数学中国论文共享 www.madio.cn 不是AC1中点,所以B2也必然不是AC2中点,也就是说线段中点经小孔成像所 得点不一定还是像线段的中点,仅当该线段平行于像平面时才仍是中点 性质3:两直线交点的像仍是两直线像的交点。 证明:如下图:a平面上两直线AB与CD交于点E,经小孔O两直线分别得到B平 面上的像AB和CD,点E在B平面上的像为E1,则平面ABBA与CDDC1交于 直线OE,平面ABB4与CDDC分别交平面β于直线A1B与CD1,则E同时在平 面ABBA、CDDC1与B上,则E同时在AB和CD1上,即β平面上,AB和CD 交于E点,两直线交点的像仍是两直线像的交点。 我们将此结论推广到曲线的情形,很显然结论也必然成立。只要在曲线相交处对 两曲线取无限小段,那么就可以看成是直线相交的情形 图 性质4:圆经小孔成像为椭圆 图三
4 不是 AC1 1中点，所以 B2也必然不是 A C2 2中点，也就是说线段中点经小孔成像所 得点不一定还是像线段的中点，仅当该线段平行于像平面时才仍是中点。 性质 3：两直线交点的像仍是两直线像的交点。 证明：如下图：a 平面上两直线 AB与CD交于点E ，经小孔O两直线分别得到 b 平 面上的像 A1B1和C D1 1，点 E 在 b 平面上的像为 E1，则平面 ABB1A1与CDD C1 1交于 直线OE ，平面 ABB1A1与CDD C1 1分别交平面 b 于直线 A1B1与C D1 1，则 E1同时在平 面 ABB1A1 CDD C1 1 、 与b 上，则 E1同时在 A1B1和C D1 1上，即 b 平面上， A1B1和C D1 1 交于 E1点，两直线交点的像仍是两直线像的交点。 我们将此结论推广到曲线的情形，很显然结论也必然成立。只要在曲线相交处对 两曲线取无限小段，那么就可以看成是直线相交的情形。 图二 性质 4：圆经小孔成像为椭圆． 图三 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 www.madio.cn 证明:如图所示,圆O经小孔成像如图。在一个与圆O所在平面平行的平面上所 成像仍然是圆,如图中圆O2(这点很容易通过以上三个性质得到)。那么对于在 与圆O所在平面不平行的平面上的像,则可以看成是用一个平面去截图中的圆锥 (当然图中圆锥可以无限的延长),根据圆锥曲线的定义可知,所截出来的图形 就是椭圆。且可以看出圆心O在截面上所成的像O并不是椭圆中心M(只有截 面与圆平面平行时才是椭圆中心),所以圆经小孔成像为椭圆得证 性质5:圆的某一条切线的切点的像,仍然是椭圆的切线,而且切点的像就是椭 圆的切点。 证明:由性质3的推广可知,任意两条曲线的交点的像就是他们两个像的交点。 因为圆中切线与圆是相交于一点的,那么像中切线的像与圆的像(椭圆)至 少也会有个交点。假设圆的切线的像不再是像当中椭圆的切线,则切线的像与椭 圆必有两个交点。根据光路可逆原理,我们可以把原来的圆看成是像(椭圆)经 小孔所得到的像。那么对于另外一个交点,它的原像也必然是原像平面上两曲线 的交点,则原像平面中处切点外还有另外一交点,产生矛盾,故假设不成立,所 以结论得证。 模型一:变换矩阵模型 问题一 在标靶上,以某个圆的园心为原点建立空间直角坐标系,由Xw,Yw,Zn轴组 成,称其为世界坐标系;在像空间上建立像坐标系,由、ν轴组成;由于摄像 机可以安放在环境中的任何一个位置,我们也建立一个坐标系来描述,由 XC、F、Z轴组成,原点位于光心,称其为光心坐标系。光心坐标系与世界坐 标系间的转换可以同过旋转矩阵R和平移矩阵T来实现。如空间一点P在世界坐 标系和光心坐标系中的坐标分别为(Xzn)、( XYZ),于是存在关系 x-01[xx可=M[xx了 其中R为3×3的正交单位矩阵,03=(0003,M为4×4矩阵,0和1的 加入只是为了方便以后的计算。空间点p的像在像坐标系的位置与p在光心坐标 系中的关系如图可得 fXc fYc 其中(x,y)为点p的像在像坐标系的坐标,写成矩阵形式就是
