第3章矢量积分运算 請勿用於盈利之目的 呶。x,T-y (3,26) 於你会记起,q是每单位体积内的热量,而Vv=V,则是拉普拉斯算符 如果我们再作一个假设,便可得到一个十分有趣的方程式.试假定材料中的温度与每 单位体积的热容量成正比—即是材料有某一确定的比热.当这一假设有效时(往往如此) 我们就可以写成 或 dg dT (327 热量的变率正比于温度的变率,这里的比例常数c就是每单位体积材料的比热,应用 (327)和(3.26)两式,便可以得到 dT_xv"T' 3.28) 我们已找出了,每一点上T的时变率与的拉普拉斯算符—的空间依存性的二阶微商 成正比,这样,我们就有一个在x、z和t处的关于温度的微分方程 微分方程(3.28)称为热扩散方程它经常被写成: dt =DV2, 式中D叫扩散常数在这里等于x/ 这个扩散方程在许多物理问题中都会出现——气体扩散、中子扩散以及其他各种扩 散,我们曾在第一卷第四十三章中讨论过这类现象的物理学.现在你就有一个在最可能普 遍情况下描述扩散的完整方程.往后某一时候我们还将讲到一些求解该微分方程的方法, 以便找出在特定条件下温度是怎样变化的.现在我们又将回来考虑有关矢量场的其他一些 定理 §8-6矢量场的环流 现在,我们想用有点类似于对付散度的办法来看待旋度.通过考虑遍及一个表面的积 分,我们已经得到高斯定理,尽管当初与散度的联系还不太明显,我们当时怎么会知道要假 定进行一个遍及面积积分以便获得散度呢?根本不清楚会引导出这么一个结果.而现在 也同样缺乏明显的保证,我们将计算矢量的另一件东西从而证明它是与旋度有关的.这回 我们所计算的将是所谓矢量场的旋度.如果C是任一个矢量场,我们取其沿一曲线的分量 并对这一分量绕行一整条回线进行积分.这一积分称为该矢量场绕行该回线的环流.在本 章的开头,我们曾经讨论过关于四的线积分.现在我们将对任一种矢量场C求线积分 设曲线F为空间中任意一条闭合回线—当然是在想象中的.有一个例子如图3 所示.C的切向分量绕行该回线的线积分被写成 你应该注意,这积分是绕行一周时取的,并不象以前那样从一点至另一点,在积分符号上的
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费曼物理学讲义(第二卷) 勿 用那个小圈圈便是为了提醒人们,该积分是指环绕-周的线积分,这一积分叫做该矢量场绕 行曲线P的环流,这个名称原本是从考虑液体的环 於 流而得的.但这一名字—正如同通量一样—已 被推广至即使没有任何物质在“环流”的那些情况 利 可见对于任何一种场都适用 之 如同对待通量那种方法一样,我们现在可以证 明,绕行一条回线的环流等于绕行两部分回线的环 c 流之和、假设我们通过在原来曲线上的(1)和(2)两 点间用某一示如图38的割线来连结,这样就可以 图37绕行曲线P的C的环流,即是C将图37上的曲线分成两个回线.现在存在两条呵 (即C的切向分量)的线积分 线门2和厂2.F1是由处在(1和(2)左边那部分原 有曲线7再加上“捷径”a而构成的.2则是由原有曲线的其余部分加上该捷径而构成 的, 绕行的环流等于沿和沿T两积分之 和、同理,绕行2的环流也是两部分之和,其一沿 7而另一沿a.对于曲线C2来说,沿ra的积 分具有与对曲线F1取同一积分时相反的符号,因 为它们的取向相反——必须按同一旋转“指向”来取 该两项线积分 图3-绕行整个回线的环流等亍绕两 按照我们沿用过的同一种论据,你可以看出,该 (1=F+r和F2=Pb+的)的环充之和 两个环流之和将恰好给出绕行原有曲线厂的线积分.那来自ab的部分互相抵消了.绕 行其中一部分的环流再加上绕行第二部分的环流等于绕行整条外线的环流.我们可以重复 这一过程,把原有回线割裂成任一数目的小回线 线r 当将这些小回线的环流都相加起来时,在它们的相 邻部分总会互相抵消,从而使其总和相当于绕行那 原有单一回线的环流 现在让我们假设那原有回线就是某一个表面的 边缘.当然,会有无限多个面全都以该原有回线为 图3-9选取菜一被回线F所包围着的表 面.