第2章矢量场的微分运算 請勿用於盈利之目的 (a)v·(VT) (o)V(V·b) (2.45) (d)v…(V×h); ×λ) 你可以核实一下,这些是所有的各种可能结合 让我们首先看一看那第二个式(b).它与下式有相同形状: AX(AT)=(AxA)T=0 因为AxA总是等于零.因此我们就应该有 (grad)=v×(Vm)=0 如果用分量来计算一遍,便可以看出这个式是怎样产生的 x(),.,-w,-m2()2(m)(:1 这会等于零(根据式28).对于其他分量也是如此.因此在任何一种温度分布中(实际上 对于任何一个标量函数),始终是V×(W)←0 现在让我们来取另一个例.试看能否找到另一个零.一个矢量与一个其中含有该矢量 的矢积点乘的结果为零,即 A(AxB)←0, (2.48) 因为A×B垂直于A,所以在A方向上就没有AXB的分量.与此相同的一种结合出现 在式(2.45)(d)上,因而我们有: V(vxh)=div(oarlh-0 再次用分量进行运算来证明上式为零并不困难 现在我们将不加证明地陈述两个数学定理,它们是物理学家亟待了解的十分有趣而又 有用的定理 在一个物理问题中,我们经常会发现某一个量一比如矢量场A—的旋度为零.如 我们由式(2.46)就看到,一个陡度的旋度为零,这是很容易记住的,因为矢量的特性就是这 样,于是,肯定有可能A本来就是某一个量的陡度,这样它的旋度才必然等于零.这个有 趣的定理说明,如果 orla等于零,则A总是某种东西的陡度—始终会存在某一标量场 ψ使得A等于gradψ.换句话说,我们有这样一个 定理 如果V×A=0, 就有一个ψ 使得A= 当A的散度为零时,还有一个相似定理.从式(2.49)我们看到,某种东西的旋度之散 度总是零.如果你遇到dvD为零的一个矢量场D,那你就可以下结论说,D是某一矢量 场C的旋度 定理 如果F·D=0, 就有一个C
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22 费曼物理半讲义(第二卷) 請勿用 使得D=VxC (251) 在检查由两个V算符的可能结合中,我们已经找出了其中有两种结合总是等于零的 於现在要来看看那些不等于零的结合.考虑表上所列的第一个结合,四·(四),.我们把它写 成分量式 VT=(V, Vrr,v,) 利之目的 于是 v·(V)=V(V+V(V)+V(V ay" a2' (2 上式一般应给出某一数值,它是一个标量场 你会看到式中无需保留那个括号,因而可以在不会引起混乱的情况下写成 ⅴ·(们)=·VP=(V)=V" 这里我们把V2看成一个新的算符.这是一个标量算符.由于经常出现在物理学中,因而它 被赋予一个专用名称,即拉普拉斯算符 拉普拉斯算符=V=,02、b+a2 dxa a (254) 由于拉普拉斯算符是一个标量算符,就可以用它来对一矢量进行运算—一这意味着对 在直角坐标系的每一个分量进行同一种运算 VIi-(vh e, Vah,y, vhe 让我们再来看另一个可能性:Vx(V×h),那是表上的第(e)个,原来如果我们应用矢 量等式(2.6): A×(B×C)=B(AC)-C(AB), (2.55) 便可以把一个旋度的旋度写成另一种不同形式.为了使用这一公式,我们应当把其中的A 和B都代以算符V,并令C=.若我们这样做,就可以得到 v×(×h)=V(v·)一h(v·v)… 但请等一等!有点不对头了,前两项不错,那都是矢量(算符都给满足了),可是末项就不知 会产生出什么名堂来.它仍然是个算符麻烦乃在于,我们曾经不够小心以保持各项的次 序正确,然而若你再看一看式(255),就会见到我们本来也尽可以写成 A×(BxC)=B(AC)-(A·B)C. 这几项的次序看来要好些.现在就把上述各种符孕代入式(2.66)中,便得: V×(V×)=v(vh)-(v·V)h (2.67! 这个形式看来不错.事实上,它是正确的,正如你能够通过分量运算以对它核实的那样.末 项就是拉普拉斯算符,因而我们也同样可以写成: V×h)=v(·)-V2 (258) 除了第(c)个V(v·h)以外,我们对列于表上的双ⅴ的结合都已多少谈过了.它可能是 个矢量场,但对它却没有什么特殊情况可说的,那不过是偶尔会出现的一种矢量场罢了 把我们的结论都列成一表将很方便 a)·(V)V=标量场 (b)V×(V)=0 (o)V(v·)~矢量场 (d)V·(V×b)=0
