数学史上的三次危机 第一次数学危机 在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深 入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与 任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个 发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前5世纪或6世纪的 某一时期又毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个 里程碑。毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即 对角线的长不能表为P/q的形式，也就是说不存在作为公共量度单位 的线断。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。 因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能 是有理数，所以把它们称为无理数。 例如，巨，6，⑧，2，…等都是无理数。无理数的发现推翻了早期 希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段， 也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现 代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。 第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶 段：
数学史上的三次危机 第一次数学危机 在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深 入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与 任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个 发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前 5 世纪或 6 世纪的 某一时期又毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个 里程碑。毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即 对角线的长不能表为 p / q的形式，也就是说不存在作为公共量度单位 的线断。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。 因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能 是有理数，所以把它们称为无理数。 例如， 2, 6, 8, 22,等都是无理数。无理数的发现推翻了早期 希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段， 也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现 代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。 第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶 段：
1.数学已由经验科学变为演绎科学： 2.把证明引入了数学； 3.演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加 重要的地位。这种状态已知保持到笛卡儿解析几何的诞生。 4.中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而 一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路， 形成了欧几里得的《几何原本》与亚里斯多得的逻辑体系，而成为 现代科学的始祖。 在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通 过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊 的奥秘。 总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。 无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极 大的震动。首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物 皆依赖于整数”的致命一击；既然像√2这样的无理数不能写成两 个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常
1.数学已由经验科学变为演绎科学； 2.把证明引入了数学； 3.演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加 重要的地位。这种状态已知保持到笛卡儿解析几何的诞生。 4.中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而 一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路， 形成了欧几里得的《几何原本》与亚里斯多得的逻辑体系， 而成为 现代科学的始祖。 在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通 过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊 的奥秘。 总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。 无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极 大的震动。首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物 皆依赖于整数”的致命一击；既然像 2 这样的无理数不能写成两 个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常
的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以 公度的。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立 在这一假设之上的。突然之间基础坍塌了，已经建立的几何学的 大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了。数学基础的严重 危机爆发了。这个“逻辑上的丑陋”是如此可怕，以致毕达哥拉 斯学派对此严守秘密。据说，米太旁登的帕苏斯把这个秘密泄漏 了出去，结果他被抛进了大海。还有一种说法是，将他逐出学派， 并为他立了一个墓，说他已经死了。 这个“逻辑上的丑陋”是数学基础的第一次危机，既不容易， 也不能很快地消除。大约在公元前370年才华横溢的希腊数学家 欧多科索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相 等的定义，从而巧妙地消除了这一逻辑上的丑陋.他们给出的定义 与所涉及的量是否可公度无关。其实这也是自然的，因为两个线 段的比本来与第三个线段无关。当然从理论上彻底克服这一危机 还有待于现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义 为有理数的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整 数”的思想。 第二次数学危机 公元前5世纪出现了数学基础第一次灾难性危机，这就是无理数
