将t=x1,代入后一方程得质点的轨道方程+Mg=Ma, 为 即F=f+M+(m+Mg Ds sina 算得F=16.17(N) 因此要将板从物体下面抽出,至少需要 这是抛物线方程 16.17N的力 22桌上有一质量M=1kg的平板,板 2.3如图所示:已知F=4N,m1 上放一质量m=2kg的另一物体,设物体与0.3kg,m2=0.2kg,两物体与水平面的的摩 板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为=擦因素匀为02.求质量为m的物体的加速 0.25,静摩擦因素为山=0.30.求 度及绳子对它的拉力.(绳子和滑轮质量均 (1)今以水平力F拉板,使两者一起不计 以a=1ms2的加速度运动,试计算物体与 F 板、与桌面间的相互作用力 (2)要将板从物体下面抽出,至少需 要多大的力? 图23 解答](1)物体与板之间有正压力和摩 [解答]利用几何关系得两物体的加速度 擦力的作用 之间的关系为a2=2a1,而力的关系为T1= 板对物体的支持大小等于物体的重力 19.6(N 对两物体列运动方程得 这也是板受物体的压力的大小,但压力方向 72-mg=ma2, 相反 F-T1-Um18=ma1 物体受板摩擦力 可以解得m的加速度为 做加速运动,摩擦力的 大小为 F-(m+2m2)g=478(ms2), m1/2+2m2 m=ma=2(N), 这也是板受到的摩擦 绳对它的拉力为 力的大小,摩擦力方向也相反 板受桌子的支持力大小等于其重力 F-mg/2)=135(N m1/2+2m2 NM=(m+Mg=294( 这也是桌子受板的压力的大小,但方向相 2.4两根 板在桌子上滑动,所受摩擦力的大小为弹簧的倔强系 MM=HNM=7.35(N 数分别为k和 这也是桌子受到的摩擦力的大小,方向也相 求证 反 (1)它们WW (2)设物体在最大静摩擦力作用下和串联起来时, 板一起做加速度为a的运动,物体的运动方总倔强系数k 图 2.4 程为 f=usmg=ma', 与k和k2.满足关系关系式= 可得a=g 板的运动方程为 (2)它们并联起来时,总倔强系数k F-f-ua(m
6 将 t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程 为 2 2 0 g sin y x v = ， 这是抛物线方程． 2.2 桌上有一质量 M = 1kg 的平板，板 上放一质量 m = 2kg 的另一物体，设物体与 板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为 μk = 0.25，静摩擦因素为 μs = 0.30．求： （1）今以水平力 F 拉板，使两者一起 以 a = 1m·s-2 的加速度运动，试计算物体与 板、与桌面间的相互作用力； （2）要将板从物体下面抽出，至少需 要多大的力？ [解答]（1）物体与板之间有正压力和摩 擦力的作用． 板对物体的支持大小等于物体的重力 Nm = mg = 19.6(N)， 这也是板受物体的压力的大小，但压力方向 相反． 物体受板摩擦力 做加速运动，摩擦力的 大小为 fm = ma = 2(N)， 这也是板受到的摩擦 力的大小，摩擦力方向也相反． 板受桌子的支持力大小等于其重力 NM = (m + M)g = 29.4(N)， 这也是桌子受板的压力的大小，但方向相 反． 板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为 fM = μkNM = 7.35(N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相 反． （2）设物体在最大静摩擦力作用下和 板一起做加速度为 a`的运动，物体的运动方 程为 f =μsmg = ma`， 可得 a` =μsg． 板的运动方程为 F – f – μk(m + M)g = Ma`， 即 F = f + Ma` + μk(m + M)g = (μs + μk)(m + M)g， 算得 F = 16.17(N)． 因此要将板从物体下面抽出，至少需要 16.17N 的力． 2．3 如图所示：已知 F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩 擦因素匀为 0.2．求质量为 m2 的物体的加速 度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均 不计） [解答]利用几何关系得两物体的加速度 之间的关系为 a2 = 2a1，而力的关系为 T1 = 2T2． 对两物体列运动方程得 T2 - μm2g = m2a2， F – T1 – μm1g = m1a1． 可以解得 m2 的加速度为 1 2 2 1 2 ( 2 ) / 2 2 F m m g a m m − + = + = 4.78(m·s-2 )， 绳对它的拉力为 2 1 1 2 ( / 2) / 2 2 m T F m g m m = − + = 1.35(N)． 2．4 两根 弹簧的倔强系 数分别为 k1 和 k2．求证： （1）它们 串联起来时， 总倔强系数 k 与 k1 和 k2．满足关系关系式 1 2 1 1 1 k k k = + ； （2）它们并联起来时，总倔强系数 k = k1 + k2． Nm fm NM fM a Nm f NM f ` f F a` m2 T1 F a1 T m1 a2 2 f2 f1 图 2.3 k1 k2 F (a) k1 k2 F 图 2.4 (b)
