信号与系统电容 5.1基本离散信号与系统响应 2.差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差 分方程。将差分展开为移位序列,得一般形式 y(k)+any(k-1)+.+aoy(k-n)=bmf(k)+.+ bof(k-m 差分方程本质上是递推的代数方程,若已知初始条 件和激励,利用迭代法可求得其数值解 例:若描述某系统的差分方程为 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k) 已知初始条件y(0=02y(1)=2,激励f(k)=2ke(k,求y(k)。 解:y(k)=-3y(k-1)-2y(k-2)+(k) (2)=-3y(1)-2y(0)+f(2)=-2 y(3)=-3y(2)-2y(1)+f(3)=10 般不易得到解析形式的(闭合)解。 第页4口|c西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第33--1616页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 2. 差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差 分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条 件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解
信号与系统电容 5.1基本离散信号与系统响应 三、差分方程的经典解 y(k)+an-y(k-1)+.+ aoy(k-n)=bmf(k)+.+ bof(k-m) 与微分方程经典解类似,y(k)=yk)+yn(k) 1.齐次解y(k) 齐次方程y(k)+anY(k-1)+…+ay(k-n)=0 其特征方程为1+an14-1+…+a04-n=0,即 dn+an1 An-1++ 0 其根λ(i=1,2,…,n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根 当特征根4为单根时,齐次解yn(k)形式为:Cλk 当特征根4为r重根时,齐次解yn(k形式为 (Crk-l+ Cr-kr-2+.+Ck+Co)k 第|4|■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第33--1717页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 三、差分方程的经典解 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a 0y(k-n) = b mf(k)+…+ b 0f(k-m) 与微分方程经典解类似，y(k) = y h(k) + y p(k) 1. 齐次解 y h(k) 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a 0y(k-n) = 0 其特征方程 为 1 + an-1 λ– 1 + … + a 0 λ– n = 0 ，即 λ n + an-1 λn– 1 + … + a 0 = 0 其根 λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根 。 齐次解的形式取决于特征根 。 当特征根 λ 为单根时，齐次解 y n(k)形式为： C λ k 当特征根 λ 为 r重根时，齐次解 y n(k)形式为： (Cr-1 kr-1+ Cr-2 kr-2+…+ C 1k+C 0 ) λ k
信号与系统电容 5.1基本离散信号与系统响应 2特解y,(k):特解的形式与激励的形式相同(r≥1)。 (1)激励(k)=km(m=0) ①所有特征根均不等于1时,特解为 ypk)=mkm+,…+P1k+P0 ②有r重等于1的特征根时,特解为 (k)=k|Pmkm+…+P1k+Pl (2)激励f(k)=ak ①当a不等于特征根时;yn(k)=Pak ②当a是r重特征根时; D (k=(P-k+- k-l+.+Pk+po)a k (3)激励f(k)=cos(Bk或sin(βk)且所有特征根均不 等于ejB; y,(k)=Pcos( B k)+Qsin(B k) 第一 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第33--1818 页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 2. 特解 y p(k): 特解的形式与激励的形式相同(r ≥ 1） 。 （ 1） 激励f(k)=k m (m ≥ 0 ） ①所有特征根均不等于 1时，特解为 y p(k)=P m k m+…+P 1k+P 0 ②有 r重等于 1的特征根时，特解为 y p(k)=k r[P m k m+…+P 1k+P 0] （ 2） 激励f(k)=a k ①当 a不等于特征根时; y p(k)=Pa k ②当 a 是 r重特征根时 ; y p(k)= （ P r k r+Pr-1 kr-1+…+P 1k+P 0)a k （ 3）激励f(k)=cos( βk) 或sin( βk) 且所有特征根均不 等于 e ± j β ； y p(k)=Pcos( βk)+Qsin( βk)
信号与系统电容 5.1基本离散信号与系统响应 例:若描述某系统的差分方程为 y(k)+4y(k-1)+4y(k-2)=f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1;激励敢(k)=2k,k≥0 求方程的全解, 解:特征方程为A2+4λ+4=0 可解得特征根λ;=λ2=-2,其齐次解 y1(k)=(1k+C2)(-2)k 特解为y(k)=P(2),k≥0 代入差分方程得P(2)k+4P(2)-1+4P(2)k2=(k)=2k, 解得 P=1/4 所以得特解:yn(k)=2k2,k≥0 代入初始条件解得CCk+C2)(2)+22,k≥0 故全解为y(k)=y+y 1=1,C2=-1/4 第=9|4||■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第33--1919 页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2 k，k ≥ 0 。 求方程的全解。 解： 特征方程为 λ2 + 4 λ+ 4=0 可解得特征根λ 1 = λ 2= – 2，其齐次解 y h(k)=(C 1k +C 2) (– 2) k 特解为 y p(k)=P (2) k , k ≥ 0 代入差分方程得 P(2) k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2 k ， 解得 P=1/4 所以得特解： y p(k)=2k–2 , k ≥ 0 故全解为 y(k)= y h+y p = (C 1k +C 2) (– 2)k + 2k–2 , k ≥0 代入初始条件解得 C 1=1 , C 2= – 1/4 5.1基本离散信号与系统响应
信号与系统电容 5.1基本离散信号与系统响应 四、零输入响应和零状态响应 y(k)=y、(k)+yk),也可以分别用经典法求解。 y)=y()+y),j=0,1,2,…,n-1 设激励k)在k=0时接入系统 通常以y(-1),y(-2),,y(-n)描述系统的初始状态。 y-1)=y-2)=…=yn=0 所以y(-1)=y(-1),y(-2)=y,(-2)…,y(-n)=y,(-n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应 的初始值yG)和y和()(j=0,1,2,…,n-1) 第20|4||■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第33--2020页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 5.1基本离散信号与系统响应 四、零输入响应和零状态响应 y(k) = yx(k) + yf(k) , 也可以分别用经典法求解。 y(j) = yx(j) + yf(j) , j = 0, 1 , 2, …, n –1 设激励f(k)在k=0时接入系统， 通常以y(–1), y(–2) , …，y(–n)描述系统的初始状态。 yf(–1) = yf(–2) = … = yf(–n) = 0 所以 y(–1)= yx(–1) , y(–2)= yx(–2),…，y(–n)= yx(–n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应 的初始值yx(j)和yf(j) ( j = 0, 1, 2 , … ，n – 1)