《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析r()=f(nT)S(t-nT)n=((7-20)它的拉普拉斯变换为F(s)= LL()]=Zf(nT)e)(7-21)n=0可见上式含有s的超越函数e-nTs，不便于计算，故引入一个新的复变量=。令2=e5(7-22)或-In2T(7-23)则有f(nT)zF(=)= F*(s)l(7-24)如果式（7-24）所示的级数收敛，则定义F(=)为()的≥变换，记作Z[(0)=F(2)。需要指出的是，F(=)是厂()的=变换，它只考虑了采样时刻的信号值(nT)。同时，对一个连续信号f(t)而言，由于在采样时刻f(t)的值就是f(nT），所以也称F(z)是f(t)的z变换，即Pf(nT)z-"z [f(t)] = z [f*(t)] = F(2)=(7-25)7.3.2变换的求法1.级数求和法对于如式（7-20）形式的离散信号厂()，将其展开得Zf(nT)o(-nT)f(0)==f(O)S(t)+ f(T)(t-T)+ f(2T)S(t-2T)+ ...+ f(nT)o(t-nT) +对其进行拉氏变换得11
《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 11 = = − 0 * ( ) ( ) ( ) n f t f nT t nT （7-20） 它的拉普拉斯变换为 = − = = 0 * * ( ) [ ( )] ( ) n nTs F s L f t f nT e （7-21） 可见上式含有 s 的超越函数 nTs e − ，不便于计算，故引入一个新的复变量 z 。 令 Ts z = e （7-22） 或 z T s ln 1 = （7-23） 则有 = − = = = 0 ln 1 * ( ) ( ) ( ) n n z T s F z F s f nT z （7-24） 如果式（7-24）所示的级数收敛，则定义 F(z) 为 ( ) * f t 的 z 变换，记作 Z [ ( )] * f t = F(z) 。 需要指出的是， F(z) 是 ( ) * f t 的 z 变换，它只考虑了采样时刻的信号值 f (nT) 。同时，对 一个连续信号 f (t) 而言，由于在采样时刻 f (t) 的值就是 f (nT) ，所以也称 F(z) 是 f (t) 的 z 变换，即 Z [ f (t)] = Z [ ( )] * f t = F(z) = = − 0 ( ) n n f nT z （7-25） 7.3.2 z 变换的求法 1．级数求和法 对于如式（7-20）形式的离散信号 ( ) * f t ，将其展开得 ( ) = * f t = − 0 ( ) ( ) n f nT t nT = f (0) (t) + f (T) (t −T) + f (2T) (t − 2T) + .＋ f (nT) (t − nT) + 对其进行拉氏变换得
《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析F(s)= f(O)×1+ f(T)e-Ts + f(2T)e-27 +... + (nT)e"TsIn z“，可得()的=变换为今F(=)= f(O)×1+ f(T)z-l + f(2T)--+...+ f(nT)--" +...(7-26)上式是离散信号厂()的=变换展开形式，只要知道(1)在各个采样时刻的数值，即可求得其变换。这种级数展开式是开放形式，有无穷多项，应用少，通常写成闭合形式【例7-1】求单位阶跃函数1(t)的=变换。解由于1(1)在任何采样点的值均为1，则1(nT)=1Z[1(0)]= 2° + 2-1 + 2-2 ++上式可看作一个等比数列，公比为≥"。若满足-<1，则有1Z(>1)Z[1(0)] 1- --1 - 2 -1【例7-2】求指数函数(l)=e" (a>0)的=变换。解在各采样时刻(nT)=e-aT,，则由式（7-26）得F(=) =1+e-a =-l +e-2aT _-2 +..上式可看作一个等比数列，公比为(e"z)"；若满足l">1，则有ZF(2) =z-e-ar1-(eaT 2)-l(z >e-a)2.部分分式法M(s)一般地，连续函数的拉氏变化具有如下形式F(s)N(s)将其展开为部分分式和的形式为F(s)=_4(7-27)=s-sA:2对于上式中的每个分量_4，，其拉氏反变换为4,e"。而对于4,e"，其=变换为-057S-S12
《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 12 Ts Ts F s f f T e f T e * 2 ( ) (0) 1 ( ) (2 ) − − = + + + ＋ f (nT)e −nTs + 令 z T s ln 1 = ，可得 ( ) * f t 的 z 变换为 F(z) = f (0)1+ f (T)z −1 + f (2T)z −2 ++ f (nT)z −n + （7-26） 上式是离散信号 ( ) * f t 的 z 变换展开形式，只要知道 f (t) 在各个采样时刻的数值，即可求 得其 z 变换。这种级数展开式是开放形式，有无穷多项，应用少，通常写成闭合形式。 【例 7-1】 求单位阶跃函数 1(t) 的 z 变换。 解 由于 1(t) 在任何采样点的值均为 1，则 1(nT) = 1 Z[1(t)] = z 0 + z −1 + z −2 + + + −n z . 上式可看作一个等比数列，公比为 −1 z 。若满足 1 1 − z ，则有 Z[1(t)] 1 1 1 1 − = − = − z z z （ z 1 ） 【例 7-2】 求指数函数 at f t e − ( ) = (a 0) 的 z 变换。 解 在各采样时刻 anT f nT e − ( ) = ，则由式（7-26）得 F(z) = 1+ e −aT z −1 + e −2aT z −2 + 上式可看作一个等比数列，公比为 1 ( ) − e z aT ；若满足 e z 1 aT ，则有 aT aT z e z e z F z − − − = − = 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) aT z e − 2．部分分式法 一般地，连续函数的拉氏变化具有如下形式 ( ) ( ) ( ) N s M s F s = 将其展开为部分分式和的形式为 = − = k i i i s s A F s 1 ( ) （7-27） 对于上式中的每个分量 i i s s A − ，其拉氏反变换为 s t i i A e 。而对于 s t i i A e ，其 z 变换为 s T i i z e A z −