对于投影面垂直线的辨认:直线的投影中只要有一个投影积聚为一点,则该直线一定是 投影面垂直线,且一定垂直于其投影积聚为一点的那个投影面。 例3-4如图2-22所示,已知正垂线AB的点A的投影,直线AB长度为10毫米 试作直线AB的三面投影(只需一解)。 (a’) X Yw 图3-11作正垂线AB 分析:所求线段AB是正垂线。根据正垂线的投影特性可知,ab’积聚为一点,ab∥OX, a"b"∥OZ,且ab=a"b"=10 作图方法与步骤如图3-11(b)所示 1.直线AB的正面投影a'b',积聚在a'一点。 2.自a(或a")在OX轴的垂线上取ab(a"b")=10 3.由b(或b")和b’,求出b"(或b)。则ab、a"b"即是所求正垂线AB的水平投影 和侧面投影 (三)一般位置直线 与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线 如图3-12(a)所示,直线AB与H、V、W面都处于倾斜位置,倾角分别为α、β Y。其投影如图3-12(b)所示 Z B b Y
对于投影面垂直线的辨认：直线的投影中只要有一个投影积聚为一点，则该直线一定是 投影面垂直线，且一定垂直于其投影积聚为一点的那个投影面。 例 3－4 如图 2－22 所示，已知正垂线 AB 的点 A 的投影，直线 AB 长度为 10 毫米， 试作直线 AB 的三面投影（只需一解）。 （a） （b） 图 3－11 作正垂线 AB 分析：所求线段 AB 是正垂线。根据正垂线的投影特性可知，a′b′ 积聚为一点，ab∥OX ， a″b″∥OZ ，且 ab = a″b″ =10。 作图方法与步骤如图 3－11（b）所示： 1．直线 AB 的正面投影 a′ b′，积聚在 a′ 一点。 2．自 a（或 a″）在 OX 轴的垂线上取 ab（a″b″）=10。 3．由 b（或 b″）和 b′ ，求出 b″（或 b）。则 ab、a″b″ 即是所求正垂线 AB 的水平投影 和侧面投影。 （三）一般位置直线 与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。 如图 3－12（a）所示，直线 AB 与 H、V、W 面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、 γ。其投影如图 3－12（b）所示。 O O a X X a Z Z b 10 YW YW YH YH a′ a″ b′（ a′） a″ b″ γ O a H α X A β b a Y X b O W Z V B Z YW YH b′ b″ a″ a′ b′ b″ a′ a″
(b) 3-12一般位置直线 一般位置直线的投影特征可归纳为: 1.直线的三个投影和投影轴都倾斜,各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相 应投影面的倾角; 2.任何投影都小于空间线段的实长,也不能积聚为一点 对于一般位置直线的辨认:直线的投影如果与三个投影轴都倾斜,则可判定该直线为 般位置直线 三、一般位置直线的实长和对投影面的倾角 般位置直线的投影不反映空间线段的真实长度,也不反映它与各投影面所成夹角的真 实大小。但是如果有了空间线段的两个投影,这一线段的空间位置就完全确定了,我们就可 以根据这两个投影通过图解法求出线段的实长及其对投影面的倾角。常用的方法是直角三角 图3-13表示用直角三角形法求一般位置线段的实长及其对投影面的倾角的原理。AB 为一般位置直线,过端点A作直线平行其水平投影并交Bb于C,得直角三角形ABC。 在直角三角形ABC中,斜边AB就是线段本身,底边AC等于线段AB的水平投影ab,对 边BC等于线段AB的两端点到H面的距离差(Z坐标差),也即等于a'b'两端点到投影轴 OX的距离差,而AB与底边AC的夹角即为线段AB对H面的倾角a 根据上述分析,只要用一般位置直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的底边,用 直线的两端点到该投影面的距离差为另一直角边,作出一直角三角形。此直角三角形的斜边 就是空间线段的真实长度,而斜边与底边的夹角就是空间线段对该投影面的倾角。这就是直 角三角形法。 实长/ 实长 实长 YH
（a） （b） 图 3—12 一般位置直线 一般位置直线的投影特征可归纳为： 1．直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相 应投影面的倾角； 2．任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。 对于一般位置直线的辨认：直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一 般位置直线。 三、一般位置直线的实长和对投影面的倾角 一般位置直线的投影不反映空间线段的真实长度，也不反映它与各投影面所成夹角的真 实大小。但是如果有了空间线段的两个投影，这一线段的空间位置就完全确定了，我们就可 以根据这两个投影通过图解法求出线段的实长及其对投影面的倾角。常用的方法是直角三角 形法。 图 3－13 表示用直角三角形法求一般位置线段的实长及其对投影面的倾角的原理。AB 为一般位置直线，过端点 A 作直线平行其水平投影 ab 并交 Bb 于 C，得直角三角形 ABC。 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB 就是线段本身，底边 AC 等于线段 AB 的水平投影 ab，对 边 BC 等于线段 AB 的两端点到 H 面的距离差（Z 坐标差），也即等于 a′ b′ 两端点到投影轴 OX 的距离差，而 AB 与底边 AC 的夹角即为线段 AB 对 H 面的倾角α。 根据上述分析，只要用一般位置直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的底边，用 直线的两端点到该投影面的距离差为另一直角边，作出一直角三角形。此直角三角形的斜边 就是空间线段的真实长度，而斜边与底边的夹角就是空间线段对该投影面的倾角。这就是直 角三角形法。 △X α β X 实长 a a′ 实长 YW △y O b z YH △y γ 实长 y △Z b′ a″ Z x b″ △Z H α a ZA b O ZB b′ a′ α A V C B