的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以 公度的。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立 在这一假设之上的。突然之间基础坍塌了，已经建立的几何学的 大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了。数学基础的严重 危机爆发了。这个“逻辑上的丑陋”是如此可怕，以致毕达哥拉 斯学派对此严守秘密。据说，米太旁登的帕苏斯把这个秘密泄漏 了出去，结果他被抛进了大海。还有一种说法是，将他逐出学派， 并为他立了一个墓，说他已经死了。 这个“逻辑上的丑陋”是数学基础的第一次危机，既不容易， 也不能很快地消除。大约在公元前 370 年才华横溢的希腊数学家 欧多科索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相 等的定义，从而巧妙地消除了这一逻辑上的丑陋.他们给出的定义 与所涉及的量是否可公度无关。其实这也是自然的，因为两个线 段的比本来与第三个线段无关。当然从理论上彻底克服这一危机 还有待于现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义 为有理数的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整 数”的思想。 第二次数学危机 公元前 5 世纪出现了数学基础第一次灾难性危机，这就是无理数
的诞生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。 在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面书记处的 不稳固，出现了越来越多的谬论与悖论。数学的发展又遇到了深刻令 人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次 数学危机。 虽然在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少注 意到从逻辑上加强这门学科的基础，但绝不是对薄弱的基础没有人批 评。一些数学家进行过长期的争论，并且，两位创立者本人对此学科 的米处概念也不满意。对有缺陷的基础强有力批评来自一位非数学 家，这就是著名的唯心主义哲学家贝克莱主教。他坚持：微积分的发 展包含了偷换假设的逻辑错误。我们以考察牛顿对现在称作为微分所 采用的方法，来弄明白这个特殊的批评。 早期的微积分常称为“无穷小分析”，其原因在于微积分建立在无 穷小概念之上。牛顿、莱布尼茨概莫能外。当时所谓的无穷小并不是 “以零为极限的变量”。后者的概念是清晰的，而前者是一种含糊不 请的东西，从牛顿的流数法中便可窥见一斑。 牛顿称变量为“流量”，流量的微小改变量称为“瞬”，即无穷小， 变量的变化率称为“流数”。以求函数y=x的导数为例来说明牛顿的
的诞生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。 在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面书记处的 不稳固，出现了越来越多的谬论与悖论。数学的发展又遇到了深刻令 人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次 数学危机。 虽然在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少注 意到从逻辑上加强这门学科的基础，但绝不是对薄弱的基础没有人批 评。一些数学家进行过长期的争论，并且，两位创立者本人对此学科 的米处概念也不满意。对有缺陷的基础强有力批评来自一位非数学 家，这就是著名的唯心主义哲学家贝克莱主教。他坚持：微积分的发 展包含了偷换假设的逻辑错误。我们以考察牛顿对现在称作为微分所 采用的方法，来弄明白这个特殊的批评。 早期的微积分常称为“无穷小分析”，其原因在于微积分建立在无 穷小概念之上。牛顿、莱布尼茨概莫能外。当时所谓的无穷小并不是 “以零为极限的变量”。后者的概念是清晰的，而前者是一种含糊不 请的东西，从牛顿的流数法中便可窥见一斑。 牛顿称变量为“流量”，流量的微小改变量称为“瞬”，即无穷小， 变量的变化率称为“流数”。以求函数 3 y x 的导数为例来说明牛顿的
流数法。 设流量x有一改变量“瞬”，牛顿记作“。”，相应地，y便从变 为x+o),则y的改变量为 (x+o)3-x3=3x20+3xo2+03 求比值 (x+o)3-x3 =3x2+3x0+02 在舍去含o乘积的项，于是得到y=x的流数3x2。 这一做法似乎与求导数的方法与步骤一样，其实有着天壤之别。 求导数步骤中的前两步是算术运算，第三步是求极限，都是合乎逻辑 的、毋庸置疑的：但牛顿的流数法却充满了逻辑混乱。首先，作为瞬 的“o”,与费尔马的“E”、莱布尼茨的“”一样，都是所谓的 无穷小量，但是什么是无穷小量，他们谁也说不清。牛顿认为他引入 的无穷小量“。”是一个非零增量，但又说“被他所乘的那些量可以 算作没有”。牛顿本人也力图摆脱无穷小量的困惑，提出“最初比”、 “最终比”等仍然说不清的新词语。莱布尼茨也发生怀疑，提出“无 穷小是不是真正存在？它们有没有严格的根据？”最后说：“我想这 可能仍是疑问”。其次，牛顿求流数的方法也不合乎逻辑，先认为 “。”不是零，求出y的改变量，而后又认为“o”是零，这违背了 逻辑学中的同一律。 初期的微积分由于逻辑混乱，引起了不少数学家的非议和责难
流数法。 设流量 x有一改变量“瞬”，牛顿记作“ ”，相应地， y 便从变 为 3 (x ) ，则 y 的改变量为 3 3 2 2 3 (x ) x 3x 3x 求比值 2 2 3 3 3 3 ( ) x x x x 在舍去含 乘积的项，于是得到 3 y x 的流数 2 3x 。 这一做法似乎与求导数的方法与步骤一样，其实有着天壤之别。 求导数步骤中的前两步是算术运算，第三步是求极限，都是合乎逻辑 的、毋庸置疑的；但牛顿的流数法却充满了逻辑混乱。首先，作为瞬 的“ ”，与费尔马的“ E ”、莱布尼茨的“ dx”一样，都是所谓的 无穷小量，但是什么是无穷小量，他们谁也说不清。牛顿认为他引入 的无穷小量“ ”是一个非零增量，但又说“被他所乘的那些量可以 算作没有”。牛顿本人也力图摆脱无穷小量的困惑，提出“最初比”、 “最终比”等仍然说不清的新词语。莱布尼茨也发生怀疑，提出“无 穷小是不是真正存在？它们有没有严格的根据？”最后说： “我想这 可能仍是疑问”。其次，牛顿求流数的方法也不合乎逻辑，先认为 “ ”不是零，求出 y 的改变量，而后又认为“ ”是零，这违背了 逻辑学中的同一律。 初期的微积分由于逻辑混乱，引起了不少数学家的非议和责难