《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析e'(0) =e(0).s(t- nT)=e(nT)·8(t-nT)(7-5)7.2.2采样定理连续信号e(t)经采样后变为采样信号e（)，采样信号的信息不等于连续信号的全部信息。因此，采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。研究两类信号之间的相互联系，这需要用频谱分析的方法。所谓频谱，实质是一个时间函数所含不同频率谐波成分的分布情况。因为单位脉冲序列8()是一个周期函数，可以展开为傅立叶级数，并写成其复数形式r(t)- C,eino)(7-6)其中，0,=(2元/T)为采样角频率，T为采样周期，C,为傅立叶系数'T, o,(0)e-ine dt(7-7)Ch=由于在区间中，只在t=0时8,(1)才有值，且e-jno,|=0=1，则1r.0.0u-C,=(7-8)故有(7-9)Sr(t)由式（7-1）可得，采样信号Ee(t)eina,e (0) = e(0)8,(0) = (7-10)上式两边各进行拉氏变换，得E'(s)=ZE(s-jno,)(7-11)T 2又因为E(s)=L[e(t)]，令s=jQ，则E(jの)为e(t)的频率特性，「E(jの)|为e(t)的幅频特性或称频谱。一般说来，e()的频谱E(jの)是一个单一的连续频谱，其谐波分量中的最高频率のmax是无限大的，如图7-8(a)所示。但因为当の较大时，「E(jの)|将很小，故可认为のmx是有限值，e(t)的频谱E(jの)可近似如图7-8(b)所示。6
《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 6 + = + = = − = − 0 0 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n e t e t t nT e nT t nT （7-5） 7.2.2 采样定理 连续信号 e(t) 经采样后变为采样信号 ( ) * e t ，采样信号的信息不等于连续信号的全部信 息。因此，采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。研究两类信号之间的相 互联系，这需要用频谱分析的方法。所谓频谱，实质是一个时间函数所含不同频率谐波成 分的分布情况。 因为单位脉冲序列 (t) T 是一个周期函数，可以展开为傅立叶级数，并写成其复数形 式 =− = n n t T n s t C e j ( ) （7-6） 其中， (2 /T) s = 为采样角频率， T 为采样周期， Cn 为傅立叶系数 − − = / 2 / 2 j ( ) 1 T T n t n T t e dt T C s （7-7） 由于在 − 2 , 2 T T 区间中，只在 t = 0 时 (t) T 才有值，且 n t s e − j | 1 t=0 = ，则 T t dt T Cn T 1 ( ) 1 0 0 = = + − （7-8） 故有 =− = n n t T s e T t 1 j ( ) （7-9） 由式（7-1）可得，采样信号 =− = = n n t T s e t e T e t e t t * j ( ) 1 ( ) ( ) ( ) （7-10） 上式两边各进行拉氏变换，得 =− = − n n s E s T E s ( j ) 1 ( ) * （7-11） 又因为 E(s) = L[e(t)] ，令 s = j ，则 E(j) 为 e(t) 的频率特性，| E(j) |为 e(t) 的幅频 特性或称频谱。一般说来， e(t) 的频谱 E(j) 是一个单一的连续频谱，其谐波分量中的最 高频率 max 是无限大的，如图 7-8(a)所示。但因为当 较大时，| E(j) |将很小，故可 认为 max 是有限值， e(t) 的频谱 E(j) 可近似如图 7-8(b)所示