5 证明：如图所示，圆O经小孔成像如图。在一个与圆O所在平面平行的平面上所 成像仍然是圆，如图中圆O2（这点很容易通过以上三个性质得到）。那么对于在 与圆O所在平面不平行的平面上的像，则可以看成是用一个平面去截图中的圆锥 （当然图中圆锥可以无限的延长），根据圆锥曲线的定义可知，所截出来的图形 就是椭圆。且可以看出圆心O在截面上所成的像O1并不是椭圆中心 M （只有截 面与圆平面平行时才是椭圆中心），所以圆经小孔成像为椭圆得证。 性质 5：圆的某一条切线的切点的像，仍然是椭圆的切线，而且切点的像就是椭 圆的切点。 证明：由性质 3 的推广可知，任意两条曲线的交点的像就是他们两个像的交点。 因为圆中切线与圆是相交于一点的，那么像中切线的像与圆的像（椭圆）至 少也会有个交点。假设圆的切线的像不再是像当中椭圆的切线，则切线的像与椭 圆必有两个交点。根据光路可逆原理，我们可以把原来的圆看成是像（椭圆）经 小孔所得到的像。那么对于另外一个交点，它的原像也必然是原像平面上两曲线 的交点，则原像平面中处切点外还有另外一交点，产生矛盾，故假设不成立，所 以结论得证。 模型一：变换矩阵模型 问题一 在标靶上，以某个圆的圆心为原点建立空间直角坐标系，由XW W ,Y ,ZW 轴组 成，称其为世界坐标系；在像空间上建立像坐标系，由u v 、 轴组成；由于摄像 机可以安放在环境中的任何一个位置，我们也建立一个坐标系来描述，由 XC、 、Y Z C C 轴组成，原点位于光心，称其为光心坐标系。光心坐标系与世界坐 标系间的转换可以同过旋转矩阵 R 和平移矩阵 T 来实现。如空间一点 P 在世界坐 标系和光心坐标系中的坐标分别为( ) ( ) T T XW YW ZW X C Y Z C C 、 ，于是存在关系： [ C 1 1] [ 1] [ 1] ...........(0) 0 1 T T T C C T W W W W W W R T X Y Z X Y Z M X Y Z é ù = = ê ú ë û 其中 R 为 3×3 的正交单位矩阵，0 (0 0 0) T T = ，M1为 4×4 矩阵，0 T 和 1 的 加入只是为了方便以后的计算。空间点 p 的像在像坐标系的位置与 p 在光心坐标 系中的关系如图可得： , C C C C fX fY x y Z Z = = 其中(x y, )为点 p 的像在像坐标系的坐标，写成矩阵形式就是： 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 0f00 XyZ 0010 所以可以得到 f R0 Z 参照附录中对于旋转矩阵的说明,我们可以得到 Zc=l-sina cos B Yw-T2=Xw sin B-Y sina cosB-tz B儿Z 所以由 R,TlY y|=0f00 M 0010 IZU 可得 (X sin B-Y sina cos B-T,)u=a,Xy+a Y+a (Xw sin B-Y sin a cosB-l)v=a2 Xw+a2,YH+a2 可以通过上式解得: uT,a,,+vau sin a cos B+aa2,)-(vT,au +ua,4 sin a cos B+a,a,) (ua2 sin B-vau sina cos B-aua22)-(van sinB-ua2I sin a cosB-a2an2) nB 1)-(-vTz (ua,, sin B-va, sina cos B-a,a,,)-(va,, sin B-ua, sin a cos B-a,a,,) 因为Xn、Y为圆周上的点,所以在世界坐标系满足 Xu+Y 带入可得到二次曲线方程: [(TZa2-a24 sin a cos B)u-(T2an2-a4 sin a cos B)v+(ana2 +aa24)- +[-(T,a2+a24 sin B)u+(a,sinB+lauv-(aa2+aua24] r[(a, sin B+a, sina cos B )u-(a, sina cos B+a, sin B)v-(,a-a,a,) 其代表一椭圆。 注意到此处的Z是标靶上圆上点在光心坐标系中Zc方向上的坐标。对于本
6 0 0 0 0 0 0 ....................................(1) 1 0 0 1 0 1 C C C C X x f Y Z y f Z é ù é ù é ùê ú ê ú ê úê ú = ê ú ê úê ú ê ë ú û ê ú ë ûê ú ë û 所以可以得到： 0 0 0 , 0 0 0 ...............................