解答]当力F将弹簧共拉长x时,有F 其中k为总倔强系数 T=V(ma)+(mg)=mya+g 两个弹簧分别拉长x和x2,产生的弹力 (3)小车沿斜 分别为 面自由滑下时,摆仍 F1=k1x1,F2=k2x2 然受到重力和拉力 (1)由于弹簧串联,所以 合力沿斜面向下,所 F=F1=F2,x=x1+x, 以 因此FF,F kk1k2’kkk2 (3) (4)根据题意 (2)由于弹簧并联,所以 作力的矢量图,将 F=F1+F2,x=x1=x2 竖直虚线延长,与 因此kx=k1x1+k2x2,即k=k1+k 水平辅助线相交, 可得一直角三角 如所示,为的果形;0角的对边是 (4) 求摆线的方向(即摆线与竖直线的夹角O) + masino,由此可 及线中的张力T 得 (1)小车沿水平线作匀速运动 (2)小车以加速 mb cosp ng+mosin 度a沿水平方向运动 因此角度为 (3)小车自由地 从倾斜平面上滑下,斜 cOS 0=arctan 面与水平面成φ角 +bsin (4)用与斜面平 图25 而张力为 行的加速度b把小车 T=(mb)+(mg)2-2(mb)(mg)cos(/2+o) 沿斜面往上推(设b1=b) mb2+g2+2bg sin o (5)以同样大小的加速度b2(b=b) 将小车从斜面上推下来 (5)与上一问 相比,加速度的方向 解答](1)小车 反向,只要将上一结 沿水平方向做匀速直 果中的b改为-b就行 线运动时,摆在水平 了 方向没有受到力的作 用,摆线偏角为零, 2.6如图所示 (5) 线中张力为T=mg 质量为m=10kg的 (2)小车在水平 小球,拴在长度l=5m 方向做加速运动时,重力和拉力的合力就是的轻绳子的一端,构成 合外力.由于 一个摆.摆动时,与竖 直线的最大夹角为 所以0= arctan(a/g) 绳子张力等于摆所受的拉力 (1)小球通过竖 图26
7 [解答]当力 F 将弹簧共拉长 x 时，有 F = kx，其中 k 为总倔强系数． 两个弹簧分别拉长 x1 和 x2，产生的弹力 分别为 F1 = k1x1，F2 = k2x2． （1）由于弹簧串联，所以 F = F1 = F2，x = x1 + x2， 因此 1 2 1 2 F F F k k k = + ，即 1 2 1 1 1 k k k = + ． （2）由于弹簧并联，所以 F = F1 + F2，x = x1 = x2， 因此 kx = k1x1 + k2x2，即 k = k1 + k2． 2．5 如图所示，质量为 m 的摆悬于架 上，架固定于小车上，在下述各种情况中， 求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角 θ） 及线中的张力 T． （1）小车沿水平线作匀速运动； （2）小车以加速 度 1 a 沿水平方向运动； （3）小车自由地 从倾斜平面上滑下，斜 面与水平面成 φ 角； （4）用与斜面平 行的加速度 1 b 把小车 沿斜面往上推（设 b1 = b）； （5）以同样大小的加速度 2 b （b2 = b）， 将小车从斜面上推下来． [解答]（1）小车 沿水平方向做匀速直 线运动时，摆在水平 方向没有受到力的作 用，摆线偏角为零， 线中张力为 T = mg． （2）小车在水平 方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是 合外力．由于 tanθ = ma/mg， 所以 θ = arctan(a/g)； 绳子张力等于摆所受的拉力 2 2 2 2 T ma mg m a g = + = + ( ) ( ) ． （3）小车沿斜 面自由滑下时，摆仍 然受到重力和拉力， 合力沿斜面向下，所 以 θ = φ； T = mgcosφ． （4）根据题意 作力的矢量图，将 竖直虚线延长，与 水平辅助线相交， 可得一直角三角 形，θ 角的对边是 mbcosφ，邻边是 mg + mbsinφ，由此可 得： cos tan sin mb mg mb = + ， 因此角度为 cos arctan sin b g b = + ； 而张力为 2 2 T mb mg mb mg = + − + ( ) ( ) 2( )( )cos( / 2 ) π 2 2 = + + m b g bg 2 sin ． （5）与上一问 相比，加速度的方向 反向，只要将上一结 果中的b改为-b就行 了． 2．6 如图所示： 质量为 m = 10kg 的 小球，拴在长度 l = 5m 的轻绳子的一端，构成 一个摆．摆动时，与竖 直线的最大夹角为 60°．求： （1）小球通过竖 图 2.5 T mg ma θ （2） T mg ma φ θ （3） T mg mb φ θ φ （4） T mg mb φ θ （5） l m θ B C O 图 2.6
