线性代数与解析几何(偏理) 习题解答 董增福楚兰英 杨枫林陈胜宋明辉 哈尔滨工业大学数学系
前言 两年来,我校实验学院、计算机专业、自动控制专业、通讯工程专业、力学 专业采用非数学系的理科专业(简称偏理)本科学生的线性代数课本,在教学 改革的尝试中,迈出了可喜的一步。 由于教学内容多学时紧,在教学过程中也遇到一些新的问题,其中比较 突出的是同学们感到有些习题不知如何下手,一些计算题过于繁杂,不知计算 过程是否正确,一些证明题没有思路,为此我们编写了这本《线性代数与空间 解析几何习题解答》,为同学们在学习本课程作参考,也为考研的朋友们提供 本适合的题解 本习题解答由哈工大数学系基础数学教研室的教师共同编写。其中习题 、习题九由董增福编写,习题二、习题三由楚兰英编写,习题四、习题五由杨 枫林编写,习题六、习题七、习题八由陈胜编写,综合练习100题由宋明辉编 写;全书由董增福统稿审阅。 由于时间仓促,加上经验不足,恳请使用本题解的广大师生批评指正 基础数学教研室 2001年
目录 习题 (1) 习题二… (13) 习题三… 习题四…………… ………(64) 习题五 (91) 习题六 ,,,.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,来,,,,,, ,,,,,,,,来,,,来,,,,,,,,来 (108) 习题七 …(117) 习题八… (137) 习题九…… 综合练习100题………………………………(167)
习题 1.(1)举出对加法、减法都不封闭,但对乘法封闭的数集的例子。 解:S=奇数 S={|n∈N (2)举出对加法减法封闭但对乘法不封闭的数集的例子。 解:S={bilb是实数 2.令F,F2是任二数域,证明F∩F2={x|x∈F,i=1,2}也是数域。 证:F1,F2是数域,1∈F11∈F2,1∈F1∩F2 F∩F2至少含一个不为零的数。 设Va,b∈F1∩F2, 则a+b,a-b,ab∈Fb≠0,∈F1 且a+ba-b,ab,b∈F ∴a+b,a-b,ab,∈F∩F2 这说明F1∩F2对四则运算封闭, 所以F1∩F2={x|x∈F1,i=1,2}也是数域。 3.下面的例子中,哪些数集为数环?哪些为数域? (1)F1={a+bila,b∈Q 解:对四则运算封闭是数域。 (2)F2={a+b√-5|a,b∈z 解:对加、减、乘封闭,对除法不封闭,是数环,不是数域 (3)F3=1"1(a,b)=1,a为偶数b为奇数 解:对除法不封闭,例如云∈F3y,∈F3,但 ∈F3,故F3不是数域。 可证明F3对加减乘法封闭,所以F3是数环不是数域。 (4)F4={a+b5+cy25,a、b、c∈Ql 解:显然1∈F4,且F4关于加减、乘法封闭,以下考查除法。 任取a1+b15+ay25,a2+b235+C2y25∈F4,其中a,b∈Q,i=1,2,a2+b2 35+c25≠0,记
f(x)=az+bx+ax, g(x)=x3-5 则∫(x)≠0,0≤f(x)≤2,g(x)在Q[x)上不可约,于是(f(x),g(x))=1, 故存在u(x),v(x)∈Q(x).使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 则u(5)f()+v(3)g(羽)=1 因此有u(5)F(5)=1 所以ab35+Y2=(a+b折+25)u=(a+b5+cy25)u() F(5)u(5) 由带余除法,存在a3,b,∈Q及q(x)∈Qx 使u(x)=(x3-5)q(x)+(a3+bx+c3x2) 于是u(5)=a3+b+c25∈F 由于F4关于乘法运算封闭故(a1+b15+c1y25)u(5)∈F 因此1+b1+25=(a1+b+25))EF 35 所以F4是数域。 4.求g(x)除f(x)所得的商式及余式。 (1)f(x)=2x2+x+1,g(x)=3x2+x-4. 解 3x2+x-4J2x3 2x3+ 228 x2 +1 +x+号 (2)f(x)=3x4+x3+2x2-1,g(x)=x2+3x+2 解 3x2+3x+2厂3 3x4+9x3+6x2 8x3-4 -8x3-24x2-16x 20x2+16x-1 0x2+60x+40