条，显然（n）恰为斐波那契数列（注意到u,=1）。这个问题与下面的问题无实质差异：有n个村庄，分别用A.A，·，A,表示某人从A出发按箭头方向（不许反向）绕一圈后，再回到A，有多少种走法？稍稍分析不难有：设走法数为αns则a，=1a,=1, ak+1=ak +ak-1 (k>1).这恰好构成一个斐波那契数列。A16上面的问题其实A与下面的间题也是类似的：上楼梯时，若允许每次跨一或两图2-5，那么对于楼梯数为1、2，3，4、时上楼的方式数恰好也是斐波那契数列：1，23,5,8,.这一点可由下页图中显示出来：当然下面的问题实质与上两个问题也是相同的：有一分和二分的硬币若干，问用它们组成（或支付）币值为1、2、3、4、5、分的方式各有多少（这里各种组成或支付方式都是一枚一枚进行的，比如支付3分时，②①和①②看21
山数楼梯碰数上楼方式122山cTAAP?·......作两种不同方式，这是因为前者先付2分又付1分，而后者是先付1分又付2分）？我们再来看一个例子，它也和生物现象有关。4.雄蜂家族、钢琴键盘与斐氏数列在蜜蜂王国里：雌蜂虽多，但仅有一只（蜂后）能产卵，余者皆工蜂。蜂后与雄蜂交配后产下蜂卵，其中绝大多数是受精卵，其孵化后为雌蜂（工蜂或蜂后），少数未受精卵郎孵化成雄蜂.若追溯一只雄蜂的家系，其任何一代的祖先数目，均为斐氏数列中的数，即它们构成斐氏数26列。22
130C0?81?-0+0+5--0+3aof210+表示雄蜂- 表示雌蜂图2--6如图26，一只雄蜂仅有一个母亲，故其两代数目均为1，而这只雄蜂的母亲必须是有父，母的，故其上溯第三代的数目是2；这一代雄蜂（即原来雄蜂的祖父）仅有母亲，而雌蜂（即原来雄蜂的祖母）则有一父一母，故上溯第四代的数目是3·…将雄蜂家系上溯第六代祖先（见图2一6），若雄蜂则用?表示；若雌蜂则用○表示，则此13只蜂排布如000000000000有趣的是：它与钢琴琴键排布一致，如图2一7（13个半音）：.1顺便讲一句，一个音节分为12个音调（连半音在内）若用简谱表示即，23
图2-7(1,1#,2,2#,3,4,4#,5,5#,6,6#,7),i其中1的波长是1的波长的2倍，其相邻两音调波长之比皆为1/2～1.0594631尽管12个音调的波长构成公比为1/2的等比数列，但人类听觉却认为相邻两音调均相差半个音.5。几何、代数、概率中的斐氏数列在数字的本身有时也会遇到斐氏数列。比如在几何中有这样一个例子：已知以AB为直径的半圆有一内接正方形CDEF，其边长为1（如图2一8）．设AC=α，BC=b，作数列：u=a-bu,=a-ab+bu, = a'- ab+ab"- bsC图2-8Uk = ak - ak-ib+ ak-b' - ... + (-1)kbk则un=un-1+un-z（n≥3)即un）为斐波那契敷24
列.我们只须注意到：α-b=AC-BC=FC=1ab = AC.BC = CD"= 1则α、b为α-α~1=0的两个根，解得α=+1, b=-122容易证明：aα=1+α，b=1-b又 us = ak- ak-1b + ak-b - ... + (-1)kbkak+1_ (-b)h+Ia+b从而 k-+uk=2ak-1-(-b)k-1ak- (-b)a+ba+bak-i(a + 1) - (-b)k-i(-b +1)a+bak-1.a* - (-b)*-1.ba+bak-1 - (-b)k+ta+b=ux注意到：u=a-b=1.且u,=a-ab+b=(1 +a)- 1 +(1-b)=2,及 unti=un +un-1 (n>1)，故(un)是斐波那契数列25