图3 在整个运动液体的空间可绘出一系列的流线,称为流线簇,流线簇构成的流 线图称为流谱(图3-2-5)。不可压缩的液体中,流线簇的疏密程度反映了流场各 点的速度大小。流线密集的地方流速大,而稀疏的地方速度小(理由见§3-3)。 流线和迹线是两个完全不同的概念。非恒定流的流线与迹线不相重合,但恒 定流的流线与迹线相重合。可利用图3-2-4作如下说明:设某时刻经过点1的质 点的流速为,经d时间该质点运动到无限接近的点2时,在恒定流条件下, 仍以原来的流速l运动,于是经过d时间,它必然到达点3,……如此继续下 去,则曲线1-2-3…即为迹线。而前面已说明此曲线为流线。因此,液体质点的运 动迹线在恒定流时与流线相重合 根据流线的定义可得到流线的微分方程:设ds为流线的微元长度,u为质点 在该点的流速,因两者重合故流线方程应满足 在直角坐标系中即 式中i,,k分别是x,y,z方向的单位矢量。展开后得到流线的微分方程为 dr dy de 流速分量l,ly,l是坐标x,y,z与时间t的函数,这里t是以参数形式出现的。非恒定流 因流场中各点的流速矢量随时间变化,因此,流线在不同时刻有不同的形状:反之,恒 流的流线形状与位置不随时间改变 例3-1已知流速场为 其中C为常数,求流线方程。 解由式(3-2-2)
在整个运动液体的空间可绘出一系列的流线，称为流线簇，流线簇构成的流 线图称为流谱（图 3-2-5）。不可压缩的液体中，流线簇的疏密程度反映了流场各 点的速度大小。流线密集的地方流速大，而稀疏的地方速度小（理由见§3-3）。 流线和迹线是两个完全不同的概念。非恒定流的流线与迹线不相重合，但恒 定流的流线与迹线相重合。可利用图 3-2-4 作如下说明：设某时刻经过点 1 的质 点的流速为 u1，经 dt1 时间该质点运动到无限接近的点 2 时，在恒定流条件下， 仍以原来的流速 u2 运动，于是经过 dt2 时间，它必然到达点 3，……如此继续下 去，则曲线 1-2-3…即为迹线。而前面已说明此曲线为流线。因此，液体质点的运 动迹线在恒定流时与流线相重合。 根据流线的定义可得到流线的微分方程：设 ds 为流线的微元长度，u 为质点 在该点的流速，因两者重合故流线方程应满足 ds×u=0 在直角坐标系中即 = 0 ux u y uz dx dy dz i j k 式中 i，j，k 分别是 x，y，z 方向的单位矢量。展开后得到流线的微分方程为 x y uz dz u dy u dx = = (3-2-2) 流速分量 ux，uy，uz 是坐标 x，y，z 与时间 t 的函数，这里 t 是以参数形式出现的。非恒定流 时，因流场中各点的流速矢量随时间变化，因此，流线在不同时刻有不同的形状；反之，恒 定流的流线形状与位置不随时间改变。 例 3-1 已知流速场为 , , 0 2 2 2 2 = + = + x = y uz x y Cy u x y Cx u 其中 C 为常数，求流线方程。 解 由式（3-2-2）
化简为 dx dy 积分得 Inx +Inc,=In 则 C1 此外,则l=0得 =C 因此,流线为xOy平面上的一簇通过原点的直线(图3-2-6)。这种流动称为平面点源流动(C >0时)或平面点汇流动(C<0时= C>0 C<0 图3-2-6 (2)流线的性质: ①恒定流的流线形状不随时间变化,非恒定流的流线形状随时间变化; ②恒定流的流线与迹线重合,非恒定流的流线与迹线不重合 ③流线一般不会相交,也不会转折(驻点除外) 推论:过流场中一点,只能引一条流线。 3)均匀流与非均匀流( Uniform Flow and Nonuniform Flow)根据流线形状 不同可将液体流动分为均匀流与非均匀流两种。