当n>1时,有(2n+1)/n2(n+1)2≈2m1n=2/n3,所以在n>1时,氢原子中 电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的频率为:n=2R?c/n3 设电子在第n轨道上的转动频率为厂n,则 2Rc A 22兀 2rmr2 n 因此,在n>1时,有Vn= 由上可见,当n>>1时,请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n玻尔轨道 转动的频率。这说明,在n很大时,玻尔理论过渡到经典理论,这就是对应原理。 29原子序数Z=3,其光谱的主线系可用下式表示: R R 讠= (1+0.5951)2(n-0401)2。已知锂原子电离成L广离子需要20344电子伏特的 功。问如把L/离子电离成L离子,需要多少电子伏特的功? 解:与氢光谱类似,碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电 子由高的p能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量,所以Ln离子 电离成L+离子时,有 rhc B Phc EL =5.35电子伏特 (1+05951)2∞(+0.5951)2 L是类氢离子,可用氢原子的能量公式,因此→D时,电离能E3为 E- Zrc 12≈2h=1224电子伏特 设D→L的电离能为E2。而D→>D+需要的总能量是E=20344电子伏特,所以有 E2=E-E1-E3=757子伏特 2.10具有磁矩的原子,在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同? 答:设原子的磁矩为μ,磁场沿Z方向,则原子磁矩在磁场方向的分量记为μz,于是 a B B 具有磁矩的原子在磁场中所受的力为F=μz8Z 其中二是磁场沿Z方向的梯度 对均匀磁场,=0,原子在磁场中不受力,原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动,且对磁场
当 n>>1 时，有 ，所以在 n>>1 时，氢原子中 2 2 4 3 (2n 1)/ n (n 1) 2n / n 2 / n 电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的频率为： 。3 v n 2Rc / n 设电子在第 n 轨道上的转动频率为 f n，则 2 2 3 2 2 2 2 n Rc mr P mr mvr r v f n 因此，在 n>>1 时，有 n n v f 由上可见，当 n>>1 时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第 n 玻尔轨道 转动的频率。这说明，在 n 很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。 2.9 Li 原子序数 Z=3，其光谱的主线系可用下式表示： 2 2 。已知锂原子电离成 离子需要 203.44 电子伏特的 (1 0.5951) ( 0.0401) ~ n R R v Li 功。问如把 离子电离成 离子，需要多少电子伏特的功？ Li Li 解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电 子由高的 p 能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以 离子 Li 电离成 离子时，有 Li 5.35电子伏特 (1 0.5951) (1 0.5951) 1 2 2 Rhc Rhc R hc E 是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此 时，电离能 为： Li Li Li E3 122.4电子伏特。 1 2 2 2 3 Z R hc Z Rhc E R 设 的电离能为 。而 需要的总能量是 E=203.44 电子伏特，所以有 Li Li E2 Li Li E2 E E1 E3 75.7电子伏特 2.10 具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？ 答：设原子的磁矩为 ，磁场沿 Z 方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为 Z ，于是 具有磁矩的原子在磁场中所受的力为 ，其中 是磁场沿 Z 方向的梯度。 Z B F Z Z B 对均匀磁场， 0 ，原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，且对磁场 Z B
