数学中国论文共享 www.madio.cn 2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨 询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料 (包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中 明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的 行为,我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是(从ABCD中选择一项填写) 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):_2108373 所属学校(请填写完整的全名): 南京大学 参赛队员(打印并签名):1 管庆 周超 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名) 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨 询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料 （包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中 明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的 行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 2108373 所属学校（请填写完整的全名）： 南京大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 笪庆 2. 周超 3. 俞庆进 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2008 年 9 月 22 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 www.madio.cn 2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号) 赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用): 评阅人评分备注 全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号): 全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 vww. mado. cn 数码相机定位 摘要 本文假设数码相机成像原理为小孔成像,在此基础上,通过两种合理的模型 对数码相机定位问题进行了较深入的研究。 针对问题一和二,我们建立了两种不同模型——变换矩阵模型和公切线模 型。在变换矩阵模型中,建立了物、像、相机三个坐标系,分别称为世界坐标系 像坐标系和光心坐标系。研究世界坐标系向像坐标系的变换矩阵M=(an)3,推 导出圆在像坐标系中的像为椭圆。利用灰度检测可以得到像中各椭圆圆周上各点 的坐标,通过多元线性回归拟合出各椭圆方程;对单独一个圆进行研究时,在合 理的近似前提下,以圆心为世界坐标系的原点,可求出该圆心所成像在像坐标系 中的坐标u=a4,=a24。最后我们求得5个圆心所成像在光心坐标系中的坐标分 别为(单位:mm):(-50.00,51.32,-41720)、(-23.54,4947,-41720)、(33.86, 4524,-417.20)、(-60.05,-31.22,-41720)、(18.52,-31.48,-41720)。在公 切线模型中,通过简单几何证明,得出在小孔成像时,公切线交点的像就是公切 线像的交点,联系题目中所给标靶的特殊性(所有圆全等),得出像平面中公切 线交点连线的交点就是标靶中对应圆心的像,并设计了一种算法得到5个圆心所 成像在光心坐标系中的坐标分别为(单位:mm):(-4992,5136,-41720) (-2347,4934,-417.20)、(33.88,45.05,-417.20)、(-6004,-31.29,-41720)、 (18.58,-31.56,-417.20) 在问题三中,我们用计算机模拟的方法,统计和分析了我们模型的在不同的 情况下所得到的结果与理论值之间的误差,并着重研究了相机与标靶的距离和像 平面与圆平面之间的偏角对结果的影响。结果表明在一定的前提下,当相机与标 靶的距离大于200毫米,-0.5≤a≤0.5以及-1≤B≤0.5(单位为弧度)时,我们 的结果与理论值相差不到一个像素,有着较好的稳定性和精度。 问题四中,通过每个相机旋转变换矩阵R和平移向量T,可以得到两相机的 变换关系:R=RR2、T=RR2T2+7,即相对位置关系,并理论推导了从两相 机中像在光心坐标系中的参数得到物在世界坐标中的参数,实现双目定位。另外 在相机的光心和像屏中心的连线垂直于象平面基础上,我们还给出另外一种合理 模型,通过矢量的方法求出物相对于光心坐标系的精确位置,从而可以得到两相 机的相对位置。 关键词:相机定位、小孔成像、变换矩阵、公切线、计算机模拟
