其中,ak1ak2ak1分别是P+1(x),P(x)P1(x)的 首项系数,而 XP(X P (P(x),P(x) (P(x),P(x) P
其中， 1 1 , , k k k a a a + - 分别是 ( ) ( ) ( ) 1 1 , , P x P x P x k k k + - 的 首项系数，而 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) , , k k k k k xP x P x P x P x b = ( ( ) ( )) ( 1 1 ( ) ( )) , , k k k k k P x P x r P x P x - - =
性质3n次多项式P(x)有n个互异实根,且全部在(ab)内。 性质4设P(x)的n个实根为x1x2…x,P1(x)的n+1个实根 为x,x2…,xn,则有 q<x<x1<x2<x,< x2 <xk< xk+1< xk <x< xnl< b
性质 3 n 次多项式 ( ) P x n 有 n 个互异实根，且全部在(a b, )内。 性质 4 设 ( ) P x n 的 n 个实根为 1 2 , , , n x x x ， ( ) P x n+1 的 n+ 1 个实根 为 x1 , x x 2 , , n ,则有1 2 1 1 2 1 1 k k k n n a x x x x x x x x x b + + + < < < < < < < < < < <
几个常用的正交多项式 1. Legendre多项式 在区间1,带权(x)=1的正交多项式系{P2(x)(n=0.2,3,…)称为 Legendre多项式,它的一般形式为 P(x)= 2a【(x2-1](n=012) 前几项具体的是
几个常用的正交多项式 1. Legendre 多项式 在区间[- 1,1]上，带权 (x) =1的正交多项式系{ ( )}( 0,1,2,3, ) P x n n = 称为 Legendre 多项式，它的一般形式为 = − = = [( 1) ] ( 0,1,2,...) 2 ! 1 ( ) ( ) 1 2 0 x n dx d n P x P x n n n n n 前几项具体的是 = = P x x P x ( ) ( ) 1 1 0
P(x)=(3x2-1) P(x)=(5x3x) P(x)=(35x2-30x2+3) P(x)=(63x3-70x+15x P(x)=0(693x-945x2+315x2-15) 48
( ) ( ) 2 2 1 3 1 2 P x x = - ( ) ( ) 3 3 1 5 3 2 P x x x = - ( ) ( ) 4 2 4 1 35 30 3 8 P x x x = - + ( ) ( ) 5 3 5 1 63 70 15 8 P x x x x = - + ( ) ( ) 6 4 2 6 1 693 945 315 15 48 P x x x x = - + -
Legendre多项式的性质 性质1正交性 n≠n (Pm(x)P(x)=[Px)2(x)a={2 n+ 性质2奇偶性 P(x)=(1)P(x) 即n为奇数时,P(x)为奇函数,n为偶数时,P(x)为偶函数
Legendre多项式的性质 性质 1 正交性 = + = = − ( ) 2 1 2 0 ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) 1 1 m n n m n P x P x P x P x dx m n m n 性质 2 奇偶性 ( ) ( 1) ( ) n P x P x n n - = - 即 n 为奇数时， ( ) P x n 为奇函数，n 为偶数时， ( ) P x n 为偶函数