《大学物理》第一章 质点运动学

力学 第一章质点运动学 质点:实际物体有大有小,结构可能很复杂。根据我们所研究 对象的运动特点,有时可以把它们看成一个点,即质点。例如 研究地球的公转时,地球可以看成质点;在研究地球的自传时, 就不能看成质点 运动学:力学中研究物体运动的内容,如:速度,位置,加速 度。不关心速度,加速度产生的原因。与之对应的概念是动力 学,研究的是速度,加速度产生的原因。如:牛顿运动定律。 §1参考系,坐标系 参考系 参考系:用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。 1.运动的相对性决定描述物体运动必须选取参考系。 2.运动学中参考系可任选,不同参考系中物体的运动形式(如 轨迹、速度等)可以不同。 3.常用参考系 太阳参考系(太阳 二恒里参考系) 地心参考系(地球一恒星参考系) 地面参考系或实验室参考系 质心参考系(第三章§6) 坐标系 坐标系:固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。 1.坐标系为参考系的数学抽象。 2.参考系选定后,坐标系还可任选。在同一参考系中用不同的 坐标系描述同一运动,物体的运动形式相同,但其运动形式的数 学表述却可以不同。 3.常用坐标系 Z z(t 直角坐标系(x,y,z) P ·球极坐标系(r,B,g) ·柱坐标系(p,,z) 自然“坐标系 公/rn)y(r) §2运动函数 质点位置矢量 r(t 位置矢量(位矢、矢径):

1 力学 第一章 质点运动学 质点：实际物体有大有小，结构可能很复杂。根据我们所研究 对象的运动特点，有时可以把它们看成一个点，即质点。例如 研究地球的公转时，地球可以看成质点；在研究地球的自传时， 就不能看成质点。 运动学：力学中研究物体运动的内容，如：速度，位置，加速 度。不关心速度，加速度产生的原因。与之对应的概念是动力 学，研究的是速度，加速度产生的原因。如：牛顿运动定律。 §1 参考系，坐标系 一． 参考系 参考系：用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。 1.运动的相对性决定描述物体运动必须选取参考系。 2.运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式（如 轨迹、速度等）可以不同。 3.常用参考系: ·太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系） ·地心参考系（地球 ─ 恒星参考系） ·地面参考系或实验室参考系 ·质心参考系（第三章§6） 二. 坐标系 坐标系：固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。 1.坐标系为参考系的数学抽象。 2.参考系选定后，坐标系还可任选。在同一参考系中用不同的 坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，但其运动形式的数 学表述却可以不同。 3.常用坐标系: ·直角坐标系（ x , y , z ） ·球极坐标系（ r,θ,  ） ·柱坐标系 （, , z ） ·自然“坐标系” §2 运动函数 一. 质点位置矢量 位置矢量（位矢、矢径）： O ^ y ^ z ^ x · x z y z( t ) y( t ) x( t ) r( t ) P( t )

用来确定某时刻质点位置(用矢端表示)的矢量 位置矢量: xtv+=z 二.运动函数 机械运动是物体(质点)位置随时间的改变。可给出质点运 动到各处的时刻,从而得到质点位置坐标和时间的函数关系。该 函数关系称为质点的运动函数。 运动函数 r(1)=x()x+y()y+()2 或 x=x(1) (t) §3位移,速度,加速度 位移:质点在一段时间(M)内位置的改变(4F)叫做它 在这段时间内的位移。 r(汁+△t) 0(汁△t) 大小:AF=PP 位移AF=F(t+At)-f(t) 方向:P→P 路程:质点实际运动轨迹的长度 S。 注意:(1)△≠A,但ds=d (2) ≠N,drl≠dr。 要分清M、M、A等的几何意义,详见典型问题 速度:位矢对时间的变化率 △尸 1.平均速度

2 用来确定某时刻质点位置（用矢端表示）的矢量。 位置矢量： xx yy zz r r x y z ˆ ˆ ˆ ( , , ) = + + =   二. 运动函数 机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。可给出质点运 动到各处的时刻，从而得到质点位置坐标和时间的函数关系。该 函数关系称为质点的运动函数。 运动函数： r(t) = x(t)x ˆ + y(t)y ˆ + z(t)z ˆ  或 x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)。 §3 位移，速度，加速度 一. 位移：质点在一段时间（ t ）内位置的改变（ Δr  ）叫做它 在这段时间内的位移。 位移     →  =  = +  − 1 2 1 2 ( ) ( ) P P r PP r r t t r t 方向： 大小：     二. 路程：质点实际运动轨迹的长度 s。 注意：（1） s r , ds d r      但 = （2） r  r dr  dr   ， 。 要分清 r r r    、 、 等的几何意义,详见典型问题。 三. 速度 ：位矢对时间的变化率。 1.平均速度 ： t r   =   v P1 r(t+Δt ) r(t ) Δr x y z O Δs r(t+Δt ) r(t ) O Δr Δr · · P2

