免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com 第25章解直角三角形复习 教学内容 第25章解直角三角形复习 重点、难点 1.重点: (1)探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系.掌握三角函数定义 b cosA=c, tanA=b, cota=a (2)掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值,并会进行有关特殊角的三角 函数值的计算 (3)会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的 锐角 2.难点 (1)通过探索直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系,领悟事物之间互相 联系的辩证关系 (2)能够运用三角函数解决与直角形有关的简单的实际问题 (3)能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题,提高数学 建模能力 知识梳理 1.锐角三角函数 (1)锐角三角函数的定义 b∠A的邻边 ∠A的对边 我们规定: sina=c, cosa=c, tanA=b, cota=a 锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数 (2)用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 第 25 章 解直角三角形复习 一.教学内容 第 25 章 解直角三角形复习 二. 重点、难点： 1. 重点： （1）探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义式： sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ ，cotA＝ ． （2）掌握 30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角 函数值的计算． （3）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值， 由已知三角函数值求它对应的 锐角． 2. 难点： （1）通过探索直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系，领悟事物之间互相 联系的辩证关系． （2）能够运用三角函数解决与直角形有关的简单的实际问题． （3）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题，提高数学 建模能力． 三. 知识梳理： 1. 锐角三角函数 （1）锐角三角函数的定义 我们规定： sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ ，cotA＝ ． 锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数． （2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 对于特殊角的三角函数值我们很容易计算,甚至可以背诵下来,但是对于一般的锐 角又怎样求它的三角函数值呢?用计算器可以帮我们解决大问题 ①已知角求三角函数值 ②已知三角函数值求锐角 2.特殊角的三角函数值 sin a cos a tan cot a √3 √ 由表可知:直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半 3.锐角三角函数的性质 (1)0<sina<1,0<cosa<1(0°<a<90°) (2)tana·cota=1或tana=cota; COS C (3) tan a=cos a, cot a= sin a (4)sina=cos(90°-a),tana=cot(90°-a) 4.解直角三角形 在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形 解直角三角形的常见类型有: 我们规定:Rt△ABC,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c ①已知两边,求另一边和两个锐角: ②已知一条边和一个角,求另一个角和其他两边 5.解直角三角形的应用 (1)相关术语 铅垂线:重力线方向的直线 水平线:与铅垂线垂直的直线,一般情况下,地平面上的两点确定的直线我们认为 是水平线 仰角:向上看时,视线与水平线的夹角 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐 角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题． ①已知角求三角函数值； ②已知三角函数值求锐角． 2. 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα cotα 30º 45º 1 1 60º 由表可知：直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3. 锐角三角函数的性质 （1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°） （2）tanα·cotα＝1 或 tanα＝ ； （3）tanα＝ ，cotα＝ ． （4）sinα＝cos（90°－α），tanα＝cot（90°－α）． 4. 解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形． 解直角三角形的常见类型有： 我们规定：Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c． ①已知两边，求另一边和两个锐角； ②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边． 5. 解直角三角形的应用 （1）相关术语 铅垂线：重力线方向的直线． 水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下， 地平面上的两点确定的直线我们认为 是水平线． 仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 俯角:向下看时,视线与水平线的夹角 铅垂线视 仰角 坡面」 水平线 俯角 视线 水平线1 坡角:坡面与水平面的夹角 坡度:坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(坡比) 一般情况下,我们用h表示坡的铅直高度,用1表示水平宽度,用i表示坡度,即: i=t=tan a 方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角 如图 北偏东30度 北偏西70度 西南方向 南偏东50度 (2)应用解直角三角形来解决实际问题时,要注意: ①计算结果的精确度要求,一般说来中间量要多取一位有效数字 ②在题目中求未知时,应尽量选用直接由已知求未知 ③遇到非直角三角形时,常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答 其方法可以归纳为:已知斜边用正弦或余弦,已知直角边用正切和余切,能够使用 乘法计算的要尽量选用乘法,尽量直接选用己知条件进行计算 注:解直角三角形在现实生活中有广泛的应用,它经常涉及到测量、工程、航海 航空等,其中包括了一些术语,一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题 【典型例题】 n a+cos a 例1.