若诸流线是平行直线,这种流动 就称为均匀流:否则,称为非均匀流。例如,液体在等截面直管中的流动,或液 体在断面形状与尺寸沿程不变的直长渠道中的流动都是均匀流。若液体在收缩管、 扩散管或弯管中的流动,以及液体在断面形状或尺寸沿程变化的渠道中的流动都 形成非均匀流。在均匀流中,位于同一流线上各质点的流速大小和方向均相同, 而在非均匀流中情况与上述相反。 均匀流与恒定流,非均匀流与非恒定流是两种不同的概念。恒定流的当地加 速度等于零,而均匀流的迁移加速度等于零。所以,液体的流动分为恒定均匀流, 恒定非均匀流,非恒定非均匀流,非恒定均匀流四种情况。在明渠流中,由于存 在自由液面,所以一般不存在非恒定均匀流这一情况
2 2 2 2 x y Cy dy x y Cx dx + = + 化简为 y dy x dx = 积分得 Inx + InC = Iny 1 则 y C x = 1 此外，则 uz=0 得 dz = 0 则 C2 z = 因此，流线为 xOy 平面上的一簇通过原点的直线（图 3-2-6）。这种流动称为平面点源流动（C ＞0 时）或平面点汇流动（C＜0 时＝。 图 3-2-6 （2）流线的性质： ①恒定流的流线形状不随时间变化，非恒定流的流线形状随时间变化； ②恒定流的流线与迹线重合，非恒定流的流线与迹线不重合； ③流线一般不会相交，也不会转折(驻点除外)。 推论：过流场中一点，只能引一条流线。 （3）均匀流与非均匀流(Uniform Flow and Nonuniform Flow) 根据流线形状 不同可将液体流动分为均匀流与非均匀流两种。若诸流线是平行直线，这种流动 就称为均匀流；否则，称为非均匀流。例如，液体在等截面直管中的流动，或液 体在断面形状与尺寸沿程不变的直长渠道中的流动都是均匀流。若液体在收缩管、 扩散管或弯管中的流动，以及液体在断面形状或尺寸沿程变化的渠道中的流动都 形成非均匀流。在均匀流中，位于同一流线上各质点的流速大小和方向均相同， 而在非均匀流中情况与上述相反。 均匀流与恒定流，非均匀流与非恒定流是两种不同的概念。恒定流的当地加 速度等于零，而均匀流的迁移加速度等于零。所以，液体的流动分为恒定均匀流， 恒定非均匀流，非恒定非均匀流，非恒定均匀流四种情况。在明渠流中，由于存 在自由液面，所以一般不存在非恒定均匀流这一情况
根据流线的概念还可引入以下几个重要的概念。 4.流管、元流、总流、过水断面、流量与断面平均流速 (1)流管( Streamtube)在流场中画出任一微小封闭曲线l(不是流线),它 所围的面积为无限小,经该曲线上各点作流线,这些流线所构成的封闭管状面称 为流管(图3-2-7a)。 根据流线的性质,在各个时刻,液体质点只能在流管内部或沿流管表面流动, 而不能穿破流管 图3-2-7 (2)元流( Filament)流管所包含的液流称为元流或微小流束(图3-2-7b)。 因恒定流时流线的形状与位置不随时间改变,故恒定流时流管及元流的形状与位 置也不随时间改变。 (3)总流( Total Flow)具有一定边界和规模的实际流动称为总流。总流可 视为无数个元流之和 (4)过水断面( Cross section)与元流或总流正交的横断面称为过水断面。 过水断面不一定是平行面,流线互不平行的非均匀流过水断面是曲面;流线相互 平行的均匀流过水断面才是平面(图3-28)。 图3-2-8 总流的过水断面面积A等于无数元流的过水断面面积dA之和。 元流的过水断面面积为无限小,断面上各点的运动要素,如流速、压强等
