16 费曼物理学讲义(第二卷) 請勿用於盈利之目的 值.它是一个标量 如果我们选取一组方便的坐标轴,该可以写出Tx=(x,y,2)和T2=T(x+4x,y+如, A),其中4、匈和是矢量4B的分量(图25) 记住式(27)我们便能写出 ⑩+一4.(2.18) 式(2.18)的左边是一个标量.右边是各含有如、和 L"= 个矢量的分量—的三个积之和。这样我们 得出结论,这三个数值 a ar a 图25矢量,其分为和a也应是一矢量的x、y和分量.我们用符号VT来写 出这个新的矢量,这个符号V是4的颠倒,这点会使我们回忆起微分来的.人们用各种不 同方法来读出VT:“delm",或的陡度”’,或“ grad T” grad?-V7=(2r, a an) (2.14) 利用这一记法,可以把式(2.13)写成一个更简洁形式 皿mV4R (2.15) 用文字表达为:这个式子申明,在两邻近点间的温度差等于T的陡度与两点间的矢量位移 之点积.式(2.15)的形式也清楚地说明了上面我们关于V确是一个矢量的证明 也许你还未必相信吧!让我们用另一种办法来证明 它,(虽然如果你仔细加以考察你可能会看到这实际上 是兜一个更大的圈子的同种证法)我们将证明,亚的 分量会按照与E的分量完全相同的方式变换.如果它 们的确是这样,则按照第一卷第十一章里我们关于失量 的原来定义,ⅴ就应该是一先量了。试采取一个新坐标 系2、則、z并在这一新系统上算出a/、a/y和 a'/a2.为了使事情稍为简单些,我们令z=z,以便可 以忘记〓坐标,(你尽可以自已核对那个更普遍的情 况.) 我们取一个相对于系已转过一个角度6的cgy 系,如图246()所示的那种情况.对于某点(x,y),在加 上了撤的系绕上其坐标为 a '=a oos 8+y sin B, (2.16) 图26(a)变换到一个已转动了 y'=-zsin+yoogθ, 的坐标系上去;(b)与x轴平行的 或者,解出a和y则得: 间距AR的一个特珠情况 I=rd cos 6-y sin g (2.18) 在我们的记法中,(a,b,c)这个表式代表一个其分量各为a、b和c的矢量,如果你喜欢用单位矢量i、j和k,那 你便可以写出: k
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第2章矢量场的微分运算 y='sin自+ycs 請勿用於盈利之目的 如果任何一对数字在用这些方程进行变换时,其方式与G和y的变换方式一样,那么它们便 是一个矢量的分量 现在让我们来看看如图26(b)所选取的那两个邻近点P和P2上的温度差.若我们 按x和y的坐标计算,该可以写成 因为4等于零 在那个加撤的系统上进行计算,应该得出个什么呢?我们必须写出 A’+,4y! (2.21) 看一看图26(b),即可见 A=Axos日 (222) 和 4=-4sin6, (2.23) 因为当4x为正时4为负把这些代入式(2.21)中去得 cos日 a a 比较式(225)和(2.20),我们得到 aoso a ar ap ay (226) 这个式说明:a/可从a/a和aP/ay获得,正如同式(2.18)中的可以从c和y获 得那样因此a/就是一个矢量的c分量.同样的论据也该可以证明,m/y和a/a 分别为它的y和z分量。所以V肯定就是一个矢量.它是从标量场丌导出来的一个矢 量场 §2-4算符 现在我们就能够做出一件非常有趣而又巧妙的事情——并且是使数学绚丽多采的一些 事物的标志.上面对T的陡度或V是一个矢量的论证,并未与我们究竟是在对哪一个标 量场进行微分有关.假若是由任一秒标量场来代替,所有论证也该同样进行.既然不管 我们对之进行微分的是什么,那些变换公式都相同,那就满可以略去而由一个算符方程 式来代替式(226): 正如琼斯( Jeans)曾经说过的那样,我们留给算符去“忙于对某一件东西取微分 出于这些微分算符本身就已如同一个矢量的分量应该变换的那样进行变换,我们便可 以称之为一个矢量算符的分量,即可以写成 aa′ay’az (228 那当然就是意味着
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费曼物理学讲义(第二卷) 勿 a a (2.29) 用已经把T除去而抽象出陡度来了—这是一个绝妙的主意 於 当然,你必须始终记住ⅴ是个算符.它单独没有什么意义,如果ⅴ本身没有什么意 盈义,那么要是我们乘以一标量比如2—那乘积V又会有什么意义呢?(我们总可以 利 对一矢量乘以一标量.)它仍然不具有什么意义.它的x分量是 之 它并非一个数值,而仍然是某种算符,然而,按照矢量代数,我们仍可以把TV叫作一个矢 现在让我们在V的另一边乘以一标量,使之形成乘积(V).在一般代数中 mA=An (231) 但我们得要记住,算符代数稍有别于一般s矢量代数.用算符时,我们必须时刻保持正确噸 序,以便使算符能够构成适当意义,如果你只是记住算符V会服从与徽商记法相同的惯例, 那你就不会有任何困难.凡想要微分的东西一定要放在V的右边。这里,先后次序是重要 的 牢记这个次序问题,我们就懂得了TV是一个算符,但V却不再是一个饥俄的算符, 该算符已完全满足了,并且它确实是一个具有意义的物理矢量.它代表了的空间变率 V的分量,就是在G方向上T变化得多快.究竟矢量的方向指向哪里呢?我们知 道,在任一方向上,T的变率等于VT在该方向的分量(见式2.15).