再由式(5)和(6)可得 于是有求积公式 f(dx=f(-+f() 为具有3次代数精度的求积公式
再由式(5)和(6)可得 0 1 0 1 1 1 , , 1, 1 3 3 x x A A = = - = = 于是有求积公式 为具有 3 次代数精度的求积公式。 ) 3 1 ) ( 3 1 ( ) ( 1 1 f x dx = f − + f −
定义5.41如果插值型求积公式 p(x)(x)d=∑4(x)(543 k=0 对任何2n+1次代数多项式都能精确成立,即有2n+1 次代数精度,则称式(54.3)为 Gauss型求积公式,而 x(k=01…n)称为Gas点,其中(x)≥0为 权函数
定义 5.4.1 如果插值型求积公式 (5.4.3) 对任何2 1 n+ 次代数多项式都能精确成立，即有2 1 n+ 次代数精度，则称式(5.4.3)为 Gauss 型求积公式，而 ( 0,1, , ) k x k n = 称为 Gauss 点，其中 为 权函数。 ( ) ( ) ( ) 0 k n k k b a x f x dx A f x = = (x) 0
541正交多项式 定义542设n次多项式 P(x)=anx”+an1}+…+ax+a0(m=0,2…) 其中,an≠0,如果对于区间[ab]上非负权函数p(x),多项式Pn(x)与P(x 满足 0m≠n (Pm(x), P()A p(x)Pm(x)P,(x)ax C>0 m=n 则称多项式系P(x),P(x,P(x)…在区间[ab]上关于权函 数p(x)正交,P(x)称为正交多项式
5.4.1 正交多项式 定义 5.4.2 设 n 次多项式 ( ) ( ) 1 1 1 0 0,1,2, n n P x a x a x a x a n n n n - = + + + + = - 其中， 0 n a ，如果对于区间[a b, ]上非负权函数 (x)，多项式 ( ) P x m 与 ( ) P x n 满足 = C m n m n P x P x x P x P x dx n b a m n m n 0 0 ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) 则称多项式系 ( ) ( ) ( ) 0 1 2 P x P x P x , , , 在区间[a b, ]上关于权函 数 (x)正交， ( ) P x n 称为正交多项式
令P( P(x),则 m≠n (P(x),P(x) m=n 此时,称P(x)为区间{ab]上关于权函数p(x)的n次规范化正交多项式 令P(x)=P(x),则P(x)为首项系数为1的n次正交多项式
令 ( ) ( ) * 1 n n n P x P x c = ，则 = = m n m n P x P x m n 1 0 ( ( ), ( )) * * 此时，称 ( ) * P x m 为区间[a,b]上关于权函数 (x)的 n 次规范化正交多项式。 令 ( ) ~ ( ), 1 ( ) ~ P x P x a P x n n n n = 则 为首项系数为 1 的 n 次正交多项式
正交多项式性质 性质1设g(x)为任一不超过n次的多项式,则 (Pm1(x)(x)=0,特别(P1(x),x)=0(k=01,2…,n) 性质2正交多项式系{P(x(m=02…)满足三项递推关系 P+1(x)=-(x-bk)P(x) k+1k-1 rP,(x (k=1,2,3…)
正交多项式性质 性 质 1 设 ( ) Q x n 为 任 一 不 超 过 n 次 的 多 项 式 ， 则 (P x Q x n n +1 ( ), 0 ( ))= ，特别( ( ) ) ( ) 1 , 0 0,1,2 , k P x x k n n+ = = 性质 2 正交多项式系{ ( )}( 0,1,2, ) P x n n = 满足三项递推关系 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1,2,3 k k k k k k k k k k a a a P x x P x r P x a a k b + + - + - = - - =