第1章 1 勿 作用以及最终生命本身的现象都得要用电磁学来加以理解 在对电磁学这一课题的理解正在发展的同时,曾经使人们以往不敢去想象的一些技术 可能性出现了,因此,下述这些就都成为可能:在漫长距离之间互通电报;对没有任何接线 於 的千罩迢迢处的另一个人说话;以及转动巨大的动力系绕—庞大的水轮,其主轮带动另 盈利之目的 机器旋转,再用干线接至远隔千里之外—千千万万条支线——使千家万户工厂和家庭里 机械转动的千千万万套电动机.所有这些,都是由于电磁定律的知识而运转起来的 今天我们还能应用更为精巧细致的效应.电力虽然很巨大,但也可以十分微小从而能 够对之施加控制,而又在许多方面加以利用.我们的仪器竞会那么精致,以致只要某人对千 百里外的一根细小金属棒中的电子施以影响,你就能说出他正在千什么.我们所必须做的 切只是用该金属棒作为电视机的天线! 从人类历史的漫长远景来看一即如过一万年之后回头来看—毫无疑问,在十九世 纪中发生的最有意义事件将判定是发克斯韦欢电歌定使的发现这一大科学事件相比 之下,同一个十年中发生的美国内哉,将会降低为一个地区性琐事而黯然失色 美国内战也叫美国南北战争,1861年开始至1865年结束,一译者注
請 勿 用 於 盈 利 之 目 的
請勿用於盈利之 矢量场的微分运算 §2-1对物理学的理解 对物理学家来说,要有从各不同观点去看向题的技巧.因为对实际物理问题的准确分 的 析往往非常复杂,任一特定物理情况都可能因过于复杂,以致不能直接通过解微分方程来进 行分析,然而如果人们对于在不同情况下解的特性有某种感触,则对于一个系统的行为仍 可以获得十分良好的概念,如场线、电容、电阻以及电感等概念,对此目的来说都是十分有 用的.因此,我们将花不少时间来进行分析.通过分析,对于在不同情况下所应当发生的事 情我们就会获得一种感党.另一方面,在比如说场线这类启发式模型中,却没有一种会对所 有情况都是真正充分和准确的,只有一种表达定律的准确方式,那就是通过微分方程,因 为微分方程具有下述两个优点,它既是基本的,就我们所知又是准确的,如果你已学习过那 些微分方程,便可以经常回去复习查对就不必再重新学习的了 要了解在各种不同情况下会发生什么事情,这将花费你一些时间.你必须求解那些方 程.每次解方程时,就将对解答的性质有所体会,为了把这些解答牢记在心利用场线及其 他概念来研究解答的意义也是有益的,这就是你将确实“理解”方程式的途径.这也是数学 和物理学的区别所在.数学家,或者具有十分数学修养的人,在研究”物理学的过程中往往 由于看不见物理学而误入歧途.他们说:“看,这些微分方程—麦克斯韦方程组就是 电动力学的一切;物理学家已经承认,没有什么东西不包含在这些方程式之内了.这些方程 尽管复杂,但毕竟不过是一些数学方程式,要是我能在数学上对它们里里外外都理解透,那 我对物理学也就理解得透彻了”,可惜,事实却并非如此.大凡抱着这种观点研究物理学的 数学家—也确实有不少这样的人—往往很少会对物理学作出什么贡献,而实际上对数 学的贡献也很可怜,他们之所以失败,是由于现实世界的实际物理情况意会那么复杂,以致 需要对方程式县有远较为广泛的理解 确实理解一个方程式一即不仅在严格的数学意义上的理解—一意味着什么,狄喇克 对此就早有所评述,他说:“如果无带实际解一个方程面对于解答的特性已有一种技计办 法,那我就算已懂得了该方程式的意义”因此若我们无需实际解那个方程组而对在特定情 况下会发生什么便已有一种了解的办法,则我们便算“理解”了应用到这些情况上去的那个 方程组了.物理上的理解乃是一种完全非数学性的、不准确的、亦并非严格的东西,但对于 个物理学家来说却是绝对必需的 照常规说,象这样一种课程是通过物理概念的发展过程——即从简单的情况开始逐渐 过渡到越来越复杂的情况一一来编排的.这就要求读者要不断忘记以前所学到的—忘记 在某些情况下正确,而在一般情况下却不正确的那些东西.例如电力取决于距离的平方那 条“定律”就不是一贯正确的.而我们在本书中宁可取相反的途径.一开始我们就讨论那 些完整定律,然后才回过头来把它们应用于一些简单情况,从而在这些过程中发展物理概 念,这就是我们将要做的事情
