临沂师范学院物理系：《原子物理学习题解答》（刘富义）

Tu[ Fat= 2Ze2/4[di= 2Zet/4TE R2 所以有:2ze2/4xs0R2= 由此可得:n1=2E21/4E0R2M a粒子所受的平行于入射方向的合力近似为0,入射方向上速度不变。据此,有: tg0=-=2Z02/4TER2Mv=2Z02D/4IE R2Mv2 2.4×10- 这时θ很小,因此90≈=24×10-3弧度,大约是82。 这就是说,按题中假设,能量为1兆电子伏特的α粒子被铅原子散射,不可能产生散射 角0>90°的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下,当α粒子无限靠近原子核时 会受到原子核的无限大的排斥力,所以可以产生0>90°的散射,甚至会产生0≈1800的散 射,这与实验相符合。因此,原子的汤姆逊模型是不成立的

而 2 0 2 0 2 0 2 0 Fdt 2Ze / 4 R dt 2Ze t / 4 R t t       所以有： R  Mv  Ze t 2 0 2 2 / 4 由此可得：v Ze t R M2 0 2  2 / 4   粒子所受的平行于入射方向的合力近似为 0，入射方向上速度不变。据此，有： 3 2 2 0 2 2 0 2 2.4 10 2 / 4 2 / 4       Ze t R Mv  Ze D R Mv v v tg   这时很小，因此tg    2.410 3弧度，大约是8.2‘。 这就是说，按题中假设，能量为 1 兆电子伏特的 粒子被铅原子散射，不可能产生散射 角 的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当 粒子无限靠近原子核时， 0   90  会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生 的散射，甚至会产生 的散 0   90 0   180 射，这与实验相符合。因此，原子的汤姆逊模型是不成立的

第二章原子的能级和辐射 2.1试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度 解:电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件, h 可得:频率V= 2Ta 2ma 2ma 658×105赫兹 速度:V=2xav=h/m1=2.188×10°米秒 加速度:W=2/r=2/a1=9.046×102米/秒2 22试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。 解:电离能为E=E-E1,把氢原子的能级公式En=-Bhe/n2代入,得 E=Rhd 13.60电子伏特 电离电势:=E=1360伏特 能:E=Rnhc )=Bhe=,×13.60=10.20电子伏特 第一激发电势:H=二=10.20伏特 23用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子,问受激发的氢原子向低能基跃迁 时,会出现那些波长的光谱线? 解:把氢原子有基态激发到你n=2,34…等能级上去所需要的能量是: E=hcR,( 其中cRn=136电子伏特 E1=136×(1-)=102电子伏特 E2=136×(1-2) 1、=12.1电子伏特 E3=13.6 )=128电子伏特 其中E和E2小于12.5电子伏特,E3大于125电子伏特。可见,具有125电子伏特能量的

第二章 原子的能级和辐射 2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。 解：电子在第一玻尔轨道上即年 n=1。根据量子化条件，   2 h p  mvr  n 可得：频率 2 1 2 2 1 2 1 2 ma h ma nh a v         6.5810 15赫兹 速度： 米/秒 6 v  2a 1  h / ma 1  2.18810 加速度： 22 2 1 2 2 w  v /r  v / a  9.04610 米/秒 2.2 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。 解：电离能为 Ei  E   E1，把氢原子的能级公式 代入，得： 2 En  Rhc / n Ei RH hc  Rhc =13.60 电子伏特。    ) 1 1 1 ( 2 电离电势：   13.60 伏特 e E V i i 第一激发能： 13.60 10.20 电子伏特 4 3 4 3 ) 2 1 1 1 ( 2 2 Ei  RH hc   Rhc    第一激发电势： 1  1  10.20伏特 e E V 2.3 用能量为 12.5 电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁 时，会出现那些波长的光谱线？ 解：把氢原子有基态激发到你 n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是： ) 其中 电子伏特 1 1 1 ( 2 2 n E  hcRH  hcRH  13.6 ) 10.2电子伏特 2 1 13.6 (1 1 2 E     ) 12.1电子伏特 3 1 13.6 (1 2 2 E     ) 12.8 电子伏特 4 1 13.6 (1 3 2 E     其中 E1和E2 小于 12.5 电子伏特，E3大于 12.5 电子伏特。可见，具有 12.5 电子伏特能量的

电子不足以把基态氢原子激发到n≥4的能级上去,所以只能出现n≤3的能级间的跃迁 跃迁时可能发出的光谱线的波长为 RH( )=5R/36 1=65654 A(1-2)=4n 入2=1215A RH( )==R 入3=1025A 24试估算一次电离的氦离子H、二次电离的锂离子D的第一玻尔轨道半径、电离电 势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值、 解:在估算时,不考虑原子核的运动所产生的影响,即把原子核视为不动,这样简单些 a)氢原子和类氢离子的轨道半径: 48oh n 4r2mZe2Z 其中a1= =0.529177×10-米,是氢原子的玻尔第一轨道半径 4r2me 啁是核电荷数,对于H,Z=1;对于H,Z=2;对于L,Z=3 因此,玻尔第一轨道半径之比是m=2n=1.=2n=1 b)氢和类氢离子的能量公式 (460)2今· 2,n=1,2,3 lIme 其中E1= (4x)F2。-136电子伏特,是氢原子的基态能量。 电离能之比: 0-E 0-E 0-E 0-E c)第一激发能之比

