第三章点、直线、平面的投影 点、直线、平面是构成物体的基本几何元素,研究它们的投影,可提高对物体投影的分 析能力和空间想像能力,解决复杂物体画图及读图中的问题。 第一节点的投影 、点的三面投影的形成与标记 根据前述投影法,如图3-1(a)所示,假设空间有一点A,过点A分别向H面、V 面和W面作垂线,得到三个垂足a、a'、a",便是点A在三个投影面上的投影。在这里规定 用大写字母(如A)表示空间点,它的水平投影、正面投影和侧面投影,分别用相应的小写 字母(如a、a'和a")表示。 根据三面投影图的形成规律将其展开,可以得到如图3-1(b)所示的带边框的三面投 影图,即得到点A两面投影;省略投影面的边框线,就得到如图3-1(c)所示的A点的 三面投影图 Z a(x, z) (y,z) ayw H X,y (b) dⅦH YH
第三章 点、直线、平面的投影 点、直线、平面是构成物体的基本几何元素，研究它们的投影，可提高对物体投影的分 析能力和空间想像能力，解决复杂物体画图及读图中的问题。 第一节 点的投影 一、点的三面投影的形成与标记 根据前述投影法，如图 3－1（a）所示，假设空间有一点 A，过点 A 分别向 H 面、V 面和 W 面作垂线，得到三个垂足 a、a′、a″，便是点 A 在三个投影面上的投影。在这里规定 用大写字母（如 A）表示空间点，它的水平投影、正面投影和侧面投影，分别用相应的小写 字母（如 a、a′ 和 a″）表示。 根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到如图 3－1（b）所示的带边框的三面投 影图，即得到点 A 两面投影；省略投影面的边框线，就得到如图 3－1（c）所示的 A 点的 三面投影图。 （a） （b） a(x,y) aX A H Y X aX a Y H O W Y X Z V Z aZ X Z W V a YH YH O YW aYW Z aZ W X aY a″ a′ a′(x,z) a″(y,z) a X YH 45° O YW Z aX aYW aYH a′ aZ a″
图3-1点的两面投影 二、点的坐标 从图3-1(a)、(b)可以看出,Aa、Aa、Aa"分别为点A到H、V、W面的距离, Aa=ax=a"ay(即a"ayw),反映空间点A到H面的距离; Aa'=aax=a"az,反映空间点A到Ⅴ面的距离 Aa"=aaz=aay(即aYH),反映空间点A到W面的距离; 上述即是点的投影与点的空间位置的关系,根据这个关系,若已知点的空间位置,就可 以画出点的投影。反之,若已知点的投影,就可以完全确定点在空间的位置。由图3-1中 还可以看出 a ayh-aaz 即aa⊥OX 这说明点的三个投影不是孤立的,而是彼此之间有一定的位置关系。而且这个关系不因 空间点的位置改变而改变,因此可以把它概括为普遍性的投影规律: 1.点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴,即aa⊥OX 2.点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴,即aa"⊥OZ 3.点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a”到OZ轴的距离,即aax=a"az 根据上述投影规律,若已知点的任何两个投影,就可求出它的第三个投影 例3-1已知点A的正面投影a'和侧面投影a”(图3-2),求作其水平投影a。 YH
（c） 图 3－1 点的两面投影 二、点的坐标 从图 3－1（a）、（b）可以看出，Aa、A a′、A a″ 分别为点 A 到 H、V、W 面的距离， 即： A a = a′a x = a″a y (即 a″aYW)，反映空间点 A 到 H 面的距离； A a′ =a a x = a″a z ，反映空间点 A 到 V 面的距离； A a″ = a′a z = a a y (即 aYH)，反映空间点 A 到 W 面的距离； 上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关系，若已知点的空间位置，就可 以画出点的投影。反之，若已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。由图 3－1 中 还可以看出： a aYH = a′a z 即 a′a⊥OX a′a x = a″aYW 即 a′a″⊥OZ a a x = a″a z 这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定的位置关系。