旋转体的体积 3 32 =|元a3-x3c 105尤a° 例3求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的 拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋 转构成旋转体的体积 解绕x轴旋转的旋转体体积 Ta 兀y(x 2元a 2 T a(1-cost)2.a(1-cos t 2兀 na(1-3 cost+3cos2't-cos t)dt =5x2a3 0
旋转体的体积 V a x dx a a 3 3 2 3 2 = − − . 105 32 3 = a 例 3 求摆线x = a(t − sin t)，y = a(1− cos t)的 一拱与 y = 0所围成的图形分别绕x 轴 、y 轴 旋 转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 a 2a y(x) V y x dx a x ( ) 2 2 0 = = − − 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt = − + − 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 = a
绕y轴旋转的旋转体体积 Bx=x,() 可看作平面图OABC与OBC A 2Ta X 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差 2a 2 nux(y)dt- Txf(ydt 0 πa2(t-sint)2 a sin tdt 2兀 兀2 πa-(t-sin t). asin tdt T a (t-sint)sin tdt =6T'a
绕y轴旋转的旋转体体积 o y 2a x A 2a C B ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y 可看作平面图OABC与OBC 分别绕 y轴旋转构成旋转体的体积之差. V x y dt a y ( ) 2 2 0 2 = x y dt a ( ) 2 2 0 1 − = − 2 2 2 a (t sin t) asin tdt − − 0 2 2 a (t sin t) asin tdt = − 2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 . 3 3 = a