电子不足以把基态氢原子激发到n  4的能级上去，所以只能出现n  3 的能级间的跃迁。 跃迁时可能发出的光谱线的波长为：          A R R A R R A R R H H H H H H 1025 9 8 ) 3 1 1 1 ( 1 1215 4 3 ) 2 1 1 1 ( 1 6565 ) 5 / 36 3 1 2 1 ( 1 3 2 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1             2.4 试估算一次电离的氦离子 、二次电离的锂离子 的第一玻尔轨道半径、电离电  H e  Li 势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。 解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些 。 a) 氢原子和类氢离子的轨道半径： 3 1 , 2 1 , 1 , 2 3 0.529177 10 4 4 , 1,2,3 4 4 10 2 2 2 0 1 2 2 2 1 2 2 0                     Li H H Li H H H He Z Z r r Z Z r r Z H Z H Z Li Z me h a n Z n a mZe h n r e 因此，玻尔第一轨道半径之比是 是核电荷数，对于 ；对于 ；对于 ， ； 其中 米，是氢原子的玻尔第一轨道半径；     b) 氢和类氢离子的能量公式：     ,  1,2,3 (4 ) 2 2 2 2 2 2 1 0 2 4 2 n n Z E n h me Z E   其中 13.6电子伏特，是氢原子的基态能量。 (4 ) 2 2 2 0 2 4 1     h me E   电离能之比： 9 0 0 4, 0 0 2 2 2 2              H Li H Li H He H He Z Z E E Z Z E E c) 第一激发能之比：

EIS-E EL-El Er EIS-E E. d)氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式 ∫m=1,2,3 v=ZRO n2=(+1)(n+2) 其中P2z2me4 (4mE0)2h2 是里德伯常数。 氢原子赖曼系第一条谱线的波数为: 相应地,对类氢离子有: RO R 因此, 11++1 25试问二次电离的锂离子以从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子,是否有可能 使处于基态的一次电离的氦粒子B的电子电离掉? 解:l由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为: H的电离能量为

9 1 1 2 1 1 3 2 3 4 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1             E E E E E E E E E E E E E E E E H H Li Li H H He He d) 氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式： ) ， 1 1 ( ~ 2 2 2 2 n1 n v  Z R        1 1, 2,3 2 1 1 ( 1),( 2) { n n n n 其中 2 3 是里德伯常数。 0 2 4 (4 ) 2 h me R    氢原子赖曼系第一条谱线的波数为： 1 2 2 1 1 1 ( ) 1 2 H H v R      相应地，对类氢离子有： 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 ( ) 1 2 1 1 1 3 ( ) 1 2 He He Li Li v R v R               因此， 9 1 , 4 1 1 1 1 1      H Li H He     2.5 试问二次电离的锂离子 从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能  Li 使处于基态的一次电离的氦粒子 的电子电离掉？  H e 解： 由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：  Li 的电离能量为：  H e

WHe= 4hcRH( )=4hc 27R271+m/M m+16R161+m/M 由于Mm<M,所以1+m/Mm>1+m/M 从而有加+>加m,所以能将H+的电子电离掉 26氢与其同位素氘(质量数为2)混在同一放电管中,摄下两种原子的光谱线。试问 其巴耳末系的第一条(H)光谱线之间的波长差Δλ有多大?已知氢的里德伯常数 Rn=1.0967758×10米,氘的里德伯常数RD=1.0970742×107米。 2232),1n=36/5R =R( ),λn=36/5R △=n-λD= R 27已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子 素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长λ为多少A? 解 R )=R R m48 米=2430 3R3×10973731 28试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n轨道,发射光子的频率v。当n>1时 光子频率即为电子绕第n玻尔轨道转动的频率, 证明:在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的波数为 1 2n+1 频率为:== Rc (n+1)

Li He He Li He Li He He He m M m M R R hv hv v hcR hcR 1 / 1 / 16 27 16 27 ) 4 1 1 1 4 ( 2             由于 M He  M Li ,所以1 m / M He  1 m / M Li ， 从而有 hv Li  hv He ，所以能将 的电子电离掉。  H e 2.6 氢与其同位素氘（质量数为 2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问 其巴耳末系的第一条（ H ）光谱线之间的波长差 有多大？已知氢的里德伯常数 RH  1.096775810 7米1，氘的里德伯常数 RD  1.097074210 7米1 。 解： ) ， 3 1 2 1 ( 1 2 2  H  H R  H 5RH   36 / ) ， 3 1 2 1 ( 1 2 2  D  D R  D 5RD   36 /     A RH RD H D 1.79 ) 1 1 ( 5 36      2.7 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子 素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长 为多少 ？ A 解： R m m R R e e 8 3 4 3 1 1 ) 2 1 1 1 ( 1 2 2             A R 2430 3 10973731 1 3 8      米 2.8 试证明氢原子中的电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道，发射光子的频率 n。当 n>>1 时 光子频率即为电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率。 证明：在氢原子中电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的波数为： ] ( 1) 1 1 [ ~ 1 2 2     n n v R n n  频率为： Rc n n n n n Rc c v n 2 2 2 2 ( 1) 2 1 ] ( 1) 1 1 [        