免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 24.3相似三角形的性质 学习目标要求 1、掌握相似三角形的性质 2、能应用相似三角形的性质解决问题, 教材内容点拨 知识点:相似三角形性质 1、相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 2、相似三角形周长的比等于相似比。 3、相似三角形面积的比等于相似比的平方 典型例题点拨 例1、两个相似三角形对应中线的比是2:√2,大三角形的面积是小三角形面积的 点拨:根据相似三角形对应中线之比可得相似比,近而得出这两个三角形的面积比。 解答::两个相似三角形对应中线的比是2:万,∴这两个相似三角形的相似比为√E,∴ 大三角形的面积是小三角形面积的(√2)2=2倍。 例2、△ABC中,AB=12cm,BC=18cm,AC=24cm,若△A′B′C′∽△ABC,且△A′B′ C′的周长为81cm,求△A′B′C′各边的长。 点拨:此题根据相似三角形性质2:相似三角形周长的比等于相似比,可知相似比为42 由此根据△ABC各边长可求出△A′B′C′的各边长 解答:∵△ABC中,AB=12cm,BC=18cm,AC=24cm,∴△ABC的周长为54cm,∴△ABC 与△A′B′C′的相似比 AB BC CA 2 ∵A'B′=18,BC"=27 8l3AB′BCCA"3 C=36 例3、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度,学校数学兴 趣小组做了如下的探索:根据《科学》中光的反射定律,利用一面C 镜子和一根皮尺,设计如下图所示的测量方案:把一面很小的镜子分 放在离树底(B)8.4米的点E处,然后沿着直线B后退到点D,这时恰好在镜子里看到树 梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.4米,观察者目高CD=1.6米,则树(AB)的高度约为 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 24.3 相似三角形的性质 学习目标要求 1、掌握相似三角形的性质。 2、能应用相似三角形的性质解决问题。 教材内容点拨 知识点：相似三角形性质 1、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 2、相似三角形周长的比等于相似比。 3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。 典型例题点拨 例 1、两个相似三角形对应中线的比是 2: 2 ，大三角形的面积是小三角形面积的________ 倍。 点拨：根据相似三角形对应中线之比可得相似比，近而得出这两个三角形的面积比。 解答：∵两个相似三角形对应中线的比是 2: 2 ，∴这两个相似三角形的相似比为 2 ，∴ 大三角形的面积是小三角形面积的 2 ( 2) 2 = 倍。 例 2、△ABC 中，AB＝12 cm，BC＝18 cm，AC＝24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′ C′的周长为 81 cm，求△A′B′C′各边的长。 点拨：此题根据相似三角形性质 2：相似三角形周长的比等于相似比，可知相似比为 54 2 81 3 ＝ ， 由此根据△ABC 各边长可求出△A′B′C′的各边长。 解答：∵△ABC 中，AB＝12 cm，BC＝18 cm，AC＝24 cm，∴△ABC 的周长为 54cm，∴△ABC 与△A′B′C′的相似比为 54 2 81 3 ＝ ，∴ 2 3 AB BC CA A B B C C A = = = ，∴ AB =18，BC = 27 ， CA = 36。 例 3、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴 趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面 镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子 放在离树底（B）8.4 米的点 E 处，然后沿着直线 BE 后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树 梢顶点 A，再用皮尺量得 DE＝2.4 米，观察者目高 CD＝1.6 米，则树（AB）的高度约为________
