费曼物理学讲义(第二卷) 勿 §82矢量场的通量 於 在讨论下一个积分定理——关于散度方面的定理—之前,我们想学习一下物理意义 较明显的关于热流的某种概念。我们曾定义过矢量,它代表单位时间内流经单位面积的 利热量,假没在一块材料内部,有一个包围着体积的某合面8(图88).我们希望找出从 之 这一个体积里流出去的热量有多少.当然,我们叮 以由计算通过表面S而流出去的总热量来求得它的 闭含面S 值 我们用d来代表一个面积元的面积.这符号 体积F 代表一个二维微分.比方若该面积碰巧是在w面 上,则应有 dy 以后还将有对体积进行的积分,为此,考虑一个小立 图3-3闭合面8规定了体积.单位方体的微分体积将很方便.这样,当我们写出a 矢量r是面积元a的向外法线,而h則时,指的就是 是该面积元处的热流矢量 dy=da dy de 有些人不喜欢写成da,而喜欢写成da以提醒人们注意那是一个二维量.他们也不想 用a而却要用cV.我们则将采用那种较简单的记法,并假定你确能记住一个面积总具 有二维,而体积总是具有三维 流经面积元da的热量等于该面积乘以垂直于da的h分量.我们已把n定义为从该 面积以直角指向外的单位矢量(图8-3).希望得到的分量为 ha=hn 这样流经da的热量就是 h…nda 要求得流经任一面积的总热量,应对来自所有各面积元的贡献都加起来。换句话说,将遍及 整个表面对(310)式取积分 向外流经S的总热量-bnal 我们将把这个面积分称为“k通过该表面的通量”,通量这个词的原有意义是流量,因 而面积分就只惫味着h通过该表面的流量,可以这么设想:h是关于热量流动的“热流密 度”,而它的面积分则是指向表面之外的总热流,也就是每单位时间流出的热能(每秒焦耳 数) 我们希望把这一概念推广到矢量并非代表饪何流动东西的那种情况.例如,它或许是 电场.如果我们乐意的话,肯定也能对电场的法向分量沿一个面积积分.尽管这并不是任 何东西的流动,但我们仍称之为“通量”.我们说, E通过S面的通量-E.nla 这就把“通量”这一词推广到指一矢量的法向分量的面积分”了.即使所考虑的表面不是闭 合的情况,我们也将运用这同一定义,就象这里讨论闭合面时那样
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第3章矢量积分运算 請勿用於盈利之 再来谈论热流,让我们来看那种热量守恒的特殊情况.比方设想有某件材料加热以后 就再没有热量产生或吸收了.此后如有净热量从一个闭合面流出去该体积内的热容量就 定会减少.由于热量应该守恒,因此我们便说: z·nde 式中Q是表面S内的热量.从8面流出来的热通量等于S面内总热量Q相对于时间的负 变率,这一种解释是可行的,因为我们正在谈论热流,而且也因为我们已假定了热量守恒. 的当然假如热量继续产生则无从谈论在该 现在我们要来指出一个关于任一矢量 的通量的有意义的事实.你如果愿意,可 以想象这矢量即是热流矢量,但我们所要 讲的是对任一矢量场C都将适用的.设 想有一包围体积的闭合面S,再通过某 种如图84所示的那种剖面”将体积分成 两部分,这样,我们就有两个闭合面和体 积了.体积V1被S1面包围,由原来表面 的一部分S和剖面Sa构成的.体积F图34包围在昌面内的体积口被一“剖面”如分成两半 被S面包围,由原来表面的其余部分S现在我们就有了包围在81-+8面内的体积1和包圈 再加上剖面S构成的.现在考虑下述问 在82=Bb+S面内的体积v2 题假设要计算通过&1面的向外通量,再加上通过S2面的向外通量.这个总和是否会等于 通过我们开始时那个完整表面的通量呢?答案是肯定的.通过&1和S2所共有的S面那 部分面积的通量恰好互相抵消.关于量C从V:流出的通量,我们可以写成 通过&1的通量=C·nda+C (3.14) 而从V?