1 数码相机定位 摘要 本文假设数码相机成像原理为小孔成像，在此基础上，通过两种合理的模型 对数码相机定位问题进行了较深入的研究。 针对问题一和二，我们建立了两种不同模型——变换矩阵模型和公切线模 型。在变换矩阵模型中，建立了物、像、相机三个坐标系，分别称为世界坐标系， 像坐标系和光心坐标系。研究世界坐标系向像坐标系的变换矩阵 3 4 ( ) M a = ij ´ ，推 导出圆在像坐标系中的像为椭圆。利用灰度检测可以得到像中各椭圆圆周上各点 的坐标，通过多元线性回归拟合出各椭圆方程；对单独一个圆进行研究时，在合 理的近似前提下，以圆心为世界坐标系的原点，可求出该圆心所成像在像坐标系 中的坐标 14 24 u = = a , v a 。最后我们求得 5 个圆心所成像在光心坐标系中的坐标分 别为（单位：mm）：（-50.00，51.32，-417.20）、（-23.54，49.47，-417.20）、（33.86， 45.24，-417.20）、（-60.05，-31.22，-417.20）、（18.52，-31.48，-417.20）。在公 切线模型中，通过简单几何证明，得出在小孔成像时，公切线交点的像就是公切 线像的交点，联系题目中所给标靶的特殊性（所有圆全等），得出像平面中公切 线交点连线的交点就是标靶中对应圆心的像，并设计了一种算法得到 5 个圆心所 成像在光心坐标系中的坐标分别为（单位：mm）：（-49.92，51.36，-417.20）、 （-23.47，49.34，-417.20）、（33.88，45.05，-417.20）、（-60.04，-31.29，-417.20）、 （18.58，-31.56，-417.20）。 在问题三中，我们用计算机模拟的方法，统计和分析了我们模型的在不同的 情况下所得到的结果与理论值之间的误差，并着重研究了相机与标靶的距离和像 平面与圆平面之间的偏角对结果的影响。结果表明在一定的前提下，当相机与标 靶的距离大于 200 毫米，-0.5 £ £ a 0.5以及-1£ £ b 0.5（单位为弧度）时，我们 的结果与理论值相差不到一个像素，有着较好的稳定性和精度。 问题四中，通过每个相机旋转变换矩阵 R 和平移向量 T，可以得到两相机的 变换关系： 1 1 R R1R2 T R1R2 T T 2 1 - - = 、 = + ，即相对位置关系，并理论推导了从两相 机中像在光心坐标系中的参数得到物在世界坐标中的参数，实现双目定位。另外 在相机的光心和像屏中心的连线垂直于象平面基础上，我们还给出另外一种合理 模型，通过矢量的方法求出物相对于光心坐标系的精确位置，从而可以得到两相 机的相对位置。 关键词：相机定位、小孔成像、变换矩阵、公切线、计算机模拟 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 vww. mado. cn 问题重述 数码相机定位在交通监管(电子警察)等方面有广泛的应用。所谓数码相机 定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的 定位方法是双目定位,即用两部相机来定位。对物体上一个特征点,用两部固定 于不同位置的相机摄得物体的像,分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只 要知道两部相机精确的相对位置,就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相 机的坐标系中的坐标,即确定了特征点的位置。于是对双目定位,精确地确定两 部相机的相对位置就是关键,这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是:在一块平板上画若干个点,同时用这两部相机照相,分 别得到这些点在它们像平面上的像点,利用这两组像点的几何关系就可以得到这 两部相机的相对位置。然而,无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有 几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆(称为靶标),它们的圆 心就是几何的点了。而像平面上的园一般会变形,所以必须从靶标上的这些圆的 像中把圆心的像精确地找到,标定就可实现。 有人设计靶标如下,取1个边长为100mm的正方形,分别以四个顶点(对 应为A、C、D、E)为圆心,12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处 的B为圆心,12mm为半径作圆。用一位置固定的数码相机摄得其像。利用所得 图像,具体解决如下几个问题: (1)建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点,x-y平面平行于像平面 (2)对由图2、图3分别给出的靶标及其像,计算靶标上圆的圆心在像平面上 的像坐标,该相机的像距(即焦点到像平面的距离)是1577个像素单位(1 毫米约为378个像素单位),相机分辨率为1024×786 (3)设计一种方法检验你们的模型,并对方法的精度和稳定性进行讨论 (4)建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。 、模型假设 .本题中数码相机成像系统看成是小孔成像 b.灰度检测前将图像改成黑白图的误差不予考虑。 三、符号说明 On:世界坐标系 O:光心坐标系 O:像坐标系 R:旋转矩阵 T:平移向量 M:空间变换矩阵
