门第大兰 Tsinghua University 凸性条件 1.根据一阶导数（函数的梯度）来判断函数的凸性 设f(x)为定义在凸集R上，且具有连续的一阶导数 的函数，则(x)在R上为凸函数的充要条件是对凸 集R内任意不同两点x,x2,不等式 f(x)f(x)+(xx)'vf(x) 恒成立
1.根据⼀阶导数（函数的梯度）来判断函数的凸性 设f(x)为定义在凸集R上，且具有连续的⼀阶导数 的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件是对凸 集R内任意不同两点 x1 x2，不等式 ( 2 1 21 1 ) ( ) ( ) ( ) T fx fx x x fx ³ + - Ñ 恒成⽴。 凸性条件
清蒋大兰 Tsinghua University 凸性条件 2.根据二阶导数（Hesse矩阵)来判断函数的凸性 设fx)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的 函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件： Hesse?矩阵在R上处处半正定 f在x处的Hesse矩阵为nXn矩阵V2f(x),第i行第j列元素为 [fx1,=铝 2f2,1≤ij≤m
2.根据⼆阶导数（ Hesse矩阵)来判断函数的凸性 设f(x)为定义在凸集R上且具有连续⼆阶导数的 函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件： Hesse矩阵在R上处处半正定 凸性条件
清蒂大当 Tsinghua University 凸优化 对于约束优化问题 minf(x) s.t. 8,(x)≤0j=1,2,,m 若f(x)g,（x)都为凸函数，则此问题为凸规划。 凸优化问题是一种特殊的约束优化问题，需满足目标函 数为凸函数，并且等式约束函数为线性函数，不等式 约束函数为凸函数（小于等于0，可行域为凸集）
对于约束优化问题 min f x( ) s t. . ( ) 0 j g x £ j m =1, 2,..., 若 f x( ) g x j ( )都为凸函数，则此问题为凸规划。 凸优化 凸优化问题是一种特殊的约束优化问题，需满足目标函 数为凸函数，并且等 式约束函数为线性函数，不等式 约束函数为凸函数（小于等于0，可行域为凸集）
清蒋大兰 Tsinghua University 凸优化的性质 1若给定-点，则集合R={f)}为凸集。 2.可行域R={850l2m}为凸集 3凸规划的任何局部最优解就是全局最优解
1.若给定⼀点 , 则集合 0 x 为凸集。 2.可⾏域 为凸集 3.凸规划的任何局部最优解就是全局最优解 凸优化的性质
消荐大多 Tsinghua University 凸优化问题 ·凸优化问题：指约束最优化问题 min :f(w网 s.t. g,(w≤0，i=1,2,…,k h(w)=0,i=1,2,…,1 ·其中，目标函数f(w)和约束函数g(w都是Rn上连续可微的凸函数， 约束函数h(w)是Rn上的仿射函数 ·当目标函数为二次函数，g函数为仿射函数时，为凸二次规划问 题
• 凸优化问题: 指约束最优化问题 • 其中，⽬标函数f(w) 和约束函数gi (w)都是Rn上连续可微的凸函数， 约束函数hj (w)是Rn上的仿射函数 • 当⽬标函数为⼆次函数，g函数为仿射函数时，为凸⼆次规划问 题。 凸优化问题