幂迭代Power method 青可个特征低：食设爸毫製鞋先头锅 满足24>22l≥123≥…≥ ·21被称为占优特征值(dominating eigenvalue) ·v1:占优特征向量 考虑任意向量x∈R”,，由于v1,v2,,vn是线性无关的，所以可以展开 x=a1v1+2v2+…+anVn Ax=Ala1v1+A2a2v2 +.Ananvn A2x=Aja1v1+zazv2+..+AnanVn A3x=11v1+12a22+…+13anvn Akx=afa1vi+afa2v2 ++akanvn = 格 1v1+ 2++ anVn 随着k→0，Akx→a11,如果1≠0 7
幂迭代 Power method 考虑可对角化的方阵�. 假设�有�个特征值��, ��, … , ��满足 �� > �� ≥ �� ≥ ⋯ ≥ �� 。记它们对应的特征向量为��, ��, … , ��。假设它们是线性无关的。 • ��被称为占优特征值 (dominating eigenvalue) • ��：占优特征向量 考虑任意向量� ∈ ��，由于��, ��, … , ��是线性无关的，所以可以展开 � = ���� + ���� + ⋯ + ���� �� = ������ + ������ + ⋯ + ������ ��� = �� ����� + �� ����� + ⋯ + �� ����� ��� = �� ����� + �� ����� + ⋯ + �� ����� ⋮ ��� = �� ����� + �� ����� + ⋯ + �� ����� = �� � ���� + �� � �� � ���� + ⋯ + �� � �� � ���� 随着� → ∞, ��� → �� �����，如果�� ≠ � 7
幂迭代Power method Akx=afaivi+akazv2 +..akanvn = a41+2+…+蓉 随着k→o,Akx→a1v1,如果x1≠0 收敛速度：22l/21 可能导致浮点数上溢或下溢：如果21l>1,Akx→o;如果|1l<1,Akx→0 解决办法：每次迭代都进行归一化 Wk+1=Axk, Xk+1= Wk+1 llwk+1ll 思考：归一化可以使用什么样的范数？为什么不除上进行归一化？ 8
幂迭代 Power method ��� = �� ����� + �� ����� + ⋯ + �� ����� = �� � ���� + �� � �� � ���� + ⋯ + �� � �� � ���� 随着� → ∞, ��� → �� �����，如果�� ≠ � 收敛速度： �� / �� 可能导致浮点数上溢或下溢：如果|��| > �, ��� → ∞; 如果 �� < � , ��� → � 解决办法：每次迭代都进行归一化 ��&� = � �� , ��&� = ��&� ��&� . 思考：归一化可以使用什么样的范数？为什么不除上�� �进行归一化？ 8