直位置时的速度为多少?此时绳的张力多切向加速度为 ? (2)在0<60°的任一位置时,求小球法向加速度为 速度v与θ的关系式.这时小球的加速度为 多大?绳中的张力多大? a,=t=g(2 cos 8-D) (3)在O=60°时,小球的加速度多大? 绳的张力有多大? 由于Tc- mgcos0=man,所以张力为 [解答](1)小球 Tc=mgcos0 man=mg(3cos0-1) 在运动中受到重力和 (3)当0=60°时,切向加速度为 绳子的拉力,由于小球 沿圆弧运动,所以合力 2g=84ms2 方向沿着圆弧的切线 方向,即F=- nasIr 法向加速度为 负号表示角度θ增加的方向为正方向 小球的运动方程为 绳子的拉力 d 2s mg/2=0.49(N). F [注意]在学过机械能守恒定律之后,求 解速率更方便 其中s表示弧长.由于s=R=10,所以速 度为 2.7小石块沿一弯曲光滑轨道上由静 止滑下h高度时,它的速率多大?(要求用 牛顿第二定律积分求解) 因此 [解答]小石块在运动 中受到重力和轨道的支持 F dy de de dt l de 力,合力方向沿着曲线方 即 dv=-glsinede 向.设切线与竖直方向的h n rdv=-glho s 夹角为O,则 取积分 sIn do F=goose. 小球的运动方程为 图2.7 gl cos 8 F=ma= m 解得 g s表示弧长 =22l(ms) 由于,、ds,所以 由于 dt2 dtdtdt ds dtds 所以TB=2mg=1.96(N) (2)由(1)式积分得 因此dy= goosed h表示石下落的高度 vc=gl cos 8+C 积分得 v=gh+C 当O=60°时,vc=0,所以C=-lg/2 因此速度为 当h=0时,=0,所以C=0, vn=√gl(2cosb 因此速率为v=√2g
8 直位置时的速度为多少？此时绳的张力多 大？ （2）在 θ < 60°的任一位置时，求小球 速度 v 与 θ 的关系式．这时小球的加速度为 多大？绳中的张力多大？ （3）在 θ = 60°时，小球的加速度多大？ 绳的张力有多大？ [解答]（1）小球 在运动中受到重力和 绳子的拉力，由于小球 沿圆弧运动，所以合力 方向沿着圆弧的切线 方向，即 F = -mgsinθ， 负号表示角度 θ 增加的方向为正方向． 小球的运动方程为 2 2 d d s F ma m t = = ， 其中 s 表示弧长．由于 s = Rθ = lθ，所以速 度为 d d d d s v l t t = = ， 因此 d d d d d d d d v v m v F m m v t t l = = = ， 即 vdv = -glsinθdθ， （1） 取积分 0 0 60 d sin d B v v v gl = − ， 得 0 2 60 1 cos 2 B v gl = ， 解得 B v gl = = 2.21(m·s-1 )． 由于 2 2 B B B v v T mg m m mg R l − = = = ， 所以 TB = 2mg = 1.96(N)． （2）由（1）式积分得 1 2 cos 2 C v gl C = + ， 当 θ = 60º 时，vC = 0，所以 C = -lg/2， 因此速度为 (2cos 1) C v gl = − ． 切向加速度为 at = gsinθ； 法向加速度为 2 (2cos 1) C n v a g R = = − ． 由于 TC – mgcosθ = man，所以张力为 TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)． （3）当 θ = 60º 时，切向加速度为 3 2 t a g = = 8.49(m·s-2 )， 法向加速度为 an = 0， 绳子的拉力 T = mg/2 = 0.49(N)． [注意]在学过机械能守恒定律之后，求 解速率更方便． 2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静 止滑下 h 高度时，它的速率多大？（要求用 牛顿第二定律积分求解） [解答]小石块在运动 中受到重力和轨道的支持 力，合力方向沿着曲线方 向．设切线与竖直方向的 夹角为 θ，则 F = mgcosθ． 小球的运动方程为 2 2 d d s F ma m t = = ， s 表示弧长． 由于 d d s v t = ，所以 2 2 d d d d d d d ( ) d d d d d d d s s v v s v v t t t t s t s = = = = ， 因此 vdv = gcosθds = gdh， h 表示石下落的高度． 积分得 1 2 2 v gh C = + ， 当 h = 0 时，v = 0，所以 C = 0， 因此速率为 v gh = 2 ． l m θ B C O mg T h θ m N mg 图 2.7