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 米(精确到0.1米)。 点拨:注意到光线的反射定律:入射角等于反射角,可知△CDE∽△ABE CD DE 解答:∵△CDE∽△ABE, ,∵CD=1.6,DE=2.4,BE=8.4,∴AB=5.6米。 AB BE 例4、例、已知:如图△ABC中,∠ABC=2∠C,B平分∠ABC,BD=4 (1)求证:△ABD∽△ACB (2)求△ABD与△ACB的周长的比,△ABD与△ACB的面积的比。 点拨:根据题中提供的两个与角相关的条件,要证明两个三角形相似, 可联想到“AA”,证明两个三角形相似后,条件“ 的作用在于 提供了相似三角形的相似比,由此可求相似三角形的周长比和面积比。 解答:(1)∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC,∵∠ABC=2∠C,∴∠ABD=∠C, ∵∠A是公共角,∴△ABD∽△ACB (2)∵△ABD∽△ACB,且BD_4,∴△ABD与△ACB的相似比为±,∴△ABD与△ACB的周 7 长的比为,△ABD与△ACB的面积的比为(2)216 例5、如图,△ABC的底边BC=a,高AD=h,矩形EFGH内接于△ABC,其 中E,F分别在边AC,AB上,G,H都在BC上,且EF=2FG,求矩形EFGH 的周长。 点拨:由题目条件中EF=2FG得要想求出矩形的周长,必须求出EF与高AD=h E 的关系,由EF∥BC得△AFE∽△ABC,则EF与高h即可联系上。此题还可以 进一步求出矩形的面积,若对题目再加一个条件:AB⊥AC,那么还可以证出 FG2=BG·CH,通过这些联想,就会对题目的内在联系有更深的理解,也会提高自己的数学解 题能力 解答:设FG=x, ∵EF=2FG,∴EF=2 EF//BC,∴△AFE∽△ABC 又AD⊥BC,设AD交EF于M,则AM⊥EF, AM EF Ad BC 即(AD-DM)/AD=2x/a 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 米（精确到 0.1 米）。 点拨：注意到光线的反射定律：入射角等于反射角，可知△CDE∽△ABE。 解答：∵△CDE∽△ABE，∴ CD DE AB BE = ，∵CD＝1.6，DE＝2.4，BE＝8.4，∴AB＝5.6 米。 例 4、例、已知：如图△ABC 中，∠ABC＝2∠C，BD 平分∠ABC， 4 7 BD BC = ， (1)求证：△ABD∽△ACB； (2)求△ABD 与△ACB 的周长的比，△ABD 与△ACB 的面积的比。 点拨：根据题中提供的两个与角相关的条件，要证明两个三角形相似， 可联想到“AA”，证明两个三角形相似后，条件“ 4 7 BD BC = ”的作用在于 提供了相似三角形的相似比，由此可求相似三角形的周长比和面积比。 解答：（1）∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝ 1 2 ∠ABC，∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABD＝∠C， ∵∠A 是公共角，∴△ABD∽△ACB。 （2）∵△ABD∽△ACB，且 4 7 BD BC = ，∴△ABD 与△ACB 的相似比为 4 7 ，∴△ABD 与△ACB 的周 长的比为 4 7 ，△ABD 与△ACB 的面积的比为 4 16 2 ( ) 7 49 = 。 例５、如图，△ABC 的底边 BC＝a，高 AD＝h，矩形 EFGH 内接于△ABC，其 中 E，F 分别在边 AC，AB 上，G，H 都在 BC 上，且 EF＝2FG，求矩形 EFGH 的周长。 点拨：由题目条件中 EF=2FG 得要想求出矩形的周长，必须求出 EF 与高 AD=h 的关系，由 EF∥BC 得△AFE∽△ABC，则 EF 与高 h 即可联系上。此题还可以 进一步求出矩形的面积，若对题目再加一个条件：AB⊥AC，那么还可以证出 FG2 =BG·CH，通过这些联想，就会对题目的内在联系有更深的理解，也会提高自己的数学解 题能力。 解答：设 FG＝x， ∵EF＝2FG，∴EF＝2x， ∵EF//BC ，∴△AFE∽△ABC， 又 AD⊥BC，设 AD 交 EF 于 M，则 AM⊥EF， ∴ AM EF AD BC = 即(AD-DM)/AD＝2x/a
