高等数学教案 第二章导数与微分 第五节函数的微分 教学内容： 1、函数微分的概念及几何意义； 2、微分与可导的关系： 3、微分在近似计算中的应用。 教学目标： 1、理解函数微分的概念，几儿何意义及微分与可导的关系： 2、掌握微分运算并利用微分作简单的近似计算的方法： 3、理解一阶微分形式不变性。 教学重点： 函数微分的概念。 教学难点： 函数微分的概念及一阶微分形式不变性。 教学方法：讲练结合教学法 作业：251,2,3,4,7,10 教学过程： 一、微分的定义 引例函数增量的计算及增量的构成. 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x变到x+△x,问此薄片的面积改变 了多少？ 设此正方形的边长为x,面积为A,则A是x的函数：A=x己.金属薄片的面积改变量为 △4=(x0+△x)2-(x02=2x0△x+△x)2. 儿何意义：2xoAx表示两个长为xo宽为△x的长方形面积；（△x)表示边长为△x的正方形的 面积. 数学意义：当△r0时，（△r)是比△x高阶的无穷小，即（△x)2=o(△x;2xo△r是△x的线性 函数，是△4的主要部分，可以近似地代替△4. 定义设函数y=x)在某区间内有定义，xo及xo+△x在这区间内，如果函数的增量 △y=fxo+△x)-xo) 1
高等数学教案 第二章导数与微分 可表示为 △=A△r+o(△r), 其中A是不依赖于△x的常数，那么称函数y=x)在点xo是可微的，而A△x叫做函数y=x)在 点xo相应于自变量增量△x的微分，记作，即 d办=A△x. 函数可微的条件：函数x)在点xo可微的充分必要条件是函数x)在点o可导，且当函 数x)在点0可微时，其微分一定是 d=f'(xo)△x. 证明：设函数x)在点xo可微，则按定义有 △=A△r+o(△x), 上式两边除以△x,得 Ay=A+0四 △x 于是，当△x0时，由上式就得到 4=lim Av=f(o). 4x0△x 因此，如果函数)在点xo可微，则x)在点xo也一定可导，且A=f'(xo). 反之，如果x)在点xo可导，即 lim Ay=f(xo) △r0△x 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成 是-fra 其中a→0（当△x→0），且A=xo)是常数，aAr=o(△x).由此又有 △y=f'(o)△r+aAr 因且f'(xo)不依赖于△x,故上式相当于 △y=A△r+o(△x), 所以x)在点x也是可导的. 简要证明：一方面 Ay=AAx+oAx→Ag=A+oA→1imA义=f)=A. △x 4r-→0△x 别一方面 2
高等数学教案 第二章导数与微分 是-f)户是=HaA=fA*ax 以微分近似代替函数增量△y的合理性： 当f'(xo)≠0时，有 imy=lim一Ay=limy-l. Ar-0d少A0f'(x)△xf'()Ax-0dk △=+o(dy). 结论：在f(xo)≠0的条件下，以徽分山=f'(xo)△x近似代替增量△y=xo+△x)-xo)时，其误 差为o().因此，在△很小时，有近似等式 △y≈d 函数y=x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记作d山或dx),即 d=f'(x)△x, 例如dcosx=(cosx)'△xr=-sinx△r;de'=(e)'Ar=e'△r. 例1求函数=x在=1和=3处的微分. 解函数y=x2在x=1处的微分为 =(x)yL=i△r=2△r; 函数y=x在x=3处的微分为 d=(x)l=3△r=6Ar. 例2.求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分 解：先求函数在任意点x的微分 d=(xy△r=3x2△x. 再求函数当=2，△=0.02时的微分 1=2,4r=0.02=3x21x=2.4r=0.02=3×22×0.02=0.24. 自变量的微分： 因为当y=x时，=d=(x)△=△x,所以通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分，记 作dk,即d=△x.于是函数=x)的微分又可记作 =f"(x). 从而有 =f dx 这就是说，函数的微分少与自变量的微分本之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做“微 商” 3
高等数学教案 第二章导数与微分 二、微分的几何意义 当△y是曲线y=)上的点的纵坐标的增量时，小就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量.当 △x很小时，△y-比△x小得多.因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段. 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分的表达式 =f"x) 可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分.因此，可得如 果下的微分公式和微分运算法则. 1.基本初等函数的微分公式 导数公式： 微分公式： (x=4x d(x=uxdx (sin x)'=cosx d(sinx)=cosx dx (cos x)'=-sinx d(cos x)=-sinx dx (tan x)'=sec2x d(tanx)=sec'x dx (cot x)'=-csc2x d(cotx)=-cscx dx (sec x)'=sec x tanx d(sec x)=sec x tanx dx (csc x)'=-csc x cotx d(cscx)=-cscx cotx dx (a*)'=a*Ina d(a*)=a"Inadx (e)=e d(e")=e*dx (log)=-1 xlna dlog. ay日 m-4 (arcsin) 1 1 d(aresin.) 1 (arccosx)'=- √1-x2 d(arccosx)=- 1 dx 1-x2 (arctanx)'=-1 +x2 d(arctanx)= 1+x2 (arccotx)=-1+x 1 d(arccotx)=- 2.函数和、差、积、商的微分法则 求导法则： 微分法则： (uv)'=d±v d(utv)=dutdv 4
高等数学教案 第二章导数与微分 (Cu)'=Cu' d(Cu)=Cdu (v)'='v+w d(u-v)=vdutudy (台=心≠0 2 d哈=dddv≠0 1v2 证明乘积的微分法则： 根据函数微分的表达式，有 d(uv)=(uv)'dx. 再根据乘积的求导法则，有 (uv)'=u'v+uv'. 于是 duv)=(u'v+uv'dx=u'vdx+uv'dx. 由于Wdk=du,v'dk=v, 所以d(w)=vdhu+ud. 3.复合函数的微分法则 设=)及=x)都可导，则复合函数y=几x)]的微分为 dy=y',dx=f'(u)(x)dx. 于由p(x)d=d,所以，复合函数y=x)]的微分公式也可以写成 =f'(w)du或与y'udu 由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式山=f'()保持不变.这 一性质称为微分形式不变性.这性质表示，当变换自变量时，微分形式=f"(u)du并不改变 例3.y=sin(2x+1),求d 解：把2x+1看成中间变量4，则 dy=d(sin u)=cos udu=cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)-2dx=2cos(2x+1)dx 在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量 例4.y=ln1+er2),求. 解：=dn+e)ed0+e叫 +eed-e2de 1 +erct」 例5.=e-cosX,.求d 解：应用积的微分法则，得