七章留数定理及其应用 第5页 72有理三角函数的积分 有理三角函数的积分的形式是 R(sin 8, cos 0)d8, 其中R是sin,cos6的有理函数,在积分区间上是连续的.作变换z=e0,则 相应的积分路径则变为z平面上的单位圆的圆周|2=1.于是, 1 -R z|<1 有理三角函数R(sin,cos)在积分区间0,2上连续就保证了有理函数h(22-12+1 在单位圆的圆周上无奇点 例74计算积分I 1+EcoS 86, El<1 解仿照上面的方法步骤,我们有 1+EcoS 6 11+g 22+1 iz dz |=1E22+22+Ei E22+22+E -|<1 z=(-1+√1-z)/ 这里在计算留数时,要注意函数2/(2+2z+)有两个极点 但由于它们的乘积为1,所以不难判断,一定只有一个极点,z=(-1+Ⅵ1-2)/,处于单位圆 内
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 5 ☞ §7.2 ✲✛✳✴✵✙✶✷✸ ✺ ♠➾✹❃❄★✦✭★✺q➌ I = Z 2π 0 R(sin θ, cos θ)dθ, ➳ ❊ R ➌ sin θ, cos θ ★ ✺ ♠❃❄❂❅✦✭ ✦✻ ■➌❋●★✷❛✼✽ z = eiθ ❂❑ sin θ = z 2 − 1 2iz , cos θ = z 2 + 1 2z , dθ = dz iz , ✾✿★✦✭❀❁❑✼✫ z ❂❃■★✲❄ ❅★ ❅❐ |z| = 1 ✷◗➌❂ I = I |z|=1 R z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z dz iz = 2π X |z|<1 res 1 z R z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z . ✺ ♠➾✹❃❄ R(sin θ, cos θ) ❅✦✭ ✦✻ [0, 2π] ■❋●❂r❆❇❈✺ ♠❃❄ R z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z ❅✲❄ ❅★ ❅❐■❰✿❀✷ ➸ 7.4 ↔↕✦✭ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ, |ε| < 1 ✷ ➺ ❉❊■❃★✃❋●❍❂■❏✺ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ = I |z|=1 1 1 + ε z 2 + 1 2z dz iz = I |z|=1 2 εz2 + 2z + ε dz i = 2π X |z|<1 res 2 εz2 + 2z + ε = 2π · 2 2εz + 2 z=(−1+√ 1−ε 2)/ε = 2π √ 1 − ε 2 . ➼➘❅ ↔↕ ◆❄♦❂✪❑▲❃❄ 2/(εz2 + 2z + ε) ✺ ➤ ✼ ➎ ❀ ❂ z = −1 ± √ 1 − ε 2 ε , ▼ ◆◗❖❏★➢✦✫ 1 ❂ ➦ ➓❡❖P◗❂✬❧✩✺ ✬ ✼ ➎ ❀ ❂ z = (−1 + √ 1 − ε 2)/ε ❂▼◗✲❄ ❅ ❆✷