这个面被分割成若个小面积,每个边缘的.然而我们的结果将与所选取的表面无关 近似于一正方形,绕行的环流就等于绕首先,将原有回线分割成若干条全都落在所选取的 行各小回线的环流之和 面上的小回线如图39所示,不管该面形状如何 如果我们选取的小回线足够小则可以假定每一小回线将包围一个基本上是平坦的面积并 且,我们也能选取那些小回线使得每条都几乎构成正方形.现在就可以通过求绕行所有小 回线的环流,再取其和,从而算出绕行该回线的环流了 §36绕行一个正方形的环流;斯托克斯定理 我们将怎样得出沿每一小正方形的环流呢?首先就要问,这一正方形在空间中的取向 如何?要是它有一个特殊取向,那计算起来就会方便得多.例如,假使它是在一个坐标面 上.既然对坐标轴的取向我们还从未假设过什么,那么就可以选取这样的坐标轴使我们正
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第3章矢量积分运算 33 在全力注意的那个小正方形正好落在面上,如图3-10所示.如果我们的结果要用矢量 請勿用於盈利之目的 记法来表达,那就可以说,不管该面的特殊取向如 何,结果都是一样的 现在我们希望来找出绕行该小正方形的C场的 环流.如果令该正方形足够小使得矢量C在沿它 的任一边上都不会改变得很多,这样进行线积分就 将十分方便.(正方形越小,这个假定越好,而实际 所谈的正是无限小的正方形.)从位于图的左下角 那一点(a,y)出发,按照箭头所指的方向环行一周 沿标明为(1)的那第一条边,切向分量为O2(1)而距 离为4o.该积分的第一部分就是Cx(1)4x.沿那 第二条边,我们获得C(2).沿第三条边,得 C(3)4,而沿第四条边,得-C(4).这些负 图3-10计算绕行一个小正方形的C的环流 号是需要的,因为这里要求的是沿环行方向的切向分量。因此,整个线积分就是: C·ds=C(1)4r+O(2)4y-C,(3)4-C(4)4 (3.31 现在让我们注意那第一和第三部分.它们合起来就是 C(1)-C(3)]4x, (3.32) 你也许会想到,对我们的近似程度来说这个差值该等于零.这对于第一级近似是对的.然 而,仍可以更为精确一些,即算进Cx的变率.如果我们这样做,便可以写成 (3)=C(1)+C04 假如把次一级的近似也包指进去,则会牵涉到(4y)那一些项,但既然我们最终将取当 4y+0时的极限,那么象这样的项便可以忽略.将(33)和(332)两式结合起来,会得出 [C(1)-(3)]4= Ay. 在我们的近似程度内,上式中的微商可以在(x,y)点上算出来 同理,环流中的其他两项,也可以写成 C(2)4-0(4)4 Ax匈 (335) 于是,绕行上述那个小正方形的环流就是 c2-)如 这很有趣因为括号内两项恰好就是旋度的2分量.并且我们还注意到,4x4y就是该正方 形的面积.因此,可以将环流(836)写成 (VXC)24a 这个z分量实际上就是该表面元的法向分量.因此,还可以将绕行一个徵分正方形的环流 写成一种不变的矢量形式 C·d=(V×Ca4a=(V×C)·"如a (3.37 我们的结果是:任一矢量C绕行一个无限小正方形的环流,等于C的旋度垂直于表画
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费曼物理学讲义(第二卷) 的分量乘以该正方形面积 請勿用於盈利之目的 现在,绕行任一条回线的环流便可以轻而易举地同矢量场的旋度联系起来了.采用 回线 任一个方便的8面将国线盖满,如图3-11所示, 表面者并把这个面上的一组无限小正方形的环流都相加 起来.这个总和可以写成一个积分,结果将是以 斯托克斯( Stokes)命名(为纪念斯托克斯先生的 个十分有用的定理 斯托克斯定理: W×C)nda,(3.38 图3-11绕行的C的环流等于×C 式中S是以为边的任一个面 去向分量的面积分 现在必须谈谈关于符号的一个惯例.在图 310中,如果采用一种常用”的—也即“右手”的—坐标系统,z轴便应指向你们.当 按照旋转的“正”指向取线积分时,我们会找出环流即等于VxC的z分量.