而且这个关系不因 空间点的位置改变而改变，因此可以把它概括为普遍性的投影规律： 1．点的正面投影和水平投影的连线垂直 OX 轴，即 a′a⊥OX； 2．点的正面投影和侧面投影的连线垂直 OZ 轴，即 a′a″⊥OZ； 3．点的水平投影 a 和到 OX 轴的距离等于侧面投影 a″ 到 OZ 轴的距离，即 a a x = a″a z 。 根据上述投影规律，若已知点的任何两个投影，就可求出它的第三个投影。 例 3－1 已知点 A 的 正面投影 a′ 和侧面投影 a″（图 3－2），求作其水平投影 a 。 aZ aZ aX YW YH YW YH X O X O aYW a aYH a′ a″ Z a″ Z
图3-2已知点的两个投影求第三个投影 如图3-2(b)所示,由于a与a'的连线垂直于OX轴,所以a一定在过a’而垂直于 OX轴的直线上。又由于a到OX轴的距离必等于a"到OZ轴的距离,因此截取aax=a"az 便求得了a点 为了作图简便,可自点O作辅助线(与水平方向夹角为45°),以表明aax=a"az的 关系 三、点的三面投影规律 三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系,因此可用直角坐标确定点的空间位置。 投影面H、V、W作为坐标面,三条投影轴OX、OY、OZ作为坐标轴,三轴的交点O作为 坐标原点 由图3-3可以看出A点的直角坐标与其三个投影的关系: 点A到W面的距离=Oax=aax=aaH=x坐标 点A到V面的距离=OaH=aax=a"a2=y坐标; 点A到H面的距离=Oax=a'ax=a'aYw=z坐标。 y a 图3-3点的三面投影与直角坐标 用坐标来表示空间点位置比较简单,可以写成A(x,y,z)的形式 由图3-3(b)可知,坐标x和z决定点的正面投影a',坐标x和y决定点的水平投 影a,坐标y和z决定点的侧面投影a"”,若用坐标表示,则为a(x,y,0),a(x,0,z)
（a） （b） 图 3－2 已知点的两个投影求第三个投影 如图 3－2（b）所示，由于 a 与 a′ 的连线垂直于 OX 轴，所以 a 一定在过 a′ 而垂直于 OX 轴的直线上。又由于 a 到 OX 轴的距离必等于 a″ 到 OZ 轴的距离，因此截取 a a x = a″a z ， 便求得了 a 点。 为了作图简便，可自点 O 作辅助线（与水平方向夹角为 45°），以表明 a a x = a″a z的 关系。 三、点的三面投影规律 三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系，因此可用直角坐标确定点的空间位置。 投影面 H、V、W 作为坐标面，三条投影轴 OX、OY、OZ 作为坐标轴，三轴的交点 O 作为 坐标原点。 由图 3－3 可以看出 A 点的直角坐标与其三个投影的关系： 点 A 到 W 面的距离 = Oa x = a′a z = a aYH = x 坐标； 点 A 到 V 面的距离 = OaYH = a a x = a″az = y 坐标； 点 A 到 H 面的距离 = Oa z = a′ a x = a″aYW = z 坐标。 （a） （b） （c） 图 3－3 点的三面投影与直角坐标 用坐标来表示空间点位置比较简单，可以写成 A(x，y，z)的形式。 由图 3－3（b）可知，坐标 x 和 z 决定点的正面投影 a′ ，坐标 x 和 y 决定点的水平投 影 a，坐标 y 和 z 决定点的侧面投影 a″，若用坐标表示，则为 a (x，y，0)，a′(x，0，z)， a″ (0，y，z)。 y x H y X a H Y z O A x X y W z V Z V y O a Y a z O x z A x X x z YH y y YW Z x Z W aYW aYH 45° aZ aZ aX aX aY a′ a′ a′ a″ a″ a″
因此,已知一点的三面投影,就可以量出该点的三个坐标:相反地,已知一点的三个坐 标,就可以量出该点的三面投影。 例3-2已知点A的坐标(20,10,18),作出点的三面投影,并画出其立体图 其作图方法与步骤如图3-4所示: 1.画坐标轴,在OX轴上自O向左量取20,定出ax 2过ax作OX轴的垂线,并从ax向下量取aax=10得a点,从ax向上量取a'ax=10, 得a’点 3.自a′点作OZ轴的垂线,得交点az,自a向右量取aza"=10,得a”点。 Yw (c) 图3-4由点的坐标作点的三面投影 立体图的作图步骤如图3-5所示 1.根据投影图的坐标值,按1:1的比例沿各轴量取x、y、z尺寸得ax、ay、ax。 2.过axay、az在各坐标面上分别引各轴的平行线,得点A的三个投影a、a'、a"。 3.过a作aA∥OZ,过a’作a'A∥OY,过a"作a"A∥OX,所作三直线的交点即 为空间的点A ax