(2) 0 ,1 1 0 0 1 0 1 W W C T W X x f R T Y Z y f Z é ù é ù é ù ê ú é ù ê ú ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ë ú û ê ú ë û ê ú ë û 参照附录中对于旋转矩阵的说明，我们可以得到： sin sin cos sin sin cos cos cos W C W Z W W Z W X Z Y T X Y T Z b a b b a b a b é ùé ù ê úê ú = - - = - - ê úê ú ê úê ú ë ûë û 所以由： 0 0 0 0 , 0 0 0 0 ,1 1 0 0 1 0 1 1 W W W W C T W W X X x f R T Y Y Z y f M Z Z é ù é ù é ù é ù ê ú ê ú é ù ê ú ê ú ê ú ê ú = = ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ë ú û ê ú ë û ê ú ê ú ë û ë û 可得： 11 12 14 21 22 24 ( sin sin cos ) ( sin sin cos ) W W Z W W W W Z W W X Y T u a X a Y a X Y T v a X a Y a b a b b a b - - = + + - - = + + 可以通过上式解得： 22 14 14 22 12 24 12 24 22 11 11 22 12 21 21 12 21 14 14 21 11 24 11 24 22 11 1 ( sin cos ) ( sin cos ) ( sin sin cos ) ( sin sin cos ) ( sin ) ( sin ) ( sin sin cos Z Z W Z Z W uT a va a a vT a ua a a X ua va a a va ua a a uT a va a a vT a ua a a Y ua va a a b a b b a b b a b b b b a b + + - + + = - - - - - - + - - - + - = - - 1 22 12 21 21 12 a ) - (va sin b - - ua sina b cos ) a a 因为 X Y W W 、 为圆周上的点，所以在世界坐标系满足： 2 2 2 XW W + = Y r 带入可得到二次曲线方程： 2 22 24 12 14 14 22 12 24 2 21 24 14 11 14 21 11 24 2 2 22 21 11 12 11 22 21 12 [( sin cos ) ( sin cos ) ( )] [ ( sin ) ( sin ) ( )] [( sin sin cos ) ( sin cos sin ) ( )] Z Z Z Z T a a u T a a v a a a a T a a u a T a v a a a a r a a u a a v a a a a a b a b b b b a b a b b - - - + + + - + + + - + = + - + - - 其代表一椭圆。 注意到此处的 ZC 是标靶上圆上点在光心坐标系中 ZC 方向上的坐标。对于本 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 www.madio.cn 题来说,因为标靶在光心坐标系中zC方向上的坐标应该大于相机的两倍焦距, 即应在1米附近;而对于标靶上一个圆,其半径仅为12m,当标靶平面与光心 坐标系中XCOF平面存在一定夹角0时,那么一个圆上所有点在Zc上坐标的差 异只是12sinθ,与1m相比较而言,其误差是比较小的,所以我们可以近似认为 对于标靶上同一个圆上的点,其Z是相同的(后面我们将来讨论这种近似所带 来的误差,会发现其误差是非常小的,可见这种近似的合理性), 所以在此情况下,我们认为Z是不变的值,于是有: f000 R,T‖Y 0f00 (3) 0,1z 由于在处理像平面上的点时,我们经常用的单位为像素,对像平面坐标为 (x,y)的点,改用像素为单位后,其坐标为 L 其中L为每亳米的像素单位。于是: L00 L00f000 R,TIY v|=0L0y=0L00f00 =M 0,1Z L0010010 其中M为-3×4的坐标变换矩阵,而且在相机本身内部参数和相对标靶的 位置不变时,M是一个常数矩阵。由上式可以看出对于世界坐标系中的任意 点(X,Yn,Zm),经坐标变换矩阵M变换,便可以得到其像在像坐标系中的坐标 (a2y) 针对题目所给信息,为简化模型,我们可分别随标靶中每个圆分别讨论(因 为对每个圆讨论的方法完全相同,故本文只详细讨论一个圆,其他的可完全类 比)。对某个圆讨论时,取该圆所处坐标系为世界坐标系,坐标原点取在圆心处 后面会发现这样选取的精妙之处),所得像处于像坐标系,数码相机处于摄像 坐标系。可以很直觉的发现圆周上的点是至关重要的,那么我们先来探讨圆周上 的各点及其所成像的位置 因为在圆周上,注意到此时的世界坐标系里只需其二维情形,取Z=0,故其 曲线方程为 X +y=r