根据流线的概念还可引入以下几个重要的概念。 4．流管、元流、总流、过水断面、流量与断面平均流速 （1）流管(Streamtube) 在流场中画出任一微小封闭曲线 l（不是流线），它 所围的面积为无限小，经该曲线上各点作流线，这些流线所构成的封闭管状面称 为流管（图 3-2-7a）。 根据流线的性质，在各个时刻，液体质点只能在流管内部或沿流管表面流动， 而不能穿破流管。 图 3-2-7 （2）元流(Filament) 流管所包含的液流称为元流或微小流束（图 3-2-7b）。 因恒定流时流线的形状与位置不随时间改变，故恒定流时流管及元流的形状与位 置也不随时间改变。 （3）总流(Total Flow) 具有一定边界和规模的实际流动称为总流。总流可 视为无数个元流之和。 （4）过水断面(Cross Section) 与元流或总流正交的横断面称为过水断面。 过水断面不一定是平行面，流线互不平行的非均匀流过水断面是曲面；流线相互 平行的均匀流过水断面才是平面（图 3-2-8）。 图 3-2-8 总流的过水断面面积 A 等于无数元流的过水断面面积 dA 之和。 元流的过水断面面积为无限小，断面上各点的运动要素，如流速、压强等
在同一时刻可认为是相同的,而总流的过水断面上各点的运动要素一般是不同的 (5)流量( Discharge)单位时间内通过过水断面的液体体积称为流量,以Q 表示。流量的单位是米3秒(m3/s)或升秒(ls)等,量纲为L3Tl 因为元流过水断面上各点的速度在同一时刻可认为是相同的,而过水断面又 与流速矢量正交,所以元流的流量为 而总流的流量等于所有元流的流量之和,即 Q=「AdQ=「AdA 若流速u在过水断面上的分布已知,则可通过积分求得通过该过水断面的流量。 般流量指的是体积流量,但有时也引用重量流量(γρ与质量流量(φρ, 它们分别表示单位时间通过过水断面的液体重量与质量。重量流量的单位为牛/ 秒(N)或牛小时(Nh)等。质量流量的单位为公斤秒(kgs)或公斤小时(kgh) (6)断面平均流速( Mean Velocity)一般断面流速分布不易确定,此时可根 据积分中值定理引进断面平均流速ν确定,积分式(3-2-4) udA=vA=O (3-2-5) 这就是说,假定总流过水断面上流速按ν值均匀分布,由此算得的流量νA应等于 实际流量Q。其几何解释是:以底为A、高为v的柱形体积等于流速分布曲线与 过水断面所围的体积∫Ad4(图3-2-9)。显然 (3-2-6) A 图3-2-9 从上述分析可知,引进断面平均流速后可将实际三元或二元问题简化为一元 问题,这就是一元分析法或总流分析法(参见图3-2-3)。 §3-3连续性方程( ont inuity equat ion)
在同一时刻可认为是相同的，而总流的过水断面上各点的运动要素一般是不同的。 （5）流量(Discharge) 单位时间内通过过水断面的液体体积称为流量，以 Q 表示。流量的单位是米 3 /秒（m3 /s）或升/秒（l/s）等，量纲为[L 3T -1 ]。 因为元流过水断面上各点的速度在同一时刻可认为是相同的，而过水断面又 与流速矢量正交，所以元流的流量为 dQ = udA (3-2-3) 而总流的流量等于所有元流的流量之和，即 Q = A dQ = A udA (3-2-4) 若流速 u 在过水断面上的分布已知，则可通过积分求得通过该过水断面的流量。 一般流量指的是体积流量，但有时也引用重量流量(γQ)与质量流量(ρQ)， 它们分别表示单位时间通过过水断面的液体重量与质量。重量流量的单位为牛/ 秒（N/s）或牛/小时（N/h）等。质量流量的单位为公斤/秒（kg/s）或公斤/小时（kg/h） 等。 （6）断面平均流速(Mean Velocity) 一般断面流速分布不易确定，此时可根 据积分中值定理引进断面平均流速 v 确定，积分式（3-2-4） A udA= vA= Q (3-2-5) 这就是说，假定总流过水断面上流速按 v 值均匀分布，由此算得的流量 vA 应等于 实际流量 Q。其几何解释是：以底为 A、高为 v 的柱形体积等于流速分布曲线与 过水断面所围的体积 A udA （图 3-2-9）。显然 A Q A udA v A = = (3-2-6) 图 3-2-9 从上述分析可知，引进断面平均流速后可将实际三元或二元问题简化为一元 问题，这就是一元分析法或总流分析法（参见图 3-2-3）。 §3-3 连续性方程(Continuity Equation)