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (h-x)/h=2x/ 解之,得x=m 2h+a ∴矩形EGH的周长为6x=6mh 考点考题点拨 1、中考导航 会应用相似三角形性质解决生活中的实际问题,有利用所学内容解决身边的问题的意识,例 如会利用自己的步长和身高求出一棵大树或大厦的高度。 2、经典考题追踪 例1、(06遂宁)已知△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要利用长度分别为30cm 和60cm的细木条各一根,做一个三角形木架与△ABC相似,要求以其中一根为一边,将另一 根截成两段(允许有余料)作为另外两边,那么另外两边的长度(单位:cm)分别为( A、10,25B、10,36或12,36C、12,36 D、10,25或12,36 点拨:本题看起来有很多种情况,比较复杂,但可以用整体观点来考察,由于这两个三角形 相似,∴它们的周长之比等于相似比,∴△ABC与所作三角形的相似比大于1,即所作三角 形应该比△ABC小,∴在选择作边的木料时,只有选长为30cm的细木料,而将长为60cm的 细木料分成两段,而且由于△ABC与所作三角形的相似比大于1,△ABC中只有长为50cm或 60cm的边与30cm长的边对应,即相似比分别为或2,解得答案有两种。 解答:∵△ABC的三边长分别为20cm,50cm,60cm,∴△ABC的周长为130cm,而两根细木 料的长度分别为30cm和60cm,和最大只有90cm,∴所作三角形应比△ABC小,∴只能选 长为30cm的木料为所作三角形的一边,且其只能与△ABC中的长为50cm或60cm的边相 5 5 对应,即△ABC与所作三角形的相似比应为二或2,当相似比为一时,解得所作三角形的 两边分别为12和36cm,当相似比为2时,解得所作三角形的两边分别为10cm和25cm, 这两种情况下,所作三角形的两边长之和都小于60cm,∴答案有两种情况,分别为10cm,25 例2、(06广西柳州)如图,一天早上,小张正向着教学楼AB走去, 早D 他发现教学楼后面有一水塔DC,可过了一会抬头一看:“怎么看不到 水塔了?”心里很是纳闷,经过了解,教学楼、水塔的高分别是20mFx B 和30m,它们之间的距离为30m,小张身高为1.6m,小张要想看到水塔,他与教学楼之间的 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴(h-x)/h＝2x/a 解之，得 x＝ 2 ah h a + ∴矩形 EFGH 的周长为 6x＝ 6 2 ah h a + 。 考点考题点拨 1、中考导航 会应用相似三角形性质解决生活中的实际问题，有利用所学内容解决身边的问题的意识，例 如会利用自己的步长和身高求出一棵大树或大厦的高度。 2、经典考题追踪 例 1、（06 遂宁）已知△ABC 的三边长分别为 20cm,50cm,60cm,现要利用长度分别为 30cm 和 60cm 的细木条各一根,做一个三角形木架与△ABC 相似,要求以其中一根为一边,将另一 根截成两段(允许有余料)作为另外两边,那么另外两边的长度(单位: cm)分别为（ ） A、10,25 B、10,36 或 12,36 C、12,36 D、10,25 或 12,36 点拨：本题看起来有很多种情况，比较复杂，但可以用整体观点来考察，由于这两个三角形 相似，∴它们的周长之比等于相似比，∴△ABC 与所作三角形的相似比大于 1，即所作三角 形应该比△ABC 小，∴在选择作边的木料时，只有选长为 30cm 的细木料，而将长为 60cm 的 细木料分成两段，而且由于△ABC 与所作三角形的相似比大于 1，△ABC 中只有长为 50cm 或 60cm 的边与 30cm 长的边对应，即相似比分别为 5 3 或 2，解得答案有两种。 解答：∵△ABC 的三边长分别为 20cm,50cm,60cm，∴△ABC 的周长为 130cm，而两根细木 料的长度分别为 30cm 和 60cm，和最大只有 90cm，∴所作三角形应比△ABC 小，∴只能选 长为 30cm 的木料为所作三角形的一边，且其只能与△ABC 中的长为 50cm 或 60cm 的边相 对应，即△ABC 与所作三角形的相似比应为 5 3 或 2，当相似比为 5 3 时，解得所作三角形的 两边分别为 12 和 36cm，当相似比为 2 时，解得所作三角形的两边分别为 10cm 和 25cm， 这两种情况下，所作三角形的两边长之和都小于 60cm，∴答案有两种情况，分别为 10cm,25 cm 或 12 cm,36 cm，选 D。 例 2、（06 广西柳州）如图，一天早上，小张正向着教学楼 AB 走去， 他发现教学楼后面有一水塔 DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到 水塔了？”心里很是纳闷，经过了解，教学楼、水塔的高分别是 20m 和 30m，它们之间的距离为 30m，小张身高为 1.6m，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的 G