(2)如果n≠1,可得 2.8质量为m的物体,最初静止于x0 x+c k 在力∫=-(为常数)作用下沿直线运 利用初始条件x=x0时,y=0,所以 动证明物体在x处的速度大小v=[2(1/x- l/xo)/m]12 证明]当物体在直线上运动时,根据牛 顿第二定律得方程 因此1m2=-k(-1--1 f =ma= 2k 即 利用v=dv/d,可得 (n-I)m x x o d -x dv 当n=2时,即证明了本题的结果 dt2 dt 由t 2.9一质量为m的小球以速率1从 因此方程变为 地面开始竖直向上运动.在运动过程中,小 球所受空气阻力大小与速率成正比,比例系 数为k.求: 积分得 (1)小球速率随时间的变化关系1(1) k (2)小球上升到最大高度所花的时间 利用初始条件,当x=x0时,v=0,所解答](1)小球竖直上升时受到重力和 以C=-kx0,因此 空气阻力,两者方向向下,取向上的方向为 I mkk 下,根据牛顿第二定律得方程 2k(I-1) 分离变量得 证毕 d(mg +hv) 讨论此题中,力是位置的函数:∫= f(x),利用变换可得方程:mdv=fx)x,积积分得 分即可求解 I=-In(mg+kv)+C 如果f(x)=-x,则得 当t=0时,v=1,所以 (1)当n=1时,可得 -y=-kInx+C 因此 利用初始条件x=时,”=0,所以C=m,t=-mmnm+=- mIn mg/k+ +k k mg/k+vo 因此m2=klnx 小球速率随时间的变化关系为 mg Ro p(--) m k (2)当小球运动到最高点时v=0,所
9 2．8 质量为 m 的物体，最初静止于 x0， 在力 2 k f x = − (k 为常数)作用下沿直线运 动．证明物体在 x 处的速度大小 v = [2k(1/x – 1/x0)/m] 1/2． [证明]当物体在直线上运动时，根据牛 顿第二定律得方程 2 2 2 d d k x f ma m x t = − = = 利用 v = dx/dt，可得 2 2 d d d d d d d d d d x v x v v v t t t x x = = = ， 因此方程变为 2 d d k x mv v x = − ， 积分得 1 2 2 k mv C x = + ． 利用初始条件，当 x = x0 时，v = 0，所 以 C = -k/x0，因此 2 0 1 2 k k mv x x = − ， 即 0 2 1 1 ( ) k v m x x = − ． 证毕． [讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积 分即可求解． 如果 f(x) = -k/xn，则得 1 d 2 2 n x mv k x = − ． （1）当 n = 1 时，可得 1 2 ln 2 mv k x C = − + ． 利用初始条件 x = x0 时，v = 0，所以 C = lnx0， 因此 1 2 0 ln 2 x mv k x = ， 即 2 0 ln k x v m x = ． （2）如果 n≠1，可得 1 2 1 2 1 k n mv x C n − = − + − ． 利用初始条件 x = x0 时，v = 0，所以 1 0 1 k n C x n − = − − ， 因此 2 1 1 0 1 1 1 ( ) 2 1 n n k mv n x x − − = − − ， 即 1 1 0 2 1 1 ( ) ( 1) n n k v n m x x − − = − − ． 当 n = 2 时，即证明了本题的结果． 2．9 一质量为 m 的小球以速率 v0 从 地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小 球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系 数为 k．求： （1）小球速率随时间的变化关系 v(t)； （2）小球上升到最大高度所花的时间 T． [解答]（1）小球竖直上升时受到重力和 空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为 下，根据牛顿第二定律得方程 d d v f mg kv m t = − − = ， 分离变量得 d d( ) d v m mg kv t m mg kv k mg kv + = − = − + + ， 积分得 ln ( ) m t mg kv C k = − + + ． 当 t = 0 时，v = v0，所以 0 ln ( ) m C mg kv k = + ， 因此 0 0 / ln ln / m mg kv m mg k v t k mg kv k mg k v + + = − = − + + ， 小球速率随时间的变化关系为 0 ( )exp( ) mg kt mg v v k m k = + − − ． （2）当小球运动到最高点时 v = 0，所
