习题二 1.求下列排列的逆序数,并指出奇偶性。 (1)32157864(2)13…(2n-1)2n(2n-2)…42, 解:(1)r(32157864)=0+1+2+0+0+0+2+4=9奇排列。 (2)τ(1,3,…,(2n-1)2n(2n-2)…4,2)=0+2+4+…+2n-4+2n-2=n(n 1),偶排列。 2.(1)选择i,j,使97i213j54为奇排列; (2)选择i,j,使21369j85为偶排列; 解:(1)由97121354是从1至9的排列所以只能取6或8,当i=6,=8时 r(97213j54)=(976213854) =0+1+2+3+4+3+1+4+5=23是奇排列, 当i=8,j=6时 (971213j54)=r(978213654) =0+1+1+3+4+3+3+4+5=24是偶排列,不合题意舍去。 (2)由21369j85是从1至9的排列,所以只能取4或7 当i=4,j=7时, r(21369j85)=τ(213469785) =0+1+0+0+0+0+1+1+4=7是奇排列,不合题意舍去。 当i=7,=4时 r(21369j85)=τ(213769485) =0+1+0+0+1+0+3+1+4=10是偶排列。 3.用行列式定义证明 a11 a12 a13 a14 a a21a22a23a24a25 (1)000 000
13 a14 al a21a22a23a24a25 证:D=000axas=2(-1)Ba的 000a4a45 假设有aa2aaa型3≠0,由已知P3,P,P3必等于4或5,从而PPP3至少有两 个相等,这与PPPP4P3是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾,故所有项a1a2aa4,as =0,因此,D=0。 00 00 (2)D= a31a32a33a34 a3a32a33a34 证:由已知只有当PP2取1或2时,ama2a32a2≠0,而P1PPPP3是1,2,3,4的 一个全排列故P3P4取3或4于是D=(-1)) a 33a44+(-1)240) a11a22a34a43+ (-1)(2ana21a3a4+(-1)214)a12a21a3a43=anana33a4-ananaxa4-ana2Ia33 a4 + aa21a34a4 (ana2 -a12a21)(a33a4a3a a2a22 a11a22a33a4a11022a34a43 anam1a3a4tanamaya=D 4.在5阶行列式的展开式中,下列各项前的符号是什么? (1auaga32a41a 解:(-1)43215=(-1)6=1 a14a2 a32a41a5s前面的符号是正的。 (2)anasana41a% 解:(-1)135214)=(-1)6=1 a1 a25032a41a54前面的符号是正的。 5.用行列式定义计算 0100 1010 0100 =(-1)Rama2a32a=(-1)210)an2a2axa4 0010 =(-1)2×1×1×1×0=0 14·
010 0 0 (2)氵 =(-1) P,. azp…”am 000 (-1) t(23…m1) a12a23a(n-1)nn1 =(-1)”1×1×2×3×…×n=(-1)”n! 6.证明下列各式 b a2 (1)2aa+b2b=(a-b)3 111 b2 b(a-b) 证:|2aa+b2b 2(a-b) b 2b 111 0 (a-b)2(a+b)-2b)=(a-b)3 al+bx (2)a2+b2xa2x+b2c|=(1-x2)a2ba +b3x art b3 art bl br aiz+bi cu iE:a2+bx a2x+b c=a2 a2r+b c2+bx a2z+b2 c2 b3x i aIr Cl +(-1 a2 b c+bx a2I c2+bI b2 C2 a3.I C3 b2 c +x b2 bn by
(a+1)2(a+2)2(a+3)2 b2(b+1)2(b+2)2(b+3) (3) e(c+1(+2)(+3y=0 d(d+1)2(d+2)2(d+3) 2(a+1)2(a+2)2(a+3)2 2a+14a+46a+9 b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2 b 2b+14b+46b+9 证 c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2 c22c+14c+46c+9 d2(d+1)2(d+2)2(d+3)2 d22d+14d+46d+9 +(-2)ab22b+126 c22c+126 xi+baxi+b xi+cri 2+bx2+b xi+ciri (4) 1 E3+ar x3+ bx3+b x3+cx3+cx3+c1 x3x3 x3 x4+ b1x4+ b x4+cx4+ xi+bixi+b2 x+cri 1 x2+aI xi+bxx+b x2+cx 证 1 c3+bx3+b x3+cr3 xa+bx4+b x4+cr2+ 1 xixi+bx xi+cixi+cr 1 x? x2+bx2 xi+cixi c+(-b)c1 x3 x3+ bx3 x3+cx3+ax3 1 x4 xi+bx4 x+cx2+Cx4 x +(-b)1x2xx3+cc+()1x2xx3 1 x, x x3 xt x+cr2 xa xi
7.计算下列行列式 321 (1)0-14/+(-1)n 210 0-12 2x+2y2x+2y2x+2y (2)y x+y x y a+(-1)c 2(x+y) c+(-1)c 2(x+y)y t y y t y =2(x+y) =2(x+y)(-x2+(x-y)y =2(x+y)(-x2+xy-y2) 100x 111-x1|c+(-1)a10-x0 (3) 11+y1 i=23,41y00 y 0yy x0y 1 (4) 004 0 0 10 a3 a2 aI 10 t ar + x[x(a+x)+a2]+a3r+as =x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 17·