aB 的取向服从空间量子化规则。对于非均磁场,≠0原子在磁场中除做上述运动外,还 受到力的作用,原子射束的路径要发生偏转。 2.11史特恩-盖拉赫实验中,处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场,磁场的梯度 aB 为=103特斯拉/米,磁极纵向范围L1=004米(见图22),从磁极到屏距离L2=0.10米 原子的速度v=5×102米秒。在屏上两束分开的距离d=0.002米。试确定原子磁矩在磁 场方向上投影μ的大小(设磁场边缘的影响可忽略不计)。 解:银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线;在 L2区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域厶后向外射出时粒子的速度为,出射方向与 入射方向间的夹角为0。0与速度间的关系为:g0= 粒子经过磁场L出射时偏离入射方向的距离S为: S=10(4y32( 2m02 将上式中用已知量表示出来变可以求出z ,,=aL, a= _μ =2D2,1=/p S=Lie=Hz0B 442 az v2 s=4-s=4-222 把S代入(1)式中,得: d zabEL HzOBL 2m02 整理,得,OBL (1+2L2)= 2m aZ 由此得:2=0.93×10-3焦耳/特 2.12观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情 可以测定各激发态的平均寿命。若已知原子束中原子速度y=103米秒,在沿粒子束方向 上相距1.5毫米其共振光谱线强度减少到1/3.32。试计算这种原子在共振激发态的平均寿命
的 取向服从空间量子化规则。对于非均磁场， 0 原子在磁场中除做上述运动外，还 Z B 受到力的作用，原子射束的路径要发生偏转。 2.11 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度 为 特斯拉/米，磁极纵向范围 =0.04 米(见图 2-2)，从磁极到屏距离 =0.10 米 ， 3 10 Z B L1 L2 原子的速度 米/秒。在屏上两束分开的距离 米。试确定原子磁矩在磁 2 v 510 d 0.002 场方向上投影 的大小（设磁场边缘的影响可忽略不计）。 解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在 L2 区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域 L1后向外射出时粒子的速度为 ，出射方向与 ' v 入射方向间的夹角为 。 与速度间的关系为： v v tg 粒子经过磁场 L1出射时偏离入射方向的距离 S 为： Z ……（1） v L Z B m S 1 2 ( ) 2 1 将上式中用已知量表示出来变可以求出 Z 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 ' 2 ' , , / v L L Z B m d S d S v L L Z B m S L tg v L Z B m v t L v Z B m m f v at a Z Z Z 把 S 代入（1）式中，得： 2 2 1 2 1 2 2 2 v L Z B v m L L Z B m d Z Z 整理，得： 2 ( 2 ) 2 2 1 2 1 d L L v L Z B m Z 由此得： Z 0.9310 23焦耳/特 2.12 观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情况， 可以测定各激发态的平均寿命。若已知原子束中原子速度 10 米/秒，在沿粒子束方向 3 v 上相距 1.5 毫米其共振光谱线强度减少到 1/3.32。试计算这种原子在共振激发态的平均寿命
解:设沿粒子束上某点A和距这点的距离S=1.5毫米的B点,共振谱线强度分别为 和/,并设粒子束在A点的时刻为零时刻,且此时处于激发态的粒子数为M20,原子束 经过t时间间隔从A到达B点,在B点处于激发态的粒子数为M2。 光谱线的强度与处于激发态的原子数和单位时间内的跃迁几率成正比。设发射共振谱线 的跃迁几率为A21,则有1x1M2M2 6A21M202 适当选取单位,位l1N2=1/3.32 并注意到M2=Me,而t=S/, 则有: eb=1/3.32 由此求得: A1=(n332-ln1)=ln32 1.5×10 A,pln3.32103×ln3.32 125×10-°秒
解：设沿粒子束上某点 A 和距这点的距离 S=1.5 毫米的 B 点，共振谱线强度分别为 I 0和I 1，并设粒子束在 A 点的时刻为零时刻，且此时处于激发态的粒子数为 N20 ，原子束 经过 t 时间间隔从 A 到达 B 点，在 B 点处于激发态的粒子数为 N2 。 光谱线的强度与处于激发态的原子数和单位时间内的跃迁几率成正比。设发射共振谱线 的跃迁几率为 A21，则有 20 2 21 20 21 2 0 1 N N A N A N I I 适当选取单位，使 1/ 3.32 ， 20 2 0 1 N N I I 并注意到 N N e t S v ， A t , / 21 2 20 而 则有： 1/ 3.32 21 20 2 A t e N N 由此求得： 6秒 3 3 21 21 1.25 10 10 ln 3.32 1.5 10 ln 3.32 1 (ln 3.32 ln1) ln 3.32 1 v s A t s v t A
