我们再来看个由求方程近似解而得到斐氏数列的例子。我们用选代的方法求方程α+α-1=0的正的近似解。令 f(x) =x+x - 1.由 f(0) = -1<0,f(1)=1>0,知f(α)在(0,1)间有解α*1考虑选代格式：Xnt1=x +1令α=1（称之为第0次迭代），则11（第1次选代，α称第一次x,=21+x近似根）；11231（第2次迭代），31 +αx,1+ 1/2113x,（第3次迭代），51+x,1+2/3115（第4次迭代），x.81 +α31+3/5118,:（第5次迭代）131+5/81 +x我们已经看到，这些各次近似解：8115231'2'3’5'8'13'的分子、分母都恰好是构成一个斐波那契数列。26
最后我们看一个与古典概率问题研究有关的例子，连续抛一枚硬币，直到连出两次正面为止，今考察事件发生在第n次抛掷的情形：我们用H表示硬币的正面，而用T表示硬币的反面，从下表可以看出：事件发生在第n次的所有可能的种类数恰为un-1:n可能的序列序列的数目2HH1THH1HTHH,TTHH235THTHH,HTTHH,TTTHHHTHTHH，TTHTHH,THTTHH56HTTTHH,TTTTHH对于n=7时，只须在n=6时的序列每个的前面加上T（共5个），此外还可以在每个T打头的序列前面加上H（共3个），这样一共有5+3=8个仿上利用数学归纳法我们可以证明：“连续抛一枚硬币，直到连出两次正面为止”的事件发生在第几次抛掷所有可能的方式数为 un-1.1）n=2、3的情形自明
2）设n=k时结论真，即事件发生在第k次抛掷的方式数有uk-1种，而它是由uk-2个序列前面各加上T，在k-3个序列（它们是T打头）的前面又加上H而得到的。今考虑n=k+1的情形。注意到我们可以在上述uk-1个序列前面各加上T，而在k-2个以T打头的序列前面各加上H：T(T...THH)或 T(H...THH) (共 uk-个)kH(T...THH)(共uk~2个）k这样，事件发生在第k+1次的抛掷方式数共有k-1+k-=种，即命题对n=k+1也真从而，结论对任何自然数n都成立。1984年11月，D.shechtman等人在极冷的锰一铝合金中拍创第一张准晶体的电子衍射图。在随后得到的高分辨电子显微图中，呈圆环状分布的亮点在直线方向或相间或重叠，而结点分布服从斐氏数列（这个发现冲破了一百多年来建立起来的经典晶体学的现有理论基础），关于它详见文献[28].6.小结我们再来小结一下，可以导致斐波那契数列的问题大致可分为以下三类：.28
（1）F-数的生物模型（F一数即斐波那契数)（生物学中所谓“鲁德维格”定律，亦为斐氏数列在植物学中的体现）（2）道路模型即沿图2-9所示道路从A.出发（只能沿箭头方向前进）到A，的所有可能走法数即为unAeA2图2-9（3）组合模型数集N，=1,2，，n)中不含相邻元素的子集个数即为un+2今证H，为N，不含相邻元素的子集个数显然N.={1)，其子集仅有空集Φ和（1）两个，即H=2N,=1,2}它的满足要求的子集有，（1)和[2]等3个；即H,=3.对Nn的任一满足要求的子集E，若它不含数n，则它必为Nn-1=（1,2,,n一1}满足要求·29
的子集；若E包含数n，则它必不包含n-1，故当我们从E中去掉n之后得到的乃是Nn-的一个满足要求的子集。这表明当我们将N，中所有Hn个满足要求的子集按包含n元素与否而分作不相交的两类时，它们的个数分别为Hn-和Hn-2，从而H,=Hn-1+Hn-3又H=u,=2，H,=u.=3，故由它们满足同样递推关系，从而必有Hn=un+330