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第2章矢量场的微分运算 (e)x(Vxb)=V(·h)-Vh 請勿用於盈利之目的 (f)〈V)-V=矢量场 你可能会注意到,我们从未试图发明一个新的矢量算符(V×V).这点你能看得出个所以然 来吗? §28陷肼 我们刚才正在把关于一般矢量代数的知识应用到算符V的代数上来.可是还必须当 心,因为有可能会误入歧途的.存在两个即将提到的陪阱,虽然它们并不会出现于本课程 中.对于含有两个标量函数ψ和中的下列表式 (φ4)×() 你该说些什么呢?你也许会说:它必然等于零,因为它恰好象 (Aa)×(Ab) 那样等于零的,因为两个相同矢量的叉积始终是零.但是在我们的例子中那两个算符V却 并不相同前一个算符运算于函数ψ上;而另一个则运算于一个不同的函数φ上.所以尽 管我们所用的是同一个符号V,但它们仍应被认为是不同的算符.很明显,四的方向取决 于函数ψ因而它不大可能平行于四φ,因此 )×(V中)≠0(一般地) 幸而,我们今后无需用到这些表式.(刚才所说的不会改变这么一个事实,即对于任一标量 场ψVXv=0,因为这里两个V都是对同一函数运算的) 第二号陷阱(这也是我们在这一门课程中不必要掉进去的)是这样:当上述法则用于直 角坐标系时既简单而又美妙,比方若我们有了V,而希望获得它的x分量,那便是 9,a3 )-(a ) 但如果我们所要求的是Vh的負向分量这同一表式则不行了、V的径向分量并不等于 Vλ.原因是,如果我们同矢量代数打交道,矢量的方向就都是十分明确的.但当我们与矢 量场打交道时,它们的方向则处处不同,如果我们试图用比如说极坐标来描述一个矢量场, 则所称为径向”的那个方向便会逐点不同,因此当我们开始对它的分量进行微分时,就会 陷入一大堆麻烦之中.例如,甚至对一恒定不变的矢量场,它的径向分量仍然会逐点变化 的 仅仅坚持用直角坐标系从而避免困难,往往是最保险而又最简单的做法,但有一个例外 值得一提:由于拉普拉斯算符V2是一个标量,便可以把它写成在随心所欲的任一个坐标系 上(比如说在一个极坐标系上).但由于它是一个微分算符,就应该把它只用到其分量各保 持在固定方向上—即在直角坐标上—的那些矢量.因此,当我们要用分量来写出矢量 微分方程时,就必须把所有的矢量场都用它们的a、男、z分量来表达。 两个算符虽然都是但对不同函数运算的结果则可以不向。这样的说法似乎较妥当些 译者注
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請勿用於盈利之目的 矢量积分运算 §3-1矢量积分;V的线积分 在第二章中,我们曾找出对场取微离的各种方法.结果有的得出矢量场;有的得出标量 场,虽然我们曾导出许多不同公式,但从第二章所得的一切中可以归纳减一个法则:算符 0/ax、a/0y和a/a就是一个矢量算符V的三个分量.现在我们希望对场的微离的意义获 得某种理解。然后我们才会对矢量场方程的意思有更深的体会, 我们已讨论过陡度运算(V作用于一标量上)的意义,现在将转到散度和旋度运算的意 义上来.对于这些量的解释最好是用基些矢量积分及与这些积分有关的方程来进行,可惜 这些方程并不能通过某种简单的代入法从矢量代数中获得,因而只得将其当作新的事物来 学习.