《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析+E(j)E(j)]00maOmax(b)(a)图7-8连续信号e(t)的频谱(a）实际频谱：(b）近似频谱E*(jの)为e()的频率特性，Ejの)为e'()的频谱。由式（7-11）可得E'Go)=E(j-no,)=E[(@-no,)(7-12)可见，采样后的信号频谱由无数条频谱叠加而成，每一条频谱曲线是采样前信号e(t)的频谱EGo)平移nの，幅值下降六倍的结果。而且1E'(jo)=:E(jo+ jo,)+E(jo)+-Ejo- jo,)+..T.T令の=の+の代入式（7-12），展开得E(jo+jo,)+E(j0)+E'o+jo,)=...-Ej@- jo,)+...T1T= E'(io)更为一般地有(7-13)E(jo+ jno,)=E'i(o+no,)]=E(jo)n =0,±1,±2,...故E(の)是以为周期的周期函数，其频谱E(j)也是以の，为周期的周期函数，如图7-9所示。特别，当n=0时，EGo)的频谱分量一EGjの)称为主频谱，它就是连续信号e(t)频谱E(jo)的一倍。从图7-9可以看出，当=≥のmx时，各个频谱分量不重叠，通过滤波可以滤除E(jの)2中高于の.的频谱，剩下的频谱与E(j)形状相同，即可从采样信号e()中复现出原来的7
《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 7 (j ) * E 为 e (t) 的频率特性， (j ) * E 为 e (t) 的频谱。由式（7-11）可得 [j( )] 1 (j j ) 1 (j ) * s n s n E n T E n T E + =− + =− = − = − （7-12） 可见，采样后的信号频谱由无数条频谱叠加而成，每一条频谱曲线是采样前信号 e(t) 的频谱 E(j) 平移 s n ，幅值下降 T 1 倍的结果。而且 = + + + + (j − j ) + 1 (j ) 1 (j j ) 1 (j ) * s s s s s E T E T E T E 令 = +s 代入式（7-12），展开得 (j ) (j j ) 1 (j ) 1 (j j ) 1 (j j ) * * E E T E T E T E s s s s s s = + = + + + + − + 更为一般地有 E * (j + jns ) = E * [j( + ns )] = E * (j) n = 0,1,2, （7-13） 故 (j ) * E 是以 s 为周期的周期函数，其频谱 E(j) 也是以 s 为周期的周期函数，如图 7-9 所示。 特别，当 n = 0 时， (j ) * E 的频谱分量 (j ) 1 E T 称为主频谱，它就是连续信号 e(t) 频 谱 E(j) 的 T 1 倍。 从图 7-9 可以看出，当 max 2 s 时，各个频谱分量不重叠，通过滤波可以滤除 (j ) * E 中高于 max 的频谱，剩下的频谱与 E(j) 形状相同，即可从采样信号 ( ) * e t 中复现出原来的 (a) 实际频谱； (b) 近似频谱 图 7-8 连续信号 e(t) 的频谱 (a) (b)
《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析连续信号e(t)：否则，Eiの)中各个频谱波形互相搭接，E(i)就无法通过滤波得到Ejo)，也就无法从e(t)中复现出e(t)。+ [E*(ja)]20,20s采样频率高?00305-20,es20,30,采样频率低图7-9采样信号e（t)的频谱由以上分析可以得到如下结论：可以从采样信号e(t)中完全复现连续信号e()的条件是：采样频率の.必须大于或等于输入采样开关的连续信号e(0)频谱中的最高频率の.的2倍，即(7-14)0,≥20mx这就是著名的香农（Shannon）采样定理。IG(j)!7.2.3零阶保持器由图7-9可知，当采样信号的频谱中各波形互不重叠时，可以用一个具有图7-10所示的幅频特性的理想低通滤波器无畸变地复现连续信号的频谱，只是各频谱分量都是原来的一0Omax0倍。然而，这样的理想低通滤A图7-10理想低通滤波器的幅频特性波器在实际中是无法实现的。工程中最常用、最简单的低通滤波器是零阶保持器。e(0)+e,(t)e'(t)er(t)零阶保持器8T9TT2T3T4T5T6T7T2T3T4T5T6T7T8图7-11零阶保持器的输入输出信号
《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 8 连续信号 e(t) ；否则， (j ) * E 中各个频谱波形互相搭接， (j ) * E 就无法通过滤波得到 E(j) ，也就无法从 ( ) * e t 中复现出 e(t)。 由以上分析可以得到如下结论： 可以从采样信号 ( ) * e t 中完全复现连续信号 e(t) 的条件是：采样频率 s 必须大于或等 于输入采样开关的连续信号 e(t) 频谱中的最高频率 max 的 2 倍，即 max s 2 （7-14） 这就是著名的香农（Shannon）采样定理。 7.2.3 零阶保持器 由图 7-9 可知，当采样信号的频谱中各波形互不 重叠时，可以用一个具有图 7-10 所示的幅频特性的理 想低通滤波器无畸变地复现连续信号的频谱，只是各 频谱分量都是原来的 T 1 倍。