所以(f(x),g(x))=1, 在后一种情况g(x)=p(x)h(x) g(r)=p(x). h(x)=f(r).h'(r) 故f(x)g(x),取m=k即可 再证充分性。 反证法:设f(x)不是不可约多项式的方幂,则f(x)至少有两个互素的非常数不可 约因式,设它们为p(x),p2(x), 令g(x)=p1(x),则p2(x)/g(x)=p1(x), 则(f(x),g(x))=p1(x)≠1, 由已知条件,因为f(x),g(x)不互素,故存在一正整数m, 使f(x)lgn(x),即f(x)lp"(x), 但对任一正整数m,由于p2(x)g(x),故f(x)g"(x),矛盾。 13.判断下列多项式有无重因式。 (1)f(x)=x4+4x2-4x-3 解:f(x)=4x3+8x-4=4(x32x-1) 由辗转相除法(f(x),f(x)=1 所以f(x)=x4+4x2-4x-3无重因式。 (2)f(x)=x5-5x4+7x3-2x2+4x-8 解:f(x)=5x4-20x3+21x2-4x+4 由辗转相除法: 5x2-20x3+21x2-4x+4x5-5x4+7x3-2x2+4x-8 45x4-3x3-10x2+30xx5-4x4x3-x2 2+323x+4-+1号2-3+138 x+4x2+1x-45-x+4x2-212+4x n(x)=42-49x+49n(x)=-.2+32+3x-5-12(2x+3) =(x2-4x+4) (2x3-5x2-4x+12)=9(x) n(x)(-%45(2x+3)
r1(x)=-(2x+3)n2(x) 故x2-4x+4=(x-2)2为f(x)与f(x)的公因式,这说明f(x)有x-2的3重 因式。 14.求t值,使f(x)=x3-3x2+tx-1有重根。 解:f(x)=3x2-6x+t, 以下由辗转相除法求f(x)与∫(x)的最大公因式 3x2-6x+t x3-3x2+tx-1 (x)= 3x2+ x3-2x2+ q -x2+2x- r2(x)=t+ (1(3-1(2+1)(=- u(2x+1) ①若r(x)=(3-1)(2x+1)=0,即t=3时, 有f|f,此时f=f(3x-3)=(x-1)3 f(x)有x=1三重根。 ②若-1≠0,由上述格式知,f(x)除以r(x)=(-1)(2x+1)=u(2x+1) n(x)=-9 (2x+1)即为∫(x)、f(x)的最大公因式,特别取整时,2x+1即为 f(x)、f(x)的最大公因式,此时f(x)=(4x-1)(2x+1)2, 即 时,x=-为f(x)的二重根。 注:此题的难点在于口≠3,即号-1≠0时应该继续辗转相除,求出t=-13时,f有 的二重根 15.若(x-1)2|Ax4+Bx2+1,求A,B 9
解;令f(x)=Ax4+Bx2+1 则f(x)=4Ax3+2Bx+1 于是有x-1f(x),所以,f(1)=0, 1!f(x),所以∫(1)=0 A+B+1=0 解之A=1 4A+2B=0 B=-2 16.设degf(x)>0,试证f(x)|f(x)当且仅当f(x)=a(x-b)°,a,b∈F. 证:先证充分性。 i f(r)=ax-b),f(r)=an(r-b)n-I 因为degf(x)>0,故a≠0,n≠0 FE (2=a(r-b)=1(r-b)an(2-b)a-1=1(r-b)(r) 所以f(x)|f(x) 再证必要性。 设f(x)lf(x),f(x)为首项系数为a的n次多项式,n≥1 因为f(x)是比f(x)次数低1的多项式,故存在一次式x-b,使 f(x)=1(x-b)f(x) 两边对x求导有 f(x)=(f(r)+(x-br(r) 即f(x)=n-1(x-b)f(x) (2) (2)代人(1):f(x1,(x-b)2f(x) n(n-1 (3) (2)式对x求导:(x)=n12(x-b)f(x) 4) (4)代入(3):f(x)=n(n-1)(n 2( (x-b)3f"(x) 于是有f(x) n(n-1)(n-2)…1 (I-b)"fn(r) n() (x-b)° 因为f(x)=an! 所以f(x)=a(x-b) 17.证明:如果(x2+x+1)f1(x3)+xf2(x3),那么x-1f1(x),(x-1)|f(x) 证:由x3-1=(x-1)(x2+x+1)=0
则1的三个单位根为1,a,2,且a≠a3, 由假设x2+x+1lf1(x3)+xf2(x)得 f1(3)+af2(d3)=0 f1(a3)+a2f2(u5)=0 即f1(1)+of2(1)=0 f(1)+a2f(1)=0 由此解得f(1)=f2(1)=0, 即x-11f1(x),(x-1)f2(x) 18.证明:sinx不能表成x的多项式。 证:反证法。 若sinx能表成数域F上x的多项式,不妨设次数为n,则在数域F内最多有n个根, 但 sinki=0,k=0,±1,±2,… 即sinx在F上有无数个根,矛盾。 故sinx不能表成x的多项式。 19.试就以下给出的根做出次数尽可能低的实系数多项式。 (1)二重根1,单根2及1+i 解:实系数多项式的复数根共轭成对,且重数相同 f(x)=(x-1)2(x-2)(x-(1+i)x-(1-i)=(x-1)2(x-2)(x2-2x+2) (2)二重根2-i,单根1-i 解:f(x)=(x-(2-i))(x-(2+i))2(x-(1-i))(x-(1+i) (x2-4x+5)2(x2-2x+2) 20.证明:奇次实系数多项式至少有一个实根。 证:实系数多项式若有复数根,则它的共轭复数也是这个多项式的根,并且它们的重 数相同。 反证法若奇次实系数多项式无一个实根即全是复数根,则它的根共轭成对,所以次 数为偶数,这与奇次多项式矛盾,所以奇次实系数多项式至少有一个实根。 21.设实系数多项式x4-6x3+ax2+bx+2有四个实根,求证这四个根中至少有一个小 证明:反证法。 设四个根x1,x2,x3,x4均不小于1,即x≥1,i=1,2,3,4. 11
令y=x;-1,i=1,2,3,4,则y;≥0 由根与系数的关系( Vieta定理)有 x1x2x3x4=2 + v2+ya+ 于是有 1+y)(1+y2)(1+y)(1+y4)=2 上式第二式展开为 1+ y1 y2+ y3+ y4+ y122+.+ y3y4+ y1y2y3+ . y2y3y4+yiy2y3y4=2 上式左端≥1+y+y2+y+y≥3,矛盾。 故结论成立