流出的通量,则是 通过82的通量-Cna+Cn2la 1 注意!在第二个积分中,m1是代表当S属于S1时它的向外法线,而t2则代表当S属于 s2时它的向外法线,分别如图34所示,显然,m1=-m,因而 C·n1da C·n2da 现在若(3.14和(31)两式相加则通过S1和2两通量之和恰好等于那两个积分之和,而 这两个积分合在一起,就是通过那个原来的S一S+S面的通量 我们看到,通过整个外表面8的通量,总可以认为是该体积分成两部分后通过它们的两 通量之和.还可以照样再分割下去—比如把V再分成两部分,你会看到同一些论据仍 然适用.因此,不管将原来体积按何种方式分割,普遍正确的结果应该是:代表那原来积分 的通过外表面的通量,等于出自所有内部各小部分的各通量之和
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费曼物理学讲义(第二卷) 請勿用於盈利之目的 §83来自小立方体的通量;高斯定理 现在考虑一个小立方体*的特殊情况,并将找出来源于它的通量的一个重要公式.设想 各边都与坐标轴平行如图36所示的一个立方体,假设最接近于原点的那一角落的坐标为 令4为该立方体在x方向上的长度 为g上的长度,而c即为在z上的长度,我们是 e望求出矢量场C通过该立方体表面的通量.这将 分别算出每个面的通量再求出六个面之和而获得. 首先,考虑在图上标明为1的那个面.在这一个面 大(mx,上,向外通量等于C的a分量的负值遍及该面的积 分,这一通量是 图3-5来自一小立方体的通量的计算 既然我们考虑的是一个小立方体,便可用该面中心——我们称之为点(1)——的C,值乘以 该面面积如来对这一积分作一近似 出自面1的通量-O(1)44 同理,出自面2的通量,也可以表达为: 出自面2的通量=Ox(2)44 以上两式中的O(1)和C(2),一般说来是有点差别的.但如果4足够小,则可以写成 a、2)=C,(1)+eA 当然,还有更多的项,不过它们将涉及(4)2和更高次项,因而如果只考虑微小4x的极限, 那便都可以忽略.因此,通过面2的通量就是 出自面2的通量-(1)+ 4y: 把通过面1和面2的通量相加,得: 出自1和2两个面的通、0l4业 上式中的微商,确切的应是在面1的中心处,也即在点[x,y+(4y/2),+(4/2)]处计算 但对于一个无限小的立方体来说,即使是在角点(x,3,2)上算出它,所造成的误差也是可以 忽略的 依此类推,对其他每一对面,我们也会得到 出自面8与面4的通量=如鸟1 出自面5与面6的通量 A如4a 而通过所有表面的总通量则是这些项之和.我们得出 cnda )44 下面的推导也同样适用于任一个直角平行六体
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第3章矢量积分运箅 請勿用於盈利 这些微商之和恰好就是VC.并且,如44=W,即该立方体的体积.所以对于一个无限 小立方体,我们可以讲 C·na=(v·C). (3.17 这就证明了,一小立方体表面向外的通量等于该夫量的散度乘以立方体的体积.现在我们 之经看到了一个矢量的散度的意义在P点处一个矢量的散度就是从在P点附近每单 位体积的通量—C的向外“流量” 我们已把C的散度与C从每一无限小体积向外流出的通量联系起来了.对于任一有 限体积来说,我们可引用上面已经证明过的事实—一从某一体积出来的总通量等于从其中 每一部分出来的各通量之和.这就是说,我们可遍及整个体积对散度进行积分.它向我们 是供了这样一个定理:对于任一矢量的法向分量的遍及任一闭合面的积分,也可以写成该 量的散度遍及由该面积所包围的体积的积分,这个定理以高斯( Gauss命名 高斯定理 v Cdy 式中6是任一闭合面而V是这个面内的体积 3-4热传导;扩散方程 仅仅为了熟悉高斯定理,让我们利用上述定理来考虑一个实例.