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 距离至少应有多少米? 点拨:光线是沿直线传播的,之所以看不见水塔,是因为小张的眼睛、教学楼顶、水塔顶位 于一条直线上,∴△EFG∽△AFB∽△DFC,根据相似三角形的性质可求BG EG FG EG FG FG 2 解答:由图可知,△EFG∽△AFB∽△DFC ABFB'DCFC’FB25 RC=1B25,1875,:)=R=82=0,解得 4.8m,FB=60m,∴小张要想看到水塔,他与教学楼之间的距离至少应有60m。 例3、(06海南)如图7,在同一时刻,小明测得他的影长为1米,距他不远 处的一棵槟榔树的影长为5米,已知小明的身高为1.5米,则这棵槟榔树的 高是 米 点拨:同一时刻,光线是一组平行线,∴△ABC∽△DEF,·ABDE,由 BC EF 此可求出DE 解答::同时刻,光线是一组平行线,△ AABCO ADE,BC=BF 1.5DE 解得DE=7.5米。 易错点点拨 易错点1、审题不严,粗心大意,把握细节的能力不强 易错点导析:在处理问题时,粗心大意,对一些关键词语没有仔细体会,表现为细节上的失 误,而这一旦形成习惯后,将对数学学习形成巨大的障碍。 例1、若把△ABC各边分别扩大为原来的5倍,得到△4BC,下面结论不可能成立的是 A.△ABC∽△ABC B.△ABC与△ABC的相似比为 C.△ABC与△BC的各对应角相等D.△ABC与AABC"的相似比为 错解:B 错解点拨:对扩大为和扩大了这两句话理解不清,扩大为原来的5倍意即扩大到原来的 倍,而扩大了5倍则意即扩大到原来的6倍。 正解:B 拓展与创新 1、如图,分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F,得△DEF。若△ABC的边长为a 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 距离至少应有多少米？ 点拨：光线是沿直线传播的，之所以看不见水塔，是因为小张的眼睛、教学楼顶、水塔顶位 于一条直线上，∴△EFG∽△AFB∽△DFC，根据相似三角形的性质可求 BG。 解答：由图可知，△EFG∽△AFB∽△DFC，∴ EG FG AB FB = ， EG FG DC FC = ，即 2 25 FG FB = ， 4 75 FG FC = ，∴ FB FG =12.5 ， FC FG =18.75 ，∴BC＝FC－FB＝6.25FG＝30，解得 FG＝ 4.8m，FB＝60m，∴小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有 60m。 例 3、（06 海南）如图 7，在同一时刻，小明测得他的影长为 1 米，距他不远 处的一棵槟榔树的影长为 5 米，已知小明的身高为 1.5 米，则这棵槟榔树的 高是 米。 点拨：同一时刻，光线是一组平行线，∴△ABC∽△DEF，∴ AB DE BC EF = ，由 此可求出 DE。 解答：∵同一时刻，光线是一组平行线，∴△ABC∽△DEF，∴ AB DE BC EF = ， 即 1.5 1 5 DE = ，解得 DE＝7.5 米。 易错点点拨 易错点 1、审题不严，粗心大意，把握细节的能力不强。 易错点导析：在处理问题时，粗心大意，对一些关键词语没有仔细体会，表现为细节上的失 误，而这一旦形成习惯后，将对数学学习形成巨大的障碍。 例 1、若把 ABC 各边分别扩大为原来的 5 倍，得到 ABC ，下面结论不可能成立的是 （ ） A． ABC ∽ ABC B． ABC 与 ABC 的相似比为 6 1 C． ABC 与 ABC 的各对应角相等 D． ABC 与 ABC 的相似比为 5 1 错解：B 错解点拨：对扩大为和扩大了这两句话理解不清，扩大为原来的 5 倍意即扩大到原来的 5 倍，而扩大了 5 倍则意即扩大到原来的 6 倍。 正解：B 拓展与创新 1、如图，分别取等边三角形 ABC 各边的中点 D、E、F，得△DEF。若△ABC 的边长为 a