73无穷积分 第6页 73无穷积分 无穷积分的定义为 f(a)dr =:m 有时这种极限不存在,但a如、CB)存在,称为积分主值,记为 f(r)dr f(r)de 显然,当这两种极限都存在时,它们必定相等 在复平面上看,积分 f(r)d 是沿着实轴进行的,并不构成复变函数的围道积分 我们可以容易地将实函数f(x)延拓为复函数f(2) ·为了能构成围道积分并应用留数定理计算,还必须: (1)补上适当的积分路径而形成闭合围道,计算∮f()dz (2)在补上的路径上的积分,或者与所要求计算的无穷积分直接相关,或者可以简单方便地计算 出来 最自然的做法当然是补上以原点为圆心,R为半径的上半圆CR f(a)dz f(a)dx+ f(a)dz. 图72 而后令R→∞·这样,我们便需要计算/f(x)dz的极限值.只要f(x)满足适当的条件 这是可以做到的 不妨假设函数f(2)满足下列条件:
§7.3 ❘❙❚❯ ☛ 6 ☞ §7.3 ❱❲✷✸ ❰❳✦✭★❧➹✫ Z ∞ −∞ f(x) dx = lim R1 → +∞ R2 → +∞ Z R2 −R1 f(x) dx. ✺ ♦ ➼❨ ➎ ✻ ❡❩❅❂▼ lim R → +∞ Z R −R f(x)dx ❩❅❂▲✫✦✭❬❇❂❭✫ v.p. Z ∞ −∞ f(x)dx = lim R→+∞ Z R −R f(x)dx. ❪❫❂❴ ➼ ➤ ❨ ➎ ✻❵ ❩❅♦❂❖❏❛❧ ✾ P✷ ❅❥❂❃■ ✛ ❂✦✭ Z ∞ −∞ f(x) dx ➌❜❝❞❡❢❣★❂Ï❡❤✐❥✼❃❄★ ❫❒✦✭✷ • ■❏➒➓✙✚✘✍❞❃❄ f(x) ❥❦✫❥❃❄ f(z) • ✫❈❮❤✐ ❫❒✦✭Ï✿❧ ◆❄❧♠↔↕❂♠❛♥× (1) ♦■♣❴★✦✭❀❁q✺✐✳✴ ❫❒❂↔↕ I f(z)dz r (2) ❅♦■★❀❁■★✦✭❂st✉➦✪ ➉ ↔↕★❰❳✦✭✈✇✾①❂ st➒➓✱✲✃✰✘↔↕ ✜ ✭✷ ② ③❫ ★④❋❴❫ ➌♦■➓➊❀ ✫ ❅⑤❂ R ✫⑥❁★■⑥ ❅ CR ❂ I C f(z)dz = Z R −R f(z)dz + Z CR f(z) dz. ❱ 7.2 q⑦⑧ R → ∞ ✷ ➼⑨ ❂■❏✰⑩✪↔↕ Z CR f(z)dz ★➎✻ ❇✷✩✪ f(z) ❶❷♣❴★❸❹❂ ➼ ➌➒➓④❺★✷ ❡❻❼✥ ❃❄ f(z) ❶❷➑❽❸❹×
七章留数定理及其应用 第7页 1.f(2)在上半平面除了有限个孤立奇点外是处处解析的, 在实轴上没有奇点 2.在0≤argz≤丌范围内,当|z|→∞时,zf(2)一致地 趋于0,即对于任给的E>0,存在M(=)>0,使当 2≥M,0≤argz≤π时,|2f(2)<ε 这两个条件并不苛刻.第1个条件保证了原来的实变积分不是瑕积分,并且可以应用 留数定理计算围道积分 (a)dz=/ f(a)dz+/f(a)dz=2ri 2 res f(a) 上半平面 第2个条件,首先是作为实变无穷积分的收敛条件 f(=0 的自然推广,同时,根据引理3.,1,又保证了 lim f(a)dz=0 取极限R→∞,就得到 f(x)dx=2i∑resf(2) 上半平面 例7.5计算定积分I 解此时显然符合上述要求的条件,故 (1+x2)3 =2丌i.res (1+2)|2= 16)= 最后,为了对应用留数定理计算定积分的基本思想有一个比较深入的理解,不妨再重复一下 前面的叙述 为了能够应用留数定理计算无穷积分,我们必须: 1.补上适当的积分路径而形成闭合围道,计算∮f(a)d 2.在补上的路径上的积分,或者与所要求计算的无穷积分直接相关, 或者可以简单方便地计算出来