已知tana=4,求sina-cosa的值 分析:利用数形结合思想,将已知条件tana=4用图形表示 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 俯角：向下看时，视线与水平线的夹角． 坡角：坡面与水平面的夹角． 坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）． 一般情况下，我们用 h 表示坡的铅直高度，用 l 表示水平宽度，用 i 表示坡度，即： i＝ ＝tanα． 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角叫做方向角． 如图： （2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意： ①计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字． ②在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知． ③遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答． 其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余弦，已知直角边用正切和余切， 能够使用 乘法计算的要尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算． 注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、 航空等，其中包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题． 【典型例题】 例 1. 已知 tanα＝ ，求 的值． 分析：利用数形结合思想，将已知条件 tanα＝ 用图形表示．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 解:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90 设BC=3k,AC=4k, 则AB=VAC2+BC2=√(42)+(3k) =5k BC 3k 3 AC 4% 4 .. a= AB=5k COSa= 原式=55 例2.计算 cos60° (2)cos245°+tan60°cos30°; 45°-sin30 (3)cos45°+sin30° (4)1-2sin30°+sin230° 分析:这里考查的是同学们对特殊角的三角函数值的识记情况和关于根式的计算能 力.处理办法是能够化简的要先化简后代入计算,不能化简的直接代入计算 解:(1)√25im45-2c060=Vx2-2×2=4 √2 (2)cos245°+tan6o°cos30°=(2) √3 2=2 sin45°-sn30°√2 (3)c845°+sin30°=22=√2+1=3-2v 2sin30°+sin230° 1-sin30°=1 2=2 点拨:像上面第3题分子分母要分别处理,第4题要特别注意先化简再代入计算 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 解：如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝α，设 BC＝3k，AC＝4k， 则 AB＝ ＝ ＝5k． ∴sinα＝ ＝ ＝ cosα＝ ， ∴原式＝ ＝－7． 例 2. 计算． （1） sin45°－ cos60°； （2）cos 2 45°+tan60°cos30°； （3） ； （4） ． 分析：这里考查的是同学们对特殊角的三角函数值的识记情况和关于根式的计算能 力．处理办法是能够化简的要先化简后代入计算，不能化简的直接代入计算． 解：（1） sin45°－ cos60°＝ × － × ＝ ； （2）cos 2 45°+tan60°cos30°＝（ ）2 + × ＝2． （3） ＝ ＝ ＝3－2 ； （4） ＝ ＝1－sin30º＝1－ ＝ ． 点拨：像上面第 3 题分子分母要分别处理，第 4•题要特别注意先化简再代入计算．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ Sin a+cos a 例3.已知tana=4,求sina-cosa的值 Sin a 分析:可将所求式子的分子、分母都除以cosa,转化为含有cosc的式子,再利 sin a 用tana=cosa进行转化求解 sin a+Cos a 解:将式子nc-cosc的分子、分母都除以cosa,得 tan C-1 原式 4 规律总结:因为tana=4所以a不等于90°,所以cosa≠0,因此分子分母可以同 时除以cosa.实现转化的目的 例4.等腰三角形的底边长为6cm,周长为14cm,试求底角的余切值 分析:这是一个在非直角三角形中求锐角的三角函数值的题目,根据三角函数的定 义,要先恰当的作辅助线(垂线)构成直角来解决.这个题涉及到等腰三角形,作底边上 的高是解决问题常见办法 解:如图所示,作等腰三角形ABC,BC为底边,AD⊥BC于D △ABC的周长为14,底边BC=6,∴腰长AB=AC=4 在直角三角形ABD中,∠ADB=90° AB-B 37 Cot∠B=AD 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 例 3. 已知 tanα＝ ，求 的值． 分析：可将所求式子的分子、分母都除以 cosα，转化为含有 的式子， 再利 用 tanα＝ 进行转化求解． 解：将式子 的分子、分母都除以 cosα，得 原式＝ ＝－7 规律总结：因为 tanα＝ 所以α不等于 90°，所以 cosα≠0，因此分子分母可以同 时除以 cosα．实现转化的目的． 例 4. 等腰三角形的底边长为 6cm，周长为 14cm，试求底角的余切值． 分析：这是一个在非直角三角形中求锐角的三角函数值的题目，根据三角函数的定 义，要先恰当的作辅助线（垂线）构成直角来解决．这个题涉及到等腰三角形， 作底边上 的高是解决问题常见办法． 解：如图所示，作等腰三角形 ABC，BC 为底边，AD⊥BC 于 D． ∵△ABC 的周长为 14，底边 BC＝6，∴腰长 AB＝AC＝4． 又∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝3． 在直角三角形 ABD 中，∠ADB＝90°， AD＝ ＝ ＝ cot∠B＝ ＝ ．