需要的时间为 N=m/R T=m mg/k+Vo ="In(l+-) 物体所受的摩擦力为 负号表示力的方向与速度的方向相反 讨论](1)如果还要求位置与时间的关 根据牛顿第二定律得 系,可用如下步骤 由于y=dv/d,所以 ∫=-4mn=m R mg)exp( dx=[+ k dv dt m(vo +mg/k) dexp kt、m 积分得 积分得 m(vo + mg /k k、mgt+C", 当t=0时,v=1,所以 k k 当t=0时,x=0,所以 C m(vo+mg /k) k 因此 因此2t n(vo+mg/k k [-exp(-一)-t (2)如果小球以m的初速度向下做直解得v=- 线运动,取向下的方向为正,则微分方程变 1+u,Vo!/R k r d(1+uvot/R) 用同样的步骤可以解得小球速率随时间的 1+V/R1+v/R 变化关系为 积分得 y="-(" x=-ln(1+ Akol R 这个公式可将上面公式中的g改为-g得 出.由此可见:不论小球初速度如何,其最当t=0时,x=x0,所以C=0,因此 终速率趋于常数Vm=mgk R Akvo R 2.10如图所示:光滑的水平桌面上放 置一固定的圆环带,半径为R.一物体帖着 环带内侧运动,物体与环 带间的滑动摩擦因数为 k,设物体在某时刻经A 2.12如图所示 点时速率为1,求此后时 半径为R的金属光滑 刻物体的速率以及从A图210 圆环可绕其竖直直径转 点开始所经过的路程 动.在环上套有一珠 解答]物体做圆周运动的向心力是由圆子.今逐渐增大圆环的转 环带对物体的压力,即 动角速度,试求在不同 图212
10 需要的时间为 0 0 / ln ln(1 ) / m m mg k v kv T k mg k k mg + = = + ． [讨论]（1）如果还要求位置与时间的关 系，可用如下步骤． 由于 v = dx/dt，所以 0 d [( )exp( ) ]d mg kt mg x v t k m k = + − − ， 即 0 ( / ) d d exp( ) d m v mg k kt mg x t k m k + = − − − ， 积分得 0 ( / ) exp( ) ` m v mg k kt mg x t C k m k + = − − − + ， 当 t = 0 时，x = 0，所以 0 ( / ) ` m v mg k C k + = ， 因此 0 ( / )[1 exp( )] m v mg k kt mg x t k m k + = − − − ． （2）如果小球以 v0 的初速度向下做直 线运动，取向下的方向为正，则微分方程变 为 d d v f mg kv m t = − = ， 用同样的步骤可以解得小球速率随时间的 变化关系为 0 ( )exp( ) mg mg kt v v k k m = − − − ． 这个公式可将上面公式中的 g 改为-g 得 出．由此可见：不论小球初速度如何，其最 终速率趋于常数 vm = mg/k． 2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放 置一固定的圆环带，半径为 R．一物体帖着 环带内侧运动，物体与环 带间的滑动摩擦因数为 μk．设物体在某时刻经 A 点时速率为 v0，求此后时 刻 t 物体的速率以及从 A 点开始所经过的路程． [解答]物体做圆周运动的向心力是由圆 环带对物体的压力，即 N = mv2 /R． 物体所受的摩擦力为 f = -μkN， 负号表示力的方向与速度的方向相反． 根据牛顿第二定律得 2 d d k v v f m m R t = − = ， 即 2 d d k v t R v = − ． 积分得 k 1 t C R v = + ． 当 t = 0 时，v = v0，所以 0 1 C v = − ， 因此 0 k 1 1 t R v v = − ． 解得 0 0 1 / k v v v t R = + ． 由于 0 0 0 0 d d(1 / ) d 1 / 1 / k k k k v t v t R R x v t R v t R + = = + + ， 积分得 0 ln (1 ) ` k k R v t x C R = + + ， 当 t = 0 时，x = x0，所以 C = 0，因此 0 ln (1 ) k k R v t x R = + ． *2．11 2．12 如图所示， 一半径为 R 的金属光滑 圆环可绕其竖直直径转 动 ． 在 环 上套 有 一 珠 子．今逐渐增大圆环的转 动角速度 ω，试求在不同 A R v0 图 2.10 m R ω θ r mg 图 2.12