第三章量子力学初步 3.1波长为1A的X光光子的动量和能量各为多少? 解:根据德布罗意关系式,得: h 663×10-34 动量为:P=元10 =663×10-24千克·米·秒 能量为:E=h=hc/ =663×10-3×3×103/10-10=1.986×10-15焦耳。 3.2经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长λ=?用上述电压加速的质 子束的德布罗意波长是多少? 解:德布罗意波长与加速电压之间有如下关系: =h/√2me对于电子:m=9,11×10-公斤,c=160×10-9库仑 把上述二量及h的值代入波长的表示式,可得 12.25 12.25 A=0.1225A √1000 对于质子,m=167×10-27公斤,e=1.60×10-库仑,代入波长的表示式,得: 6626×10-34 =2167×10×160×10100 862×10 33电子被加速后的速度很大,必须考虑相对论修正。因而原来212~)/的电子德 布罗意波长与加速电压的关系式应改为 12.25 (1-0.489×10-°104 其中V是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之 证明:德布罗意波长:λ=h/P 对高速粒子在考虑相对论效应时,其动能K与其动量p之间有如下关系: K+2Amc=P'c 而被电压V加速的电子的动能为:K=e
第三章 量子力学初步 3.1 波长为 的 X 光光子的动量和能量各为多少？ 1A 解：根据德布罗意关系式，得： 动量为： 24 1 10 34 6.63 10 10 6.63 10 千克 米 秒 h p 能量为： E hv hc / 焦耳。 34 8 10 15 6.63 10 3 10 /10 1.986 10 3.2 经过 10000 伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长 ? 用上述电压加速的质 子束的德布罗意波长是多少？ 解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系： h / 2meV 对于电子： m 9.1110 31公斤，e 1.6010 19库仑 把上述二量及 h 的值代入波长的表示式，可得： A A A V 0.1225 10000 12.25 12.25 对于质子， 公斤， 库仑 ，代入波长的表示式，得： 27 19 1.67 10 1.60 10 m e 34 3 27 19 6.626 10 2.862 10 2 1.67 10 1.60 10 10000 A 3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来 的电子德 A V 12.25 布罗意波长与加速电压的关系式应改为： V A V (1 0.489 10 ) 12.25 6 其中 V 是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。 证明：德布罗意波长： h / p 对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能 K 与其动量 p 之间有如下关系： 2 2 2 0 2 K 2Km c p c 而被电压 V 加速的电子的动能为： K eV
(e)2 +mel p=√2me+(e1)2/c2 因此有 λ=h/p= m 般情况下,等式右边根式中cF/2mc2一项的值都是很小的。所以,可以将上式的 根式作泰勒展开。只取前两项,得 h (1 4m22 mel (1-0.489×10-7 moer 由于上式中M/√2me 其中V以伏特为单位,代回原式得: 12.25 (1-0.489×10-7)A 由此可见,随着加速电压逐渐升高,电子的速度增大,由于相对论效应引起的德布罗意波长 变短。 3.4试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不 但适用于圆轨道,同样适用于椭圆轨道,试证明之。 证明:轨道量子化条件是:m=mh 对氢原子圆轨道来说,P=0,P=m中=my 所以有 P=2n·m=mh =2m==m,n=1,2,3 所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件 是 Pe dp P, dr=n h 其中
2 2 0 2 0 2 2 2 ( ) / 2 ( ) p m eV eV c m eV c eV p 因此有： 2 0 0 2 1 1 2 / m c m eV eV h h p 一般情况下，等式右边根式中 一项的值都是很小的。所以，可以将上式的 2 2 0 eV / m c 根式作泰勒展开。只取前两项，得： (1 0.489 10 ) 2 ) 4 (1 2 6 0 2 0 0 V m eV h m c eV m eV h 由于上式中 ，其中 V 以伏特为单位，代回原式得： A V h m eV 12.25 / 2 0 V A V (1 0.489 10 ) 12.25 6 由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长 变短。 3.4 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不 但适用于圆轨道，同样适用于椭圆轨道，试证明之。 证明：轨道量子化条件是： pdq nh 对氢原子圆轨道来说， p p mr mvr r 2 0, 所以有： 2 , 1,2,3 2 n n mv h S r n pd mvr nh 所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件 是： p dr n h p d n h r r 其中