液体一元流动的连续方程是水力学的一个基本方程,它是质量守恒原理在水 力学中的应用。 从总流中任取一段(图3-3-1),其进口过水断面1-1面积为A1,出口过水断 面22面积为A2;再从中任取一元流,其进口过水断面为dA,流速为,出口 过水断面积为dA2,流速为。考虑到 A2 图3-3-1 (1)在恒定流条件下,元流的形状与位置不随时间改变; (2)不可能有液体经元流侧面流进或流出 (3)液体是连续介质,元流内部不存在空隙。 根据质量守恒原理,单位时间内流进dA1的质量等于流出dA2的质量,因元 流过水断面很小,可认为pu均布,即 PL44=p2u2d2=常数 (3-3-1) 对于不可压缩的液体,密度1=p2=常数,则有 u,dA=u,dA,=dQ 这就是元流的连续性方程。它表明:不可压缩元流的流速与其过水断面积成反比, 因而流线密集的地方流速大,而流线稀疏的地方流速小。 总流是无数个元流之和,将元流的连续性方程在总流过水断面上积分可得总 流的连续性方程: d@=AudA= 引入入断面平均流速后成为 v1A1=v242=Q (3-3-3) 这就是不可压缩恒定总流的连续性方程,它在形式上与元流的连续性方程相似, 应注意的是:总流是以断面平均流速ν代替点流速u。上式表明,不可压缩液体 的恒定总流中,任意两过水断面,其平均流速与过水断面面积成反比。 连续性方程是不涉及任何作用力的方程,所以,它无论对于理想液体或实际 液体都适用。 连续性方程不仅适用于恒定流条件下,而且在边界固定的管流中,即使是非
液体一元流动的连续方程是水力学的一个基本方程，它是质量守恒原理在水 力学中的应用。 从总流中任取一段（图 3-3-1），其进口过水断面 1-1 面积为 A1，出口过水断 面 2-2 面积为 A2；再从中任取一元流，其进口过水断面为 dA1，流速为 u1，出口 过水断面积为 dA2，流速为 u2。考虑到： 图 3-3-1 （1）在恒定流条件下，元流的形状与位置不随时间改变； （2）不可能有液体经元流侧面流进或流出； （3）液体是连续介质，元流内部不存在空隙。 根据质量守恒原理，单位时间内流进 dA1 的质量等于流出 dA2 的质量，因元 流过水断面很小，可认为ρu 均布， 即 1u1dA1 = 2u2dA2 ＝常数 (3-3-1) 对于不可压缩的液体，密度ρ1=ρ2=常数，则有 u1dA1 = u2dA2 = dQ (3-3-2) 这就是元流的连续性方程。它表明：不可压缩元流的流速与其过水断面积成反比， 因而流线密集的地方流速大，而流线稀疏的地方流速小。 总流是无数个元流之和，将元流的连续性方程在总流过水断面上积分可得总 流的连续性方程： dQ = A1 u1dA1 = A2 u2dA2 引入入断面平均流速后成为 v1A1 = v2A2 = Q (3-3-3) 这就是不可压缩恒定总流的连续性方程，它在形式上与元流的连续性方程相似， 应注意的是：总流是以断面平均流速 v 代替点流速 u。上式表明，不可压缩液体 的恒定总流中，任意两过水断面，其平均流速与过水断面面积成反比。 连续性方程是不涉及任何作用力的方程，所以，它无论对于理想液体或实际 液体都适用。 连续性方程不仅适用于恒定流条件下，而且在边界固定的管流中，即使是非