其中 F(z)cos nzdz, T兀 T F(sin nzdz TC :z=,F(z)=f(x) 庄f(=+(0wx+bs 2 n=1 工工 其中an= ngC f(r)cos xdx, n70 f(x)sin xdx 上页
( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n + = + = ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a F(z) f (x) l x z = =
oo 定义如果f(x)为奇函数傅氏级数∑bn SInn 称为正弦级数 如果f(x)为偶函数,傅氏级数 ∑ a. cos nx 2 称为余弦级数 上页
定义 如果 f (x)为奇函数,傅氏级数 b nx n n sin 1 = 称为正弦级数. 如果 f (x)为偶函数, 傅氏级数 a nx a n n cos 2 1 0 + = 称为余弦级数
生三、典型例题 例1设∫(x)是周期为2兀的周期函数,它在 -兀,兀)上的表达式为f(x)=x,将f(x)展开成 傅氏级数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 午在点x=(k+1)mk=0土1,处不连续, 收敛于/(=0)+/(元+02m+分 2 2 在连续点x(x≠(2k+1)π)处收敛于f(x), 上页
例 1 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它 在 [−,)上的表达式为 f ( x) = x ,将f (x) 展开成 傅氏级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x = (2k +1)(k = 0,1,2, )处不连续, 2 f ( − 0) + f (− + 0) 收敛于 2 + (−) = = 0, 在连续点x(x (2k +1))处收敛于f (x), 三、典型例题
x≠(2k+1)时f(x)是以2π为周期的奇函数, 和函数图象 3π-2元 死/2兀3元 0,(n=0,1,2,…) 上页
− − 3 − 2 − 2 3 x y0 x (2k +1)时 f (x)是以2为周期的奇函数, 和函数图象a = 0, (n = 0,1,2,) n
b.= 2 n T o/(r)sin ndx==5oxsinnxdr T xcos sinu 210 T n n 2 2 =--c0sm兀=2(-1)”+ ,(n=1,2 n n f(x)=2(sin x-sin 2x +sin 3x-.) 3 n+1 ∑ SInx (-0<x<+0;x≠土π,士3π,…) 上页 圆
= 0 ( )sin 2 bn f x nxdx = 0 sin 2 x nxdx − + = 2 0 ] cos sin [ 2 n nx n x nx = − n n cos 2 ( 1) , 2 +1 = − n n (n = 1,2, ) sin3 ) 3 1 sin2 2 1 f (x) = 2(sin x − x + x − sin . ( 1) 2 1 1 = + − = n n nx n (− x +; x , 3, )