7 题来说，因为标靶在光心坐标系中 ZC 方向上的坐标应该大于相机的两倍焦距， 即应在 1 米附近；而对于标靶上一个圆，其半径仅为 12mm，当标靶平面与光心 坐标系中 XCO YC C 平面存在一定夹角q 时，那么一个圆上所有点在 ZC 上坐标的差 异只是12sinq ，与 1m 相比较而言，其误差是比较小的，所以我们可以近似认为 对于标靶上同一个圆上的点，其 ZC 是相同的（后面我们将来讨论这种近似所带 来的误差，会发现其误差是非常小的，可见这种近似的合理性）， 所以在此情况下,我们认为 ZC 是不变的值,于是有： 0 0 0 1 , 0 0 0 .........................(3) 0 ,1 1 0 0 1 0 1 W W T C W X x f R T Y y f Z Z é ù é ù é ù ê ú é ù ê ú ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ë ú û ê ú ë û ê ú ë û 由于在处理像平面上的点时，我们经常用的单位为像素，对像平面坐标为 (x y, )的点，改用像素为单位后，其坐标为： u xL v yL ì = í î = 其中 L 为每毫米的像素单位。于是： 0 0 0 0 0 0 0 1 , 0 0 0 0 0 0 0 ...(5) 0 ,1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 W W W W T C W W X X u L x L f R T Y Y v L y L f M Z Z Z é ù é ù é ù é ùé ù é ùé ù ê ú ê ú é ù ê ú ê úê ú ê úê ú ê ú ê ú = = = ê ú ê ú ê úê ú ê úê ú ê ú ê ú ë û ê ë ú û ê ë ú û ê ë ú û ê ë ú û ê ú ë û ê ú ê ú ë û ë û 其中 M 为一 3×4 的坐标变换矩阵，而且在相机本身内部参数和相对标靶的 位置不变时， M 是一个常数矩阵。由上式可以看出对于世界坐标系中的任意一 点( , , ) XW Y Z W W ，经坐标变换矩阵 M 变换，便可以得到其像在像坐标系中的坐标 (u v, ) 。 针对题目所给信息，为简化模型，我们可分别随标靶中每个圆分别讨论（因 为对每个圆讨论的方法完全相同，故本文只详细讨论一个圆，其他的可完全类 比）。对某个圆讨论时，取该圆所处坐标系为世界坐标系，坐标原点取在圆心处 （后面会发现这样选取的精妙之处），所得像处于像坐标系，数码相机处于摄像 坐标系。可以很直觉的发现圆周上的点是至关重要的，那么我们先来探讨圆周上 的各点及其所成像的位置。 因为在圆周上，注意到此时的世界坐标系里只需其二维情形，取 ZW=0,故其 曲线方程为： 2 2 2 XW W + = Y r 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 因为变换矩阵M为3×4矩阵,可设 a2a23a24 a2a33a34 所以圆周上任意一点(Xn,Yn,Zn),经坐标变换矩阵M变换后得到像在像坐 标系的坐标 0 I aa 有 u= au (7) a,Xw+a2Y +a, 与圆的曲线方程联立可得像的曲线方程 a(ul )-a1,(V-a 12-a21q12 从上式不能很显然的发现什么性质,所以我们将其展开: (a212+a22+(a12+a12)y2-2(a1a21+a2a2)-[2a1(a2+a2)+a24(a1a21+a12a2) -2{a24(a12+a12)+a14(a1a21+a12a2)+[(a2+a2)a42+(a12+a12)a242-2(a1a1+ a12a2)a4a24-(a12a21-a2a1)2r2]=0.