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 7 ☞ 1. f(z) ❅■⑥❂❃✹ ❈ ✺✻✼✽✾✿❀❁➌▼▼❈❉★❂ ❅❞❡■❏✺✿❀r 2. ❅ 0 ≤ arg z ≤ π ❾ ❫❆❂❴ |z| → ∞ ♦❂ zf(z) ✬❿✘ ➀ ◗ 0 ❂➁ ➶ ◗➂➃★ ε > 0 ❂❩❅ M(ε) > 0 ❂❜❴ |z| ≥ M ❂ 0 ≤ arg z ≤ π ♦❂ |zf(z)| < ε ✷ ê➄î➅➆➇þ➈➉✷➊ 1 î➅➆➋➌ ➂ ➍➎⑦ ➏➐⑩❶þô➑⑩❶❂➇➒ é➓➔ st✉✈➃➄ ⑧⑨⑩❶ I C f(z)dz = Z R −R f(z)dz + Z CR f(z)dz = 2π i X Û→➣ ↔ res f(z). ➊ 2 î➅➆❂↕➙ô➛➁ ➏➐➜➝⑩❶⑦➞➟➅➆ lim x→±∞ xf(x) = 0 ⑦ ➠➡➢ ➤❂➥➦❂➧➨ ➩✈ 3.1 ❂➫➋➌ ➂ lim R→∞ Z CR f(z)dz = 0. ➭ ➎ ✻ R → ∞ ❂r➯❺ Z ∞ −∞ f(x)dx = 2π i X ■⑥❂❃ res f(z). ➸ 7.5 ↔↕❧✦✭ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 ✷ ➺ ✓ ♦ ❪❫➲✴■➳ ✪ ➉★❸❹❂➽ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 = 2π i · res 1 (1 + z 2) 3 z=i =2π i · − 3i 16 = 3 8 π. ② ⑦❂✫❈ ➶✿❧ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭★➵➸➺➻✺ ✬ ✼ ✮✯➼➽★♠❈❂❡❻➾➚❥✬➑ ➪ ❃★➶➳× ✫❈❮➹ ✿❧ ◆❄❧♠↔↕❰❳✦✭❂■❏❛♥× 1. ♦■♣❴★✦✭❀❁q✺✐✳✴ ❫❒❂↔↕ I f(z)dz r 2. ❅♦■★❀❁■★✦✭❂st✉➦✪ ➉ ↔↕★❰❳✦✭✈✇✾①❂ st➒➓✱✲✃✰✘↔↕✜ ✭✷
73无穷积分 基于这样的理解,就可以更加灵活地运用留数定理计算定积分 ★如果是f(x)偶函数,则对于积分/f(x)dx,由于 f(r)de f(r)dx, 所以仍然可以采用图72的围道,并重复上面的讨论,而得到 res f(2 上半平面 ★如果在积分f()dx中,被积函数f(2)具有某种对称性质,例如 f(a)=f(eel) 那么,也可以采用图7.3中的围道来计算 例70计算定积分 图74 解由于这里的被积函数f(x) 1+x4 是x4的函数,所以,我们可以采用图74的围道:沿 正实轴由0到R,沿圆弧到达正虚轴,再沿正虚轴由iR回到原点.这样,根据留数定理,有 +x=.+x+x+:+厂 1+(iy)4 (1-i)
§7.3 ❘❙❚❯ ☛ 8 ☞ ➵◗ ➼⑨ ★♠❈❂r➒➓➘➴➷➬✘➮❧ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭✷ F ➱Úô f(x) ✃⑥ t ❂ ø❐ Þ ⑩❶ Z ∞ 0 f(x)dx ❂óÞ Z ∞ 0 f(x)dx = 1 2 Z ∞ −∞ f(x)dx, ❒ é❮➡ é❰➔ Ï 7.2 ⑦ ⑧⑨❂➇ÐÑÛ ↔ ⑦ÒÓ❂ÔÕÖ Z ∞ 0 f(x)dx = 1 2 Z ∞ −∞ f(x)dx = π i X Û→➣ ↔ res f(z). F ➱Ú ❹⑩❶ Z ∞ 0 f(x)dx å ❂× ⑩ ⑥ t f(z) Ø ❿ ÙÚ❐ÛÜÝ❂Þ➱ f(z) = f(ze iθ ), ß à❂ÿ é❰➔ Ï 7.3 å⑦ ⑧⑨➎➃➄✷ ❱ 7.3 ➸ 7.6 ↔↕❧✦✭ Z ∞ 0 dx 1 + x 4 ✷ ❱ 7.4 ➺ ◆ ◗ ➼➘★á✦❃❄ f(x) = 1 1 + x 4 ➌ x 4 ★❃❄❂➦ ➓❂■❏➒➓â ❧❪ 7.4 ★ ❫❒×❜ ➴ ❞❡ ◆ 0 ❺ R ❂❜ ❅ã❺ä➴å ❡❂➾❜➴å ❡ ◆ iR æ❺➊❀ ✷ ➼⑨ ❂❤✐ ◆❄❧♠❂✺ I C dz 1 + z 4 = Z R 0 dx 1 + x 4 + Z CR dz 1 + z 4 + Z 0 R idy 1 + (iy) 4 = (1 − i) Z R 0 dx 1 + x 4 + Z CR dz 1 + z 4
七章留数定理及其应 第9页 1+z4 取极限R→∞,因为 所以,根据引理3.1,有 于是就得到 在这个例子中,当然仍然可以采用半圓形的围道.这时被积函数1/(1+24)在围道内有 两个奇点:z=eπ/和z=e3/4.计算量当然要略微大一些.可以设想,如果要计算 定积分 禾用夹角为π/50的扇形围道,围道内只有一个奇点;而禾用半圓形围道,围道内则有 50个奇点,两者在计算量上的差异明显可见 如果说,在上面这些例子中,扇形围道和半形围道两者还都可供选择的话,那么,在 下面这个例子中,扇形围道就只能是唯一的选择 例77计算积分 解显然,这时应该考虑夹角为2π/3的扇形围道(图75) 图75 .1+=(++、+厂 (-)+x+ 1+23 取极限R→∞,因为 所以 B→∞Jc1
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 9 ☞ = 2π i res 1 1 + z 4 z=eiπ/4 = π 2 1 − i √ 2 . ➭ ➎ ✻ R → ∞ ❂ ✒ ✫ limz→∞ z · 1 1 + z 4 = 0, ➦ ➓❂❤✐ç♠ 3.1 ❂ ✺ lim R→∞ Z CR dz 1 + z 4 = 0. ◗➌r➯❺ Z ∞ 0 dx 1 + x 4 = √ 2 4 π. ❹ êîÞè å ❂é ➡❮➡ é❰➔→ êë⑦ ⑧⑨✷ê➦×⑩ ⑥ t 1/(1 + z 4 ) ❹ ⑧⑨ ❺❿ ➄î❻❼× z = eiπ/4 ì z = ei3π/4 ✷ ➃➄í é ➡îïðñíò✷ éóô❂➱Ú î➃➄ ✉⑩❶ Z ∞ 0 dx 1 + x 100 , ❰➔õ ö ➁ π/50 ⑦÷ ë ⑧⑨❂ ⑧⑨ ❺ ➅ ❿íî❻❼rÔ❰➔→ êë ⑧⑨❂ ⑧⑨ ❺ø❿ 50 î❻❼✷➄ø❹➃➄í Û ⑦ùú ûüý✷ ➱ÚÜ❂❹ Û ↔êòÞè å ❂ ÷ ë ⑧⑨ì→ êë ⑧⑨➄øþÿ✁✂⑦✄ ❂ ß à❂ ❹ ☎ ↔êîÞè å ❂ ÷ ë ⑧⑨✆ ➅✝ô✞í⑦ ✁✂✷ ➸ 7.7 ↔↕✦✭ Z ∞ 0 dx 1 + x 3 ✷ ➺ ❪❫❂ ➼ ♦ ✿✟✠✡☛✹✫ 2π/3 ★☞✺ ❫❒ (❪ 7.5) ✷ ❱ 7.5 I C dz 1 + z 3 = Z R 0 dx 1 + x 3 + Z CR dz 1 + z 3 + Z 0 R e i2π/3dx 1 + x 3 = 1 − e i2π/3 Z R 0 dx 1 + x 3 + Z CR dz 1 + z 3 = 2π i res 1 1 + z 3 z=eiπ/3 = 2π 3 e −iπ/6 . ➭ ➎ ✻ R → ∞ ❂ ✒ ✫ limz→∞ z · 1 1 + z 3 = 0, ➦ ➓ lim R→∞ Z CR dz 1 + z 3 = 0