br/2「2 0 x■ g=元/2 0 0 g=-/2 (或37/2) x0=0
2 (2) t 时刻的相位反映 t 时刻的振动状态(x、、a )。 由 x =Acos(t + ) (3)初相 是 t = 0 时刻的相位。(t =0 称时间零点，是开始计时的时刻， 不一定是开始运动的时刻)。 反映 t = 0 时刻的振动状态(x0 , 0 )。 x0 = Acos， 0 = -Asin 要熟记典型值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。 0 /2 3/2 2 x0 A 0 -A 0 A 0 0 -A 0 A 0 x m o o A -A t x A = 0 x0 = A T o x o A -A t x m = /2 x0 = 0 T o A -A t x x m -A o = x0 = -A T m o x o A -A t x = -/2 x0 = 0 T (或 3/2)
三.简谐振动的描述方法 解析法(由振动表达式) 由x=Acos(ot+g) 已知表达式→A、7、φ 已知A、T、￠ 表达式 2.曲线法(由振动曲线) 兀/2 b。u 0 0 已知曲线→A、T、 已知A、7、p→曲线 3.旋转矢量法(可优先选用) (1)矢量长度=A;以为角速度绕o点逆时针旋转;t=0时 矢量与x轴的夹角为q (2)矢量端点在x轴上的 投影作简谐振动。 otto x= A cos(at+ 四.相位差 1.相位差和初相差 对两回频率的简谐振动,相位差等于初相差
3 三. 简谐振动的描述方法 1.解析法(由振动表达式) 由 x = Acos(t +) 已知表达式 A、T、 已知 A、T、 表达式 2.曲线法(由振动曲线) 已知 曲线 A、T、 已知 A、T、 曲线 3.旋转矢量法(可优先选用) (1)矢量长度 = A；以为角速度绕 o 点逆时针旋转；t = 0 时 矢量与 x 轴的夹角为 (2)矢量端点在 x 轴上的 投影作简谐振动。 四.相位差 1.相位差和初相差 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差。 o x o A -A t x m = /2 x0 = 0 T A A t+ o x x t = t t = 0 x = A cos( t + ) ·
△=(ottg)-(otto)=-a 2.同相和反相 当Δg=±2kπ,(k0,1,2,…),两振动步调相同,称相。 当△g=±(2k+1)π,(k0,1,2,…)两振动步调相反,称 反相。 x1同相 x1反相 A A 3.领先和落后 A 若△q=->0, 则x比x较早 达到正最大, A 称x比x领先 (或x比x落后)。 领先、落后以<π的相位角(或以<T2的时间间隔)来判断。 方法:振动曲线的画法。g为非典型值时,可用领先、落后的概 念画出振动曲线。 欲画x=Acos(ot+)的曲线, ·先画辅助曲线x辅= Acos ot的曲线
4 = (t +2) - (t +1)=2 - 1 2.同相和反相 当 = 2k，( k= 0，1，2，…)，两振动步调相同，称相。 当 = (2k+1)， ( k= 0，1， 2，…)两振动步调相反，称 反相。 3.领先和落后 ·若 = 2-1 >0， 则 x2比 x1较早 达到正最大， 称 x2比 x1领先 (或 x1比 x2落后)。 ·领先、落后以 <的相位角(或以<T/2 的时间间隔)来判断。 方法：振动曲线的画法。为非典型值时，可用领先、落后的概 念画出振动曲线。 ·欲画 x = Acos(t +)的曲线， ·先画辅助曲线 x 辅 = Acos t 的曲线， - A2 x x x2 T o A1 -A1 A2 - A2 x1 t 反相 o A1 -A1 A2 x1 x2 T t 同相 x2 T x o A1 -A1 A2 - A2 x1 t
·若φ<0,说明x比x辅落后,将x辅曲线右移即得x的曲线。 在横轴上移动的距离为 ) 五.简谐振动的速度、加速度 1.速度 (1)表达式 辅助曲线 dt oAsin(o t+o aCos( ot +o +/2) T/6 也可写为 待画曲线 u(t)=Acos(o t+u) (2)速度也是简谐振动,其角频率为,振幅A=A, 初相=g+(π/2),υ比x领先π/2 x、b、a 24 U>0 0<0> a<0<0 0>0 减速加速减速加速 (3)速度和位移的关系
5 ·若 < 0，说明 x 比 x 辅落后，将 x 辅曲线右移即得 x 的曲线。 在横轴上移动的距离为 t ( )T 2 = 五. 简谐振动的速度、加速度 1.速度 (1)表达式 dt dx v = = -Asin( t+) = Acos(t + +/2) 也可写为 (t) = Acos( t+) (2)速度也是简谐振动，其角频率为 ， 振幅 A = A， 初相 = + (/2)，比 x 领先/2。 (3)速度和位移的关系 o T x -A t A T/6 辅助曲线 待画曲线 o T t x、、a x 2A > 0 < 0 < 0 > 0 a < 0 < 0 > 0 > 0 减速 加速 减速 加速 A A -A -A -2 A a