因此，已知一点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标；相反地，已知一点的三个坐 标，就可以量出该点的三面投影。 例 3－2 已知点 A 的坐标（20，10，18），作出点的三面投影，并画出其立体图。 其作图方法与步骤如图 3－4 所示： 1．画坐标轴，在 OX 轴上自 O 向左量取 20，定出 a x 。 2．过 a x 作 OX 轴的垂线，并从 a x 向下量取 a a x =10,得 a 点，从 a x 向上量取 a′ a x =10， 得 a′ 点。 3．自 a′ 点 作 OZ 轴的垂线，得交点 a z ，自 az向右量取 a z a″ =10，得 a″点。 （a） （b） （c） 图 3－4 由点的坐标作点的三面投影 立体图的作图步骤如图 3－5 所示； 1．根据投影图的坐标值，按 1∶1 的比例沿各轴量取 x、y、z 尺寸得 a x、a y、a z 。 2．过 a x、a y、a z在各坐标面上分别引各轴的平行线，得点 A 的三个投影 a、a′、a″。 3．过 a 作 aA ∥OZ，过 a′ 作 a′ A ∥OY，过 a″ 作 a″A ∥OX，所作三直线的交点即 为空间的点 A 。 X H V Z X X H Y O Y a O V W Y H a O A W V Z Z aZ aX aY aZ aY aX aX aY aZ Y=10 Z=18 X=20 W a′ a″ a″ z=18 YH X x=20 O YH y=10 YW X O Z Z y=10 YH a YW X O YW Z aYH aYW aZ aX aX aX a a′ a′ a″
图3-5由点的坐标作立体图 五、点的位置 1.在投影面上的点,由于它有一个坐标为0,因此,它的三面投影中,必定有两个投 影在投影轴上,另一个投影和其空间点本身重合。例如在V面上的点A,它的y坐标为0。 所以,它的水平投影a在OX轴上,侧面投影a"在OZ轴上,而正面投影a在V面上与其 空间点本身重合为一点,如图3-6(a)所示 2.在投影轴上的点,由于它有两个坐标为0,因此,它的三面投影中,必定有一个投 影在原点上,另两个投影和其空间点本身重合。例如在OZ轴上的点B,它的x、y坐标为0 所以,它的水平投影b在原点,正面投影b’、侧面投影b"在OZ轴上与其空间点本身重合 为一点,如图3-6(b)所示 3.在原点上的空间点,由于它有三个坐标都为0,因此,它的三个投影必定都在原点 上。如图3-6(c)所示 a 0 图3-6特殊位置点的投影 六、两点的相对位置 (一)两点的相对位置 空间两点的相对位置,在投影图中是由它们同面投影的坐标差来判别的,其中左、右由 坐标判别,前、后由y坐标判别,上、下由z坐标判别
（a） （b） （c） 图 3－5 由点的坐标作立体图 五、点的位置 1．在投影面上的点，由于它有一个坐标为 0，因此，它的三面投影中，必定有两个投 影在投影轴上，另一个投影和其空间点本身重合。例如在 V 面上的点 A，它的 y 坐标为 0。 所以，它的水平投影 a 在 OX 轴上，侧面投影 a″ 在 OZ 轴上，而正面投影 a′ 在 V 面上与其 空间点本身重合为一点，如图 3－6（a）所示； 2．在投影轴上的点，由于它有两个坐标为 0，因此，它的三面投影中，必定有一个投 影在原点上，另两个投影和其空间点本身重合。例如在 OZ 轴上的点 B，它的 x、y 坐标为 0。 所以，它的水平投影 b 在原点，正面投影 b′、侧面投影 b″ 在 OZ 轴上与其空间点本身重合 为一点，如图 3－6（b）所示； 3．在原点上的空间点，由于它有三个坐标都为 0，因此，它的三个投影必定都在原点 上。如图 3－6（c）所示。 （a） （b） （c） 图 3－6 特殊位置点的投影 六、两点的相对位置 （一）两点的相对位置 空间两点的相对位置，在投影图中是由它们同面投影的坐标差来判别的，其中左、右由 x 坐标判别，前、后由 y 坐标判别，上、下由 z 坐标判别。 a O H Y H H Y Y X W X Z V A A A a W O a X W O Z V V Z a′ a″ a″ a″ a′ a′