請 勿 用 於 盈 利 之 目 的
第召章矢量场的微分运算 3 勿 我们所采取的途径与历史的途径完全相反,人们在后一途径中是用从中获得知识的各 种实验来发展这一过程的.但物理学这一学科在过去约二百年中是由一些十分有发明天才 於 的人们发展开来的,而如果我们仅以有限时间就要获得我们的知识,那就不可能包括他们曾 经做过的一切事情.可惜的是,在这些讲课中我们很可能会丢失的东西之一就是这个历史 的实验的发展方面.希望在实验室中这个缺陷能够得到某些补,你也可以通过阅读大 利 英百科全书》来补充我们所不得不割爱的东西,那里载有一些卓越的历史性专题,涉及电学 之及物理学其他部分.你也可以在有关电磁学的许多教科书中找到一些历史知识 §2-2标量场和矢量场—T与九 现在我们要从电磁理论的那种抽象的、数学的观点开始.目的是为了解释第一章中所 给出的那些定律的意义.而要做到这一点,我们必须首先对一种将要用到的崭新而又特殊 的记法加以解释.所以就让我们智时忘却电磁学而转过来讨论矢量场的数学.这不但对于 电磁学而且对于所有各种物理情况都是十分重要的.正如通常微积分学对于所有各物理部 门都那么重要一样矢量的微分学也是如此.现在我们就转到这么一个课题上米吧 下面列举一些来自矢量代数的若干项事实,并假定你们都已经学过了 A·B=标量=ABn+A4B,+AB A×B=矢量 (Ax B),=A,B, -,B, (AX B),A,B,A, B, (AB)y=A,B,-A,B A×A=0 A(A×B)=0 A.(B×C)=(AxB)·C Ax(B×C)=B(A.C)-C(A·B) (2.6 我们也要用到从微分学方面得来的下列两个等式 4f(m,t,2-+94+时A (27 a ay ay dr (2.8) 这里第一个等式(27)当然只有当4x、4、都趋于零时才正确 最可能简单的一种物理场是标量场.你应当记起,我们所说的杨是指取决于空甸位置 的一个量.所谓标量场,是指每点仅由一个单独数量—一个标量—所标志的那种场 当然这个数量还可随时间而变,但眼前我们还无需为此操心,我们将只谈论在某一特定时 刻,场看来是个什么样子,作为标量场的一个例子,试考虑一块随体材料,其中某些地方受 热而另一些地方受冷,使得该物体的温度以一种复杂方式透点改变,于是温度将是从某一 直角坐标系上量得的代表空间每一位置(x,y,2)的函数.可见温度是一标量场, 考虑标量场的一种办法是去设想一些“框值面”,即将所有具有相同场量的点都连接起 来而成的一些想象中的面,正如在地图上那些由等高点连成的等高线一样.对于一个温度 场来说,这些恒值面被称为“等温闻”或等温线.图2-1表示一温度场,并表明在z-0处T
請 勿 用 於 盈 利 之 目 的
费曼物理学讲义(第二卷) 請勿用於盈利之目的 T=30 T(*,2, z) 冷区 转动 冷区T 图2-1温度2是标量场的一个例子,与空间每一点(x,y即)相 2-2旋转物体中原子速度 联系的有一个数量T(〓y)。所有处于标记着Z←20°的那个 是矢量场的一个例子 面图中所示为g0处的一条曲线)上之点邮有相阿温度,箭头 是热流矢量h的一些标本 对于G和y的依赖性.在该图上画出了几条等温线 还有一种场叫作矢量场.意义也十分简单就是在空间的每一点给出一个矢量.这个 矢量逐点变化.作为一个例子,可考虑一个旋转物体.在每点上物体中物质的速度便是位 置函数的矢量(图2-2).作为第二个例子,考虑在一块材料里的热流.