在这些积分公式中,有一个实际上是无关紧要的,但其他两个则不悬这样,我们将把 它们导出并解释其涵义.下面将要研究的方程其实都不过是数学定理.它们不但对于解释 散度与旋度的意义及其内容将会有用,而且对作一般的物理理论工作也同样有用.这些数 学定理对于场论的作用,正如能量守恒定理对于质点力学一样.象这一类的普遍定理对更 深刻地理解物理学是很重要的,然而,你将会明白,它们对于解答问题—一除去那些最简单 情况—一用处并不大,但令人高兴的是在我们这一课程的开头,就有许多简单问题可用我 们即将打算处理的三个积分公式来解决.可是,我们也将见到,当问题变得越发复杂时,便 不能再用这些简单方法了 首先着手处理涉及陡度的一个积分公式.这个关系式含有一个十分简单的概念.既然 陡度代表一个场量的变化率则如果我们对这一变化率进行积分,应该获得其总变化.假设 有一标量场驭m,2在任意两点(1)和(2)上,函数ψ将分别取值ψ(①1)和ψ(2).[我们采 用一种方便的记法,用(2)代表(z,y,z2),即ψ2)的意义就和ψ(x,,a)的意义相同] 如果是连接(1)和(2)两点间的任一曲线,如图3-1所示的那样,则下述关系就是正确的 wN、/v)t 曲P 义曲线P 51 图3-1式(3,1中的各项.矢量妙是在 As2 元ds处计算出来的 图3-2线积分是和的极限 定理1: ψ(2)-ψ(1)=(V)ds. 这积分是一线积分它是对矢量和另一个代表沿曲线一个无限小线元的矢量从
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第B童矢量积分运算 請勿用於盈利之目的 点(1)指向点(2]两者的点积,即沿着由点(1)至点(2)的曲线r而进行积分的 首先,我们应该复习一下所谓线积分的含义是什么,试考虑一个标量函数f(z,y,2)和 条连结(1)和(2)两点间的曲线F.在曲线上划分出许多点再用直线段连接这些点,如图 3-2所示.每段具有长度,其中是依次取1,2,3,…等值的下角标.所谓线积分 是指这么一个和: ∑f4, 其中∫是在第感段上的函数值.极限值就是当所分节段无限增加时(说得明显些,就是使 得其中连最大的都是A(>0)这个和所趋近的数值 在上述定理中的积分,即式(3.1),也是指这一种东西,虽然看起来稍为有点不同.这里 并非f,面是另一个标量,即v中在48方向上的分量.如果我们把这一分量写成(vy),则 很清楚, (vψ)4=(v)·48. 式(3.1)中的积分就意味着对这一类的项求和 现在让我们看看为什么式(3,1是正确的在第一章中,我们曾经证明,沿一小位移R 的v分量乃是在妞R方向上ψ的变率.考虑图82上由点(1)至点(a)间的线段481,按照 我们的定义, 1=a)-ψ1)~(Vψ)x481 同样,我们也有 ψ(b)-ψ(a)=(Vy)2482 当然,上式中的(1是指在线段481上计算出来的陡度,而(v)则是在482上计算出来 的陡度.如果我们把(33)和(34)两式相加便得: (b)-ψ(1)(V)x"481+(V248 (3.5) 你可以看到,若继续加进这样的项就能获得这一结果 ψ(2)-ψ(1)=2(Wψ);48 (36) 左边并不与我们所选取的间隔有关一如(1)和(2两点始终保持固定不变的话所以 我们可以取右边的极限。这样,我们就已经证明了式(8.1) 你可从上述的证明中看到,正如该等式并不依赖于那些点4、bC、…的选取方式那样 它也不依赖于我们所选取的用以连接(1)和②2)间的曲线究竟如何。对于任一由点(1)至 点(2)间的曲线,我们的定理都是正确的 关于记法方面的一点注释:你将会看到如果为了方便起见,可写成 v)·d8=vψ·d6 将不致引起任何混乱.利用这一记法,上述定理就是 定理1 ψ(2)-(1) (3.8
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