3-13直角三角形氵 3-14用直角三角形法求线段实长 及其与投影面的倾角的原理 作图方法与步骤如图3-14所示,用线段的任一投影为底边均可用直角三角形法求出空 间线段的实长,其长度是相同的,但所得倾角不同 在直角三角形法中,直角三角形包含四个因素:投影长、坐标差、实长、倾角。只要知 道两个因素,就可以将其余两个求出来 例3-5如图3-15(a)所示,已知直线AB的实长L=15mm,及直线AB的水平投 影ab和点A的正面投影a',试用直角三角形法求出直线AB的正面投影a'b br A B 图3-15直角三角形法应用示例 分析:用直线AB的实长L和直线AB的水平投影ab可以作出直角三角形△abA0,从 而得到A、B两点与H面的距离差,由距离差即可确定出b的位置,作a'、b连线就是 直线AB的正面投影 作图方法与步骤如图3-15(b)所示: 1.在H面中,自a点作直线垂直于ab,以b点为圆心,以直线AB的实长L为半径作 弧与ab的垂线交于A0,连bA0得直角三角形△abAo,该直角三角形中的直角边aA0即为A B两点距H面的距离差。 2.过b作垂直OX轴的投影连线:过a'作OX轴的平行线,两线相交于b。由bo 可向上或向下量取bo'b'或b'"b2,使之都等于aAo,得到b!'、b2’两点
图 3－13 直角三角形法 图 3－14 用直角三角形法求线段实长 及其与投影面的倾角的原理 作图方法与步骤如图 3－14 所示，用线段的任一投影为底边均可用直角三角形法求出空 间线段的实长，其长度是相同的，但所得倾角不同。 在直角三角形法中，直角三角形包含四个因素：投影长、坐标差、实长、倾角。只要知 道两个因素，就可以将其余两个求出来。 例 3－5 如图 3－15（a）所示，已知直线 AB 的实长 L =15mm，及直线 AB 的水平投 影 ab 和点 A 的正面投影 a′ ，试用直角三角形法求出直线 AB 的正面投影 a′ b′。 （a） （b） 图 3—15 直角三角形法应用示例 分析：用直线 AB 的实长 L 和直线 AB 的水平投影 ab 可以作出直角三角形△abA 0，从 而得到 A、B 两点与 H 面的距离差，由距离差即可确定出 b′ 的位置，作 a′ 、b′ 连线就是 直线 AB 的正面投影。 作图方法与步骤如图 3－15（b）所示： 1．在 H 面中，自 a 点作直线垂直于 ab，以 b 点为圆心，以直线 AB 的实长 L 为半径作 弧与 ab 的垂线交于 A0，连 bA0 得直角三角形△abA0，该直角三角形中的直角边 aA0 即为 A、 B 两点距 H 面的距离差。 2．过 b 作垂直 OX 轴的投影连线 ；过 a′ 作 OX 轴的平行线，两线相交于 b0′。由 b0 可向上或向下量取 b0′ b1′或 b0′ b2′，使之都等于 aA0，得到 b1′ 、b2′ 两点。 A L a b X a′ a B X O O AO b b2′ bO′ b1′ a′
3.连a'b1和a'b2,则a'b1和a'b2′均可为直线AB的正面投影,表明该题有两个解 四、直线上点的投影 (一)直线上点的投影 点在直线上,则点的各个投影必定在该直线的同面投影上,反之,若一个点的各个投影 都在直线的同面投影上,则该点必定在直线上,如图3-16所示直线AB上有一点C,则C 点的三面投影c、c、c”必定分别在该直线AB的同面投影ab、a'b'、a"b"上。 Y (b) 图3-16直线上点的投影 (二)直线投影的定比性 直线上的点分割线段之比等于其投影之比,这称为直线投影的定比性 在图3-16中,点C在线段AB上,它把线段AB分成AC和CB两段。根据直线投影 的定比性,AC:CB=ac:cb=a'c':c'b=a"c":c"b
3．连 a′ b1 / 和 a′ b2′ ，则 a′ b1′ 和 a′ b2′ 均可为直线 AB 的正面投影，表明该题有两个解。 四、直线上点的投影 （一）直线上点的投影 点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影 都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上，如图 3－16 所示直线 AB 上有一点 C，则 C 点的三面投影 c、c′、c″ 必定分别在该直线 AB 的同面投影 ab、a′ b′、a″b″ 上。 （a） （b） 图 3－16 直线上点的投影 （二）直线投影的定比性 直线上的点分割线段之比等于其投影之比，这称为直线投影的定比性。 在图 3－16 中，点 C 在线段 AB 上，它把线段 AB 分成 AC 和 CB 两段。根据直线投影 的定比性，AC：CB = ac：cb = a′ c′：c′ b′ = a″c″：c″b″ 。 b B C a H X c A a′ b′ V c′ a″ O O a″ a′ a Y X YH b YW b″ W c″ Z b′ b″ Z c′ c c″