(4)沿流线积分(在恒定流条件下也就是沿迹线积分),此时 dx dy 止一山 首先将欧拉运动微分方程(3-5-1)三式分别乘以ax,dy,d,然后相加,得 (k++2白)以(+中+ dux. dx+dy+ 利用上述四个条件得 dw--dp=urdu x +l,duy+udu 因=常数,故上式可写成 P 积分得 P =常数 (3-6-1) 这就是伯诺里积分,它表明:对于不可压缩的理想液体,在有势的质量力作用下 作恒定流时,在同一条流线上W-2--|值保持不变。但对于不同的流线,伯 诺里积分常数一般是不同的。 §3-7伯诺里方程 Bernoulli' s Equation) 若作用在理想液体上的质量力只有重力,当z轴铅垂向上时,有 W=-g 将其代入式(3-6-1)得 g=+2+“=常数 (3-7-1) 上式各项是对单位质量而言,若各项除以g,则是对单位重量而言,注意到y=pg 则有 c分×了 P (3-7-2) 2g 对于同一流线的任意两点1与2,上式可改写成
（4）沿流线积分（在恒定流条件下也就是沿迹线积分），此时 x y uz dt dz u dt dy u dt dx = = = 首先将欧拉运动微分方程（3-5-1）三式分别乘以 dx，dy，dz，然后相加，得 + + + + − dz z p dy y p dx x p Xdx Ydy Zdz 1 ( ) dz dt du dy dt du dx dt dux y z = + + 利用上述四个条件得 dW − dp = uxdux + u ydu y + uzduz 1 = + + = 2 ( ) 2 1 2 2 2 2 u d ux u y uz d 因ρ=常数，故上式可写成 0 2 2 = − − p u d W 积分得 − − = 常数 2 2 p u W (3-6-1) 这就是伯诺里积分，它表明：对于不可压缩的理想液体，在有势的质量力作用下 作恒定流时，在同一条流线上 − − 2 2 p u W 值保持不变。但对于不同的流线，伯 诺里积分常数一般是不同的。 §3-7 伯诺里方程(Bernoulli's Equation) 若作用在理想液体上的质量力只有重力，当 z 轴铅垂向上时，有 W = −gz 将其代入式（3-6-1）得 + + = 常数 2 2 p u gz (3-7-1) 上式各项是对单位质量而言，若各项除以 g，则是对单位重量而言,注意到γ=ρg， 则有 C g p u z + + = 2 2 (3-7-2) 对于同一流线的任意两点 1 与 2，上式可改写成
PI 这是理想元流的伯诺里方程(又称为能量方程)由于元流的过水断面面积无限小, 流线是元流的极限状态,所以沿流线的伯诺里方程也就是元流的伯诺里方程。这 方程在水力学中极为重要,它反映了重力场中理想元流(或者说沿流线)作恒 定流时,位置标高x,动水压强p与流速u之间的关系。 理想元流的伯诺里方程还可简单地利用动能定理导得。1738年伯诺里本人就是这样得到 的 在理想液体中任取一段元流(图3-7-1)。进口过水断面为1-1,面积为d41,形心距离某 基准面0-0的铅垂高度为1,流速为m,动水压强为pl;而出口过断面为22,其相应的参 数为d42,,与P。元流同一过水断面上各点的流速与动水压强可认为是均布的。 图3-7-1 假定是恒定流,经过时间d,所取流段从1-2位置变形运动到1′-2′位置。1-1断面与 2-2断面移动的距离分别是 dl,=udt dl, 根据动能定理,运动液体的动能增量等于作用在它上面各力作功的代数和。其各项具体 分析如下: (1)动能増量dE元流从1-2位置运动到1′-2′位置,其动能增量d在恒定流时等 于2-2′段动能与1-1′段动能之差,因为恒定流时公共部分1′-2段的形状与位置及其各点 流速不随时间变化,因而其动能也不随时间变化 根据质量守恒原理,2-2′段与1-1段的质量同为M,注意到对于不可压缩的液体,p=2 常数,dO=常数,于是 de, =dM u2 -"=_ui =adodb mn=0238-2 (2)重力作功dAG对于恒定流,公共部分1′-2段的形状与位置不随时间改变,重力