由此可以推知,VT的 方向应该是那个具有尽可能大的分量的方向—换句话说,其中丌变化得最快的方向.T 的陡度具有(在T上的)最陡峭的斜率的方向 §2-5W的运算 矢量算符V,能否作其他方面的代数运算!如把它同一个矢量连结起来.可以通过点 乘来连结两个矢量,这可构成这样两种点积 (矢量)v;或V·(矢量) 这第一个还没有什么意义,因为它仍然是一个算符.最终的含意取决于它所运算的对象如 何.那第二个乘积则是一个标量场.(A·B总是一个标量.) 让我们就用一个熟悉的矢量场比如h,来试试它与V的点积吧.把它写成分量式 V·h=Vl+Vy+V而 又h=mm+m ey’0z (2.33) 这个和式在坐标变换之下是不变的.假如我们选择一个不同的坐标系(通过如撤来表明), 则我们会有 y·k 物+物+ 这个值应该与从式(233)所得的相同,虽则看起来是不同的这就是说,对于在空间每一点 ·我们把h设想成一个取决于空间位置的物理量,而不是把它设想成一个严格的含有三个自变量的数学函数.三九 对于xy、#或对于叫、y、取微分时,h的数学表式就必须先表达为各该自变量组的函数
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第2章矢量场的微分运算 y·ky· 請勿用於盈利之目的 235) 因此,V确是一个标量场,它必须代表某一物理量.你应当体会到,在·中,各微商的 结合方式相当特殊.此外还有许多象Ohy/2z的其他各种结合,那既不是标量,也不是矢量 的分量 标量V(矢量)在物理学中非常有用,它的名称叫做散度.例如, v·h=divh=‘的散度 就象在上面我们对所做的,也可以赋予V一个物理意义.然而,我们将把这项工作 推迟到以后 首先,我们愿意来看看,是否还有别的东西可以由矢量算符V得到的?我们应当指望 会有这么一种东西 V×真=一个矢量 (237) 它是一个矢量,其分量可按照有关叉积的通常规则(见式22)来写出: (×l),=VA-VA-m- 同理, (vxh)=V-V→ ay dz (239) (V×h),=Vh-V= ah 下×h这个结合式叫做“的旋度”.其定名原因及其物理意义都将在以后讨论 综合起来同V的结合总共有三种 v= grady-矢量 V·h=divh如标量 Vxl=curl=矢量 利用这些结合,就可以按照一种方便方式一种并不依赖于任一特定坐标轴组的普遍方 式—来写出关于场的空间变化 作为对矢量微分算符V应用的一个例子,不妨写出曾在第一章中用语言表达的那些电 磁定律内容相同的一组矢量方程,它们称为麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组 (1)V·E=P (2)VXE B at (241) (3)v·B-0; (4) dvxB-aa +i 式中,P代表电荷密度”,即每单位体积的电量;代表“电流密度”,即每秒流经单位面积的 电荷流率.这四个方程式包含电磁场的全部经典理论.我们将看到,采用这一套新的记法, 将会得到多么优美面又简洁的形式!
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费曼轫理学讲义(第二卷) 請勿用於盈利之目的 2-6热流的微分方程 让我们举一用矢量来描写的物理定律的另一个例子,这一定律并不十分精确,但对于 金属和若干种能导热的其他物质来说还是很准确的.你知道,如果取一片材料,将其一面加 热至温度2而另一面冷却至温度T1,那么热量便将经材料从四2流向卫[图2-7(a)].热 流将与板的面积成正比,也与温差成正比,而与板的厚度d成 反比,(对于某一给定温差,板越薄热流就越大)令J为单 位时间通过那块板的热能,我们便可以写成 (2-m1 (2.2) 比例常数x称为热导率 在一较复杂的情况中将会发生什么呢?比方说,在一块 面积4奇形怪状的材料中,温度以某种特定的方式变化假设我们 正在注意该整体中的一小部分,并设想有一块在微小尺寸上 看来象图27(a)那样的薄片.把这薄片旋转至与等温面平 行的方向,象在图27(b)中的情形,使得式(242)对于这 小片是正确的 设这一薄片的面积为MA,则每单位时间所流过的热量为 面积M 式中是该薄片的厚度.原来我们已在上面把4J4A定义 为h的大小,其方向则为热流方向.热量将从1+流向 T,所以热流就应当垂直于如图27(b)所画出的那些等温 面.并且,狸/4恰好就是T对位置的变率。又由于位置变 化乃垂直于等温面,这个/4便是极大变率.因此它恰好 T+ATLT 就是VT的大小.现在既然V与h反向,便可以将(2.43) 写成一个矢量方程式 图2-7(a)通过一块板的热流; h=-kVT (244) ()在一大块材料中平行于等温(负号是必需的因为热量在温度中会往“下坡流.)式(244) 面的一个无限小薄片 是大块材料中关于热传导的微分方程.你该会看到,这是 个恰当的矢量方程,如果x仅仅是一个数值,式子两边就都是一个矢量.这是由矩形板 的特殊关系(式242)推广至一任意情况的普遍化过程.我们以后还应该学习把所有象式 (2.42)那样的基本物理关系用更为雄辩的矢量符号来记录.这种记法之所以有用,不仅是 由于它会使方程看起来比较筒单,而且它也能在无需参考任何一个随意选取的坐标系的情 况下最清楚地表明方程的物理内容 §27矢量场的二阶微商 迄今我们只有场的一阶微商.为什么就没有二阶微商呢?我们本来应可以有下列几种 结合式
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