仍然例举金属中的热 流,假定其中所有热量都已预先输入,而此刻正在冷却的那种简单情况.这里没有任何热 源,所以热量是守恒的.那么,在任一时刻存在于某一特定体积里的热到底有多少呢?它所 减少的量必须恰好等于从该体积流出来的量.如果我们的体积是一个小立方体,则根据式 (3.17)就应该写成 流出的热量-hnda-v.ha (3.19) 立为体 这必然要等于立方体内部热量的损失率.设q为每单位体积内的热量,则在该立方体内的 热量为g4,其损失率则为: (q4) (3.20) 比较(3.19)和(3.20)两式,我们见到 =V dt 仔细注意一下这一方程的形式,它是物理学中经常出现的形式即表达了一个守恒定律 这里则是热量守恒.我们曾经在式(8.18)中以另一种方式表达过这同一物理事实,这 里是守恒方程的微分形式,面式(313则是一种积分形式 已经通过把式(3,13)应用于一无限小立方体而获得了式(3,21).我们也可反过来做 对于一个由S面包围着的大体积v,高斯定理表达为: h·na=v.V 应用式(321),得出右边的积分恰是一cQ/cd,因而我们又一次得到了式(3,13). 现在让我们考虑一个不同的情况.想象在一大块材料中有一个很小的洞,里面正在进
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费绝物理学讲义(第二卷) 勿 行某种会释出热量射化学反应.我们也可以这样设想,用导线连接一个小小的电阻器,然后 於通电使之发热,我们渐假说热量实际上是在一点上产生的,并令W代表在该点处每粉释 留续了足够长的时间一使得现在任何一处的温度都不再发生变化了.问题是:金属里各处 利 的热流矢量h是什么样子?在每一点上有多少热量流 之 过? 我们知道,如果对的法向分量遍及包围着该热 源的闭合面进行积分,则始终会得到W,所有在该点 盐源 源上陆续产生之热都必须通过该表面流出,因为我们 已假定其流动是稳定的.这里有一个困难问题,即要 找出一个矢量场,这矢量场在遍及任一表面取积分之 图36在接近一个点热源的区域中,后总要得到同一个结果W.然而,我们可以取一个稍 热流沿径向朝外 微有点特殊的表面而使场相当易于找出.比如取一个 半径为R而其中心在源处的球面,并假定热流是沿径向的(图36).直党告诉我们,如果该 块材料足够大而我们又不至于太接近边缘则应该是径向的,而且,球面上所有一切点的 值大小均应相同.你看,我们正在加入某种分量的猜测工作——常被称为物理直觉 于数学方面,以便获得答案 当沿着径向而又具有球对称性时,对h的法向分量遍及该而积的积分将会十分简单, 因为法向分量恰好就是h的大小而且又是不变的.我们积分时所看盖的面积为4xB2:这 样就有 h·da=b4xB3 (式中是h的大小),这一积分应该等于W,即在源处热量的产生率.因而获得 或 4gR (3.24) 式中e照例代表在径向上的单位矢量.我们的结果说明,与W成正比而与从源至该点 的距离的平方成反比 刚才所得到的结果,仅适用于点热源附近的热流.现在让我们试试寻找那种仅在热量 守恒的条件下,对最普遍的热流也都能适用的方程式.这样,我们将只与在任何热源或热吸 收体之外的那些地方所发生的情况打交道 关于热传导的微分方程,曾在第二章中推导过了根据式(2.4), (3.25) (应记住这一关系式是近似的,不过对于金属之类材料近似得相当之好.)当然它只是对于 在材料里那些没有热量产生或吸收的区域内才适用,我们也已在上面导出了另一个关系, 即式(321),那是在热量守恒情况下适用的.如果把该方程与(325)相结合,则可得 v·k=-V·(aV) 若x是一常数则
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