2.(瞬时)速度 v= lim d △t→)0△tdt 速度方向:沿轨迹切线方向。 速度大小(速率) dr ds dr dtdt dt 四.加速度:速度对时间的变化率 △U U(计△t f(汁+△t) U(+△t) 加速度a=limx=y= △t→0△ t dt dt 加速度的方向:V变化的方向 加速度的大小 d v d t s4匀加速运动 直线运动 抛体运动 求导 运动学的两类问题:F()积分V2a §5圆周运动 描述圆周运动的物理量 如图 (计+△n △n t() () t(计+

3 2.（瞬时）速度 ： r t r t r t      = =    → = d d 0 v lim 速度方向：沿轨迹切线方向。 速度大小（速率）： t r t s t r d d d d d d v = v = =    四. 加速度 ：速度对时间的变化率。 加速度 r t r t t t a       = = =    → = 2 2 d d d v d v 0 lim 加速度的方向： v  变化的方向 加速度的大小： t t a a d d v d d v = =    Δ§4 匀加速运动 直线运动： 抛体运动： 运动学的两类问题： r t a    ( ) v, §5 圆周运动 一. 描述圆周运动的物理量 如图： 积分 求导 v θ R Δθ x Δs O ω,  v(t ) · x r(t+Δt ) r(t) y z O v(t ) v(t+Δt ) Δv v(t ) v(t+Δt ) · · P1 P2 ＾ ＾ Δt =Δθ n ＾ t(t) t(t+Δt) n ＾ Δθ Δθ t(t+Δt) t(t) ＾ ＾ ＾ · O· R

角位移:△O de 角速度 dt d ·角加速度:az d t ds rde ·线速度:V= Ro dt dt 加速度 d=lmnY(+△t)-v( lim △t→0 △t △t→0 如图示,有: v(+M) △v=△v.+△ν 的大小 1aAd(m)d可=ra →0△talt a,的方向:M→>0时,a1的方向为切线方向。a1叫切 向加速度,它是描述速率变化快慢的物理量。 △v|BC an的大小: a=lmn1△=lm vBC v△S △Sy =lim lim tM→0r△tM→>0r△trM→>0△t an的方向:指向圆心,叫法向加速度。即中学时的向心 加速度

4 ·角位移 ：  ·角速度 ：     = = dt d ·角加 速度：    = =  dt d ·线速度 ：   R t R t s = = = d d d d v ·加速度 ： t v lim t v(t t) v(t) a lim t 0 t 0 Δ Δ Δ Δ Δ Δ     → → = + − = 如图示，有： t a  的大小：    r dt d r dt d r dt dv t v a t t t = = = =   =  → | | ( ) | | lim 0   t a  的方向： t →0 时， t a  的方向为切线方向。 t a  叫切 向加速度，它是描述速率变化快慢的物理量。 n a  的大小： r BC v vn = |  |  r r v t S r v r t v S r t vBC t v a t t t n t t 2 2 0 0 0 0 lim lim lim | | | | lim = =   =   =  =   =  →  →  →  →   n a  的方向：指向圆心，叫法向加速度。即中学时的向心 加速度。 n t n t a a a v v v       = +  =  +  v(t)  v(t +t)  n v  t v  v  

总结:|a=vanP+|a1P。对于圆周运动,我们只须将加 速度在法向,切向分解。这样的好处在于不必考虑速度的方 向问题,只看速率与角速度即可。 二.角量与线量的关系 由V=R 有 dv= ra, " le Ro d t R §7相对运动 相对运动问题指的是在不同参考系中观察同一物体运动所给 出的运动描述之间的关系问题。 以下我们仅讨论一参考系S"相对另一参考系S以速度正平动 时,同一物体在两参考系中的两个速度之间和两个加速度之间的 由图有:位移关系=△+A(1) 上式双方除以△t,再取极限,得: 速度关系V=V+u(2) 式中U称为绝对速度 U称为相对速度 L称为牵连速度 (2)式称为伽利略速度变换。 [例]下雨天骑车人只在胸前铺一块塑料布即可 遮雨。 U人对地(骑车) U雨对地 U雨对人 雨对地一渐对人十D人对地(骑车) 2)式等号双方对t再求一次导数,在S相对于S平动的条件 下得

5 总结： 2 2 | | | | | | a an at    = + 。对于圆周运动，我们只须将加 速度在法向，切向分解。这样的好处在于不必考虑速度的方 向问题，只看速率与角速度即可。 二.角量与线量的关系 由 v = R 有 R t at = = d d v ， 2 2 v R R an = = 。 §7 相对运动 相对运动问题指的是在不同参考系中观察同一物体运动所给 出的运动描述之间的关系问题。 以下我们仅讨论一参考系 S 相对另一参考系 S 以速度 u  平动 时，同一物体在两参考系中的两个速度之间和两个加速度之间的 由图有：位移关系 0 r r r     =   +  （1） 上式双方除以  t ，再取极限，得： 速度关系 u    v = v + （2） 式中 v  称为绝对速度 v  称为相对速度 u  称为牵连速度 （2）式称为伽利略速度变换。 [例] 下雨天骑车人只在胸前铺一块塑料布即可 遮雨。 （2）式等号双方对 t 再求一次导数，在 S 相对于 S 平动的条件 下得： 雨对地 雨对人 人对地(骑车) 雨对地=雨对人+人对地(骑车)