(8) 简化上式为 k1+ky+k1+k2+k3y2+kn2=0. 可见这是一个一般二次曲线方程,故其图像为一椭圆(当然也可能会是一条 直线,暂不考虑这种情况)。其中k至k分别为上式的系数。观察(8)式可以发 现这个重要信息:4v都是a1a2和n2、v2、w的系数组成,而a、a24正是世 界坐标系的圆心经转换矩阵得到的像坐标系的坐标。所以其简化式可变为: k1-(2a2k3+a1k4)-(2a1k+a2k4+k+kv2+k2=0.…0) 我们所需要求的是圆心在像坐标系的像坐标的坐标,由于我们将世界坐标系 的原点放在圆心,故圆心在世界坐标系中的坐标为(0,0),根据(7)式,在像坐 标系的像坐标的坐标为
8 因为变换矩阵 M 为 3×4 矩阵，可设 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a M a a a a a a a a é ù ê ú = ë û 所以圆周上任意一点( , , ) XW Y Z W W ，经坐标变换矩阵 M 变换后得到像在像坐 标系的坐标: 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 ..............(6) 0 0 1 1 1 W W W W X X u a a a a Y Y v M a a a a a a a a é ù é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú = = ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë ûê ú ë û ë û 有： 11 12 14 21 22 24 ...................(7) W W W W u a X a Y a v a X a Y a ì = + + í = + + î 与圆的曲线方程联立可得像的曲线方程： 2 2 22 14 12 24 12 14 11 24 2 11 22 21 12 12 21 22 11 a (u a ) a (v a ) a (u a ) a ( ) v a r a a a a a a a a é - - - ù é ù - - - + = ê ú ê ú ë - - û ë û 从上式不能很显然的发现什么性质，所以我们将其展开： 2 2 2 2 2 2 2 2 21 22 11 12 11 21 12 22 14 21 22 24 11 21 12 22 2 2 2 2 2 2 2 2 24 11 12 14 11 21 12 22 21 22 14 11 12 24 11 21 2 2 12 22 14 24 12 21 22 11 ( ) ( ) 2( ) [2 ( ) ( )] 2[ ( ) ( )] [( ) ( ) 2( ) ( ) ] 0 a a u a a v a a a a uv a a a a a a a a u a a a a a a a a v a a a a a a a a a a a a a a a a r + + + - + - + + + - + + + + + + + - + - - = ......(8) 简化上式为： 2 2 1 2 3 4 5 6 k + k v + k u + k uv + k v + = k u 0..........................(9) 可见这是一个一般二次曲线方程，故其图像为一椭圆(当然也可能会是一条 直线,暂不考虑这种情况)。其中 1 k 至 6 k 分别为上式的系数。观察（8）式可以发 现这个重要信息：u v 、 都是 14 24 a a 、 和 2 2 u 、 、v uv 的系数组成，而 14 24 a a 、 正是世 界坐标系的圆心经转换矩阵得到的像坐标系的坐标。所以其简化式可变为： 2 2 1 24 5 14 4 14 6 24 4 4 5 6 k - (2a k + a k )v - (2a k + a k )u + k uv + k v + = k u 0.......(10) 我们所需要求的是圆心在像坐标系的像坐标的坐标，由于我们将世界坐标系 的原点放在圆心，故圆心在世界坐标系中的坐标为(0,0) ，根据（7）式，在像坐 标系的像坐标的坐标为： 14 24 o o u a v a ì = í = î 数学中国论文共享 www.madio.cn