2 一、问题重述 数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机 定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的 定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定 于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只 要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相 机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两 部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分 别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这 两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有 几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆 心就是几何的点了。而像平面上的园一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的 像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 有人设计靶标如下，取 1 个边长为 100mm 的正方形，分别以四个顶点（对 应为 A、C、D、E）为圆心，12mm 为半径作圆。以 AC 边上距离 A 点 30mm 处 的 B 为圆心，12mm 为半径作圆。用一位置固定的数码相机摄得其像。利用所得 图像， 具体解决如下几个问题： （1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y 平面平行于像平面； （2） 对由图 2、图 3 分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上 的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是 1577 个像素单位(1 毫米约为 3.78 个像素单位)，相机分辨率为 1024×786； （3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； （4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。 二、模型假设 a.本题中数码相机成像系统看成是小孔成像； b.灰度检测前将图像改成黑白图的误差不予考虑。 三、符号说明 OW ：世界坐标系 OC ：光心坐标系 OP ：像坐标系 R ：旋转矩阵 T ：平移向量 M ：空间变换矩阵 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 www.madio.cn ∫:焦距(mm) L:每毫米的像素单位 P:图像矩阵 B4:第k个圆的边缘点集 四、模型的建立与求解 引理: 我们针对小孔模型提出一些内在性质并给予简单证明。 图 性质1:直线经小孔后所得到的像仍为直线。 证明:如图,α、y分别为物平面和像平面,B为与像平面平行的平面,点O为 小孔,AC为a上的线段,B为AC上任一点,经小孔O后得y上直线AC2。由 AC和O可以确定一个平面OAC,所以AC2为平面OAC和平面y的交线;设B 经小孔成像到y上的B2点。因为B2同时在平面OAC和平面y上,所以B2必在 两平面交线即AC2上。因为B为AC上任一点,所以直线AC经小孔O成像为y 平面上的直线AC2,故直线经小孔后所得到的像仍为直线。 性质2:线段中点经小孔成像所得点不一定还是像线段(经小孔成像后所得到的 线段)的中点。 证明:如图,AC1为平面OAC与B平面的交线,B为B所对应点。因为B平行 于y,平面OAC分别交β、y与AC1、AC2,则AC1与AC2相互平行。 当a与β不重合即0不为0时,如B为AC中点,因为CC1与A4相交,则B必然
3 f ：焦距（mm） L ：每毫米的像素单位 P ：图像矩阵 Bk ：第 k 个圆的边缘点集 四、模型的建立与求解 引理： 我们针对小孔模型提出一些内在性质并给予简单证明。 图 1 性质 1：直线经小孔后所得到的像仍为直线。 证明：如图，a g 、 分别为物平面和像平面，b 为与像平面平行的平面，点 O 为 小孔，AC 为a 上的线段，B 为 AC 上任一点，经小孔 O 后得g 上直线 A C2 2。由 AC 和 O 可以确定一个平面 OAC，所以 A C2 2为平面 OAC 和平面 g 的交线；设 B 经小孔成像到g 上的B2 点。因为B2同时在平面 OAC 和平面g 上，所以B2必在 两平面交线即 A C2 2上。因为 B 为 AC 上任一点，所以直线 AC 经小孔 O 成像为 g 平面上的直线 A C2 2，故直线经小孔后所得到的像仍为直线。 性质 2：线段中点经小孔成像所得点不一定还是像线段（经小孔成像后所得到的 线段）的中点。 证明：如图， AC1 1为平面 OAC 与 b 平面的交线，B1为 B 所对应点。因为 b 平行 于g ，平面 OAC 分别交 b 、g 与 AC1 1、 A C2 2，则 AC1 1与 A C2 2相互平行。 当a 与 b 不重合即q 不为 0 时，如 B 为 AC 中点，因为 CC1 1 与AA 相交，则 B1必然 数学中国论文共享 www.madio.cn