要是我们走的 是相反方向,即该获得一个相反符号,那么,一般说来,我们怎么会知道应选取哪个方向作 为XC的法向分量的正向呢?正法线总必须与旋转的指向联系起来,如图8-10所示的 对于普遍情况则如图3-11所示, 右手法则”是记住这个关系的一种办法,如果你用右手手指将曲线围绕起来,指尖 指向d的正方向,那么你的大拇指就会指向S面的正法线方向 §37无旋度场与无散度场 现在我们要来讨论上述新定理的某些结果.首先,考虑旋度处处为零的一种矢量场 这里由斯托克斯定理说明绕行任一回线的环流将等于零 现在若在一闭合曲线上选取(1)和(2)两点(图812),则从 (1)至(2)的切向分量的线积分将与这两条可能路线中选取 哪一条无关.我们可以断定,从(1)至(2的积分只取决于 这两点的位置—也就是说,它只是位置的函数.这同一 种逻辑也曾在第一卷第十四章中使用过,在那里我们证明 c 了如果某量绕行一闭合同路的积分总是零,则这种积分可图312如果v×C为,则绕 以表达为两端点位置的某一函数之差.这一事实使我们建闭合曲线P的环流等于零。从(1) 立了势的概念.而且,我们也证明了该矢量场就是这一势,Ca的线积分沿a线取与沿b 线取的结果相同 函数的陡度[见第一卷中式(14.13)] 山此可见,任一旋度为零然矢量场等于某一标量函数的陡度,这就是说,如果处处 ⅴ×C-0,便会有某一个ψ,使得C=V—这是一个有用的概念,如果我们愿意,这一特 殊类型的矢量场,可以用一个标量场来描述 让我们再来证明另一件事.假设有任一个标量场中.如果取它的陡度即四,那么这 个矢量绕行任一闭合回线的积分就必然为零.从点(1)至点(2)这矢量的线积分则等于 [(2)-φ(1)].如果(1)和()是同一点,那么定理1、即式(3.8),就会告诉我们该线积分 等于零
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第3章矢量积分运算 請勿用於盈利之 Vd·ds=0 应用斯托克斯定理我们可以断定遍及任一个面, V×{vd)d=0 但如果遍及任…个面的积分都等于零,则其被积函数一定是零了.所以 v×(Vφ)=0, 总是如此.我们在82-7中也曾应用矢量代数证明过这同一结果 现在让我们有意用一个大面S来铺盖一个小回线r,如图313所示的那种特殊情况 的我们希望看看,当该回线缩小至一点使得表面的边缘消失不见而成为一闭合面时,究竟会 发生什么悄况.现在,如果矢量C处处有限大,则当我 们缩小该回线时,绕行r的线积分应该趋于零—该积 分大体上正比于C的周长,而周长已等于零了.按照斯 n 托克斯定理,(V×Cn的面积分也应等于零.莫明其妙 地,当我们把表面关闭时,就会加进一些将已经存在那里 的东西抵消掉的贡献因而我们得到一个新的定理: c 图3-13在超于一个闭合正“坂调上, #-RAa(X C).da-0 (3.39)戈们找出了(xC)n的面积分应: 这看来很有意思,因为我们已经有一个关于矢量场的面积分的定理.按照高斯定理,即 式(3.18),这样的一个面积分等于该矢量的散度的体积分.当运用于V×C上时,高斯定理 就申述 (xC),da=v·(vxC/dv 30 面内体 所以我们断言,第二个积分也应等于零,即 v·(×C)d=0, (3.44) 红一体孰 这对于无论哪一种矢量场C都正确,既然式(3.41)对于任一体积都正确,即在空间每一点 上该被积函数为零就必然是正确的了.因此,我们就有 v·(V×C)=0, 总是如此.但这是§27中我们曾从矢量代数方面得到过的同一结果.现在开始来审察一 下,如何把一切东西都互相配合起来 §3-8总结 让我们把从矢量微积分那里得到的结果作个总结.这些结果,实际上就是第二和第三 两章的要点 1.算符/x、/y、a/bz可以认为是一个矢量算符V的三个分量,而把这一算符当作 矢量看待即 aaa 则从矢量代数方面所获得的那些公式都是正确的
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