g p u z g p u z 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + = + + (3-7-3) 这是理想元流的伯诺里方程（又称为能量方程）。由于元流的过水断面面积无限小， 流线是元流的极限状态，所以沿流线的伯诺里方程也就是元流的伯诺里方程。这 一方程在水力学中极为重要，它反映了重力场中理想元流（或者说沿流线）作恒 定流时，位置标高 z，动水压强 p 与流速 u 之间的关系。 理想元流的伯诺里方程还可简单地利用动能定理导得。1738 年伯诺里本人就是这样得到 的。 在理想液体中任取一段元流（图 3-7-1）。进口过水断面为 1-1，面积为 dA1，形心距离某 基准面 0-0 的铅垂高度为 z1，流速为 u1，动水压强为 p\-1；而出口过断面为 2-2，其相应的参 数为 dA2，z2，u2 与 p2。元流同一过水断面上各点的流速与动水压强可认为是均布的。 图 3-7-1 假定是恒定流，经过时间 dt，所取流段从 1-2 位置变形运动到 1′-2′位置。1-1 断面与 2-2 断面移动的距离分别是： dl u dt 1 = 1 dl u dt 2 = 2 根据动能定理，运动液体的动能增量等于作用在它上面各力作功的代数和。其各项具体 分析如下： （1）动能增量 dEu 元流从 1-2 位置运动到 1′-2′位置，其动能增量 dEu 在恒定流时等 于 2-2′段动能与 1-1′段动能之差，因为恒定流时公共部分 1′-2 段的形状与位置及其各点 流速不随时间变化，因而其动能也不随时间变化。 根据质量守恒原理，2-2′段与 1-1′段的质量同为 dM，注意到对于不可压缩的液体， g = 常数，dQ=常数，于是 = − = − 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 u u dM u dM u dEu dM = − = − g u g u dQdt u u dQdt 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 （2）重力作功 dAG 对于恒定流，公共部分 1′-2 段的形状与位置不随时间改变，重力
对它不作功。所以,元流以1-2位置运动到1′-2′位置重力作功dAo等于1-1′段液体运动 到2-2′位置时重力所作的功,即 dlc=dMg(1-22)= pgd@dr(=1--2)=Qdh(=1-=2) (3)压力作功dAp元流从1-2位置运动到1′-2′位置时作用在过水断面1-1上的动力 压力pdA1与运动方向相同,作正功:作用在过水断面22上的动水压力pd42与运动方向相 反,作负功:而作用在元流侧面上的动水压强与运动方向垂直,不作功。于是 Ip=Pydajdl1-p2dA2dl2 PidAjujdt- p2dA2u2dt=d@dt(p1-p2) 对于理想液体,不存在切应力,其作功为零。根据动能定理 de =da td 将各项代入得 udl(=1-=2)+dOd(p1-p2) g 2g 消去dOd并整理得 +F+2=常数 (3-7-4) §3-8理想元流伯诺里方程的物理意义与几何意义 1.物理意义理想元流伯诺里方程中的三项分别表示单位重量液体的三种不 同形式的能量: ①为单位重量液体的位能(位置势能或重力势能),这是因为重量为lg, 高度为z的液体质点的位能是Mgz。 图3-8-1 ②P为单位重量液体的压能(压强势能)。压能是压强场中移动液体质点时
对它不作功。所以，元流以 1-2 位置运动到 1′-2′位置重力作功 dAG 等于 1-1′段液体运动 到 2-2′位置时重力所作的功，即 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 dAG = dMg z − z = gdQdt z − z = dQdt z − z （3）压力作功 dAp 元流从 1-2 位置运动到 1′-2′位置时作用在过水断面 1-1 上的动力 压力 p1dA1 与运动方向相同，作正功；作用在过水断面 2-2 上的动水压力 p2dA2 与运动方向相 反，作负功；而作用在元流侧面上的动水压强与运动方向垂直，不作功。于是 dAp = p1dA1dl1 − p2dA2dl2 ( ) = p1dA1u1dt − p2dA2u2dt = dQdt p1 − p2 对于理想液体，不存在切应力，其作功为零。根据动能定理， dE = dAG + dAp 将各项代入得 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 dQdt z z dQdt p p g u g u dQdt = − + − − 消去 dQdt 并整理得 g p u z g p u z 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + = + + (3-7-3) 或 + + = g p u z 2 2 常数 (3-7-4) §3-8 理想元流伯诺里方程的物理意义与几何意义 1．物理意义 理想元流伯诺里方程中的三项分别表示单位重量液体的三种不 同形式的能量： ①z 为单位重量液体的位能（位置势能或重力势能），这是因为重量为 Mg， 高度为 z 的液体质点的位能是 MgZ。 图 3-8-1 ② p 为单位重量液体的压能（压强势能）。压能是压强场中移动液体质点时