如果某处的温度高 于另一处的,热量就会从较热处流至较冷处,在材料中的不同位置热量将朝不同的方向流 动.这一热流就是一个有向量,而我们将称之为h.它的大小是表明有若干热量在流动的 种量度.关于热流矢量的范例也示如图2-1上 让我们对下一个更准确的定义:在一点上这个热流矢量的大小就是单位时间单位面 积流经一个垂直于流动方向的无限小面积元的热能量.这个欠量朝着热量流动的方向(见 图2-3).符号表示为:若47代表每单位时间流经面积元4的热能则 h 式中e是沿流动方向的单位矢量 矢量b也可按另一种方式—一用它 的分量—来下定义.我们试问,到底 有多少热量会流经一个相对于流动方向 成任意角度的小面积.在图24中, T 热蔬 图23热浇是一种矢量汤.矢量h指向热量流动 方向,它的大小则是每单位时间流过某一垂直于流动 方向的面积元的能量除以该面积元的面积 图24流经如的热量与流经A的相同
請 勿 用 於 盈 利 之 目 的
第2章矢量场的微分运算 請勿用於盈利 我们所表示的一个小面积4a2与垂直于热流的另一个小面积如1作成某一角度,单位矢量 n与面积如a垂直.n与之间的角度就等于该两面积间的角度(因为轟垂直于4n).那 么,每单位面积流经4的热量有多少呢?流经如a的热量就等于流经41的,只不过面积 不同罢了.事实上,4a=42cos6,因此流经4n2的热流就是 osO=kn (2.10) 我们就此式加以注解:流经任何垂直于单位法线t的面积的热流(单位时间、单位面积)为 瓦·t.同样,我们也可以说:垂直于面积元如a2的热流分量为hn.如果我们愿意,也可以 认为这些说法定义了λ,我们也将把这些相同概念应用于其他矢量场 §2-8场的微商——陡度 当场随时间变化时,可通过给出场对时间的微商来加以描述我们希望也按同样办法 来描述场对空间的变化,因为对于例姐在一点上的温度与在某一邻近点上的温度间的关系, 我们是感兴趣的.怎样求得温度对位置的徹商呢?是否应该对求温度的微商?还是对 g,或是对 有用的物理定律应当不依赖于坐标系的取向.因此,它们应被写成两边都是标量或两 边都是矢量的一种形式.一个标量场的微商,比如说a/8w,究竟是什么呢?是标量,还是 矢量,或还是其他什么东西?它并不是标量,也不是矢量,因为正如你能容易领会的,假如取 另一条c轴背定姓/就会改变.可是要注意,微商可能有三个:饥/3,m/和a/b 由于有这三种徵商,而我们又知道要形成一矢量需要三个数量,也许这三个徽商就是一个矢 量的分量吧: (m,m,出)2矢量 2.11) 当然,一般并非任何三个数量都能构成为一矢量的.只有当我们旋转坐标系矢量的各 个分量按照正确的方式变换时这才成立。所以需要分析坐标系旋转时,这些微商究竟是如 何变换的.我们将证明(211)确实是一个矢量.当坐标系转动了某一角度,这些微商的确 会按正确的方式变换 我们可以从几方面看到这一点.一个途径是,提问的答案是一个与坐标系无关的问题 而试图用“不变量的方式来表达这一答案.例如,若S=AB,而且若A和B都是矢量, 则我们知道一因为我们已在第一卷第十一章中加以证明,—就是一个标量.不须去审 查是否会随坐标系改变而改变,我们就已知道了8是一个标量.改变是不可能的因为它是 两个矢量的标积、与此相仿,如果我们知道A是一矢量,而我们又有三个数B1B、B3,并 且找出 A,B1+A,B2+AB2=8 (2.1 式中S是对于任何坐标系都相同的数值.那么,这三个数B1、B2、B就应该是某一矢量B 的分量B2、Bv、B了, 现在让我们想一想温度场.假设取P1和P两点,它们之间有一微徵小距离4B2.在P1 上的温度为T2而在P上的为望2,彼此间的差值A=12-T1.在这些实际的物理点上温 度肯定不会与为量度其坐标而选取的各条轴有关具体地说,m是一个与坐标系无关的数
請 勿 用 於 盈 利 之 目 的