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (1)△DEF与△ABC相似吗?如果相似,相似比是多少? (2)分别求出这两个三角形的面积 点拨:D、E、F分别为等边三角形ABC各边的中点,∴DE、EF、DF都是△ABC的中位线, DE、EF、DF分别平行且等于△ABC三边的一半,根据相似三角形性质:三边对应成比例的两 个三角形相似,可知△DEF与△ABC相似,且相似比为1:2,在求出△ABC的面积后,根据 相似三角形性质:相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求△DEF的面积 解答:(1)∵D、E、F是等边三角形ABC各边的中点,∴D、EF、D都是△ABC的中位线 △DEF与△ABC相似,且相似比为1:2。 (2)∵△ABC的边长为a,∴△ABC的面积为ya2,△DEF的面积为ya2。 2、如示意图,小华家(点A处)和公路(1)之间竖立着一块35m长且平行于公B0 路的巨型广告牌(DE),广告牌挡住了小华的视线,请在图中画出视点A的盲区, fi E 并将盲区内的那段公路记为BC,一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路BC段的 时间是3s,已知广告牌和公路的距离是40m,求小华家到公路的距离(精确到1 点拨:所谓视点A的盲区,即在视点A处看不到的公路区域,如图所示,在视点 A处看不到公路区域为BC段,由于光线的直线传播性,BC和DE与光线组成的两 个三角形相似,通过相似三角形性质可求出点A到公路的距离。 解答:由图可知△ABC∽△AD,:DE=45,又∵:一辆以60km/匀速行驶的汽车经过公 BC AG 路BC段的 时间是3s,∴BC=50m,DE=35m,GF=40m,·35AF 解得AF=93m,∴小华家 AF+40 到公路的距离AG=AF+FG=133m 学习方法点拨 通过制作几何模型,加强对相似三角形性质的理解,特别是相似三角形的第一个性质的理解。 加强对相似三角形性质的应用训练,从而加深对相似三角形性质的认识。 要学会在生活中应用相似三角形的性质,提高利用相似三角形性质解决实际问题的能力。 随堂演练 1、如果两个三角形的相似比为1,那么这两个三角形 解压密码联系q119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积。 点拨：D、E、F 分别为等边三角形 ABC 各边的中点，∴DE、EF、DF 都是△ABC 的中位线，∴ DE、EF、DF 分别平行且等于△ABC 三边的一半，根据相似三角形性质：三边对应成比例的两 个三角形相似，可知△DEF 与△ABC 相似，且相似比为 1︰2，在求出△ABC 的面积后，根据 相似三角形性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求△DEF 的面积。 解答：（1）∵D、E、F 是等边三角形 ABC 各边的中点，∴DE、EF、DF 都是△ABC 的中位线， ∴△DEF 与△ABC 相似，且相似比为 1︰2。 （2）∵△ABC 的边长为 a，∴△ABC 的面积为 3 2 4 a ，△DEF 的面积为 3 2 16 a 。 2、如示意图，小华家（点 A 处）和公路（ l ）之间竖立着一块 35m 长且平行于公 路的巨型广告牌（DE），广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点 A 的盲区， 并将盲区内的那段公路记为 BC，一辆以 60km/h 匀速行驶的汽车经过公路 BC 段的 时间是 3s，已知广告牌和公路的距离是 40m，求小华家到公路的距离（精确到 1 m）。 点拨：所谓视点 A 的盲区，即在视点 A 处看不到的公路区域，如图所示，在视点 A 处看不到公路区域为 BC 段，由于光线的直线传播性，BC 和 DE 与光线组成的两 个三角形相似，通过相似三角形性质可求出点 A 到公路的距离。 解答：由图可知△ABC∽△ADE，∴ DE AF BC AG = ，又∵一辆以 60km/h 匀速行驶的汽车经过公 路 BC 段的 时间是 3s，∴BC＝50m，DE＝35m，GF＝40m，∴ 35 50 40 AF AF = + ，解得 AF＝93m，∴小华家 到公路的距离 AG＝AF＋FG＝133m。 学习方法点拨 通过制作几何模型，加强对相似三角形性质的理解，特别是相似三角形的第一个性质的理解。 加强对相似三角形性质的应用训练，从而加深对相似三角形性质的认识。 要学会在生活中应用相似三角形的性质，提高利用相似三角形性质解决实际问题的能力。 随堂演练 1、如果两个三角形的相似比为 1，那么这两个三角形________。 B C F G