然而，这样的理想低通滤 波器在实际中是无法实现的。工程中最常用、最简单 的低通滤波器是零阶保持器。 图 7-10 理想低通滤波器的幅频特性 图 7-9 采样信号 ( ) * e t 的频谱 图 7-11 零阶保持器的输入输出信号 t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ( ) * e t 零阶保持器 ( ) * e t e (t) h t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T e (t) h
《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析零阶保持器将采样信号在每个采样时刻的采样值enT），一直保持到下一个采样时刻，从而使采样信号e(t)变成阶梯信号e,()，如图7-11所示。因为这种保持器的输出信号e，()在每一个采样周期内的值为常数，其导数为零，所以称之为零阶保持器。当零阶保持器输入信号为单位脉冲8（)时，其输出是幅值为1、持续时间为T的一个矩形脉冲gh()，即(7-15)gh(t) = 1(t) -1(t- T)对零阶保持器的单位脉冲响应g,()进行拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为G,(s)=L[g;(s)- 1_-e- _1-e*(7-16)s令s=iの，得到零阶保持器的频率特性为joT/2(ejaT/2-e-joT/21-e-je?sin(oT /2)joT/2(7-17)G,(jo)=oT/2jajo2元为采样角频率。式中，T为采样周期，の，T零阶保持器的幅频特性为[G,Go)= T. sin(αT/2)(7-18)OT/2零阶保持器的相频特性为OTPh(0)=-(7-19)2可见，当=0时, [G,G0)=lm7.eT/2=T，9,(0)=0 当=0,时， C,G)OT/2=T.sin=0, 而g(o,)=-元。元零阶保持器的幅频特性和相频特性如图7-12所示。tG,Go)@s20s30,@P (o)06元图7-12零阶保持器的幅频特性和相频特性
《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 9 零阶保持器将采样信号在每个采样时刻的采样值 e(nT) ，一直保持到下一个采样时 刻，从而使采样信号 ( ) * e t 变成阶梯信号 e (t) h ，如图 7-11 所示。因为这种保持器的输出信 号 e (t) h 在每一个采样周期内的值为常数，其导数为零，所以称之为零阶保持器。 当零阶保持器输入信号为单位脉冲 (t) 时，其输出是幅值为 1、持续时间为 T 的一个 矩形脉冲 g (t) h ，即 g (t) 1(t) 1(t T) h = − − （7-15） 对零阶保持器的单位脉冲响应 g (t) h 进行拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为 Gh (s) = Lgh (s) = s e e s s Ts Ts − − − − = 1 1 1 （7-16） 令 s = j ，得到零阶保持器的频率特性为 j / 2 j j / 2 j / 2 j / 2 / 2 sin( / 2) j ( ) j 1 (j ) T T T T T h e T T T e e e e G − − − − = − = − = （7-17） 式中， T 为采样周期， T s 2 = 为采样角频率。 零阶保持器的幅频特性为 / 2 sin( / 2) (j ) T T Gh T = （7-18） 零阶保持器的相频特性为 2 ( ) T h = − （7-19） 可见，当 = 0 时， (j0) Gh T T T = T = → / 2 sin / 2 lim 0 ， h (0) = 0 ；当 = s 时， (j) Gh 0 sin = = T ，而 h ( s ) = − 。 零阶保持器的幅频特性和相频特性如图 7-12 所示。 图 7-12 零阶保持器的幅频特性和相频特性 gointexin
《自动控制原理》第七章采样数据控制系统分析从幅频特性上看，零阶保持器具有低通滤波特性，但不是理想的低通滤波器。零阶保持器除了允许采样信号的主频分量通过外，还允许部分高频分量通过。因此，零阶保持器复现出的连续信号e,(t)与原信号e()是有差别的。同时，由于离散控制系统的连续部分也具有低通滤波特性，可将通过零阶保持器的绝大部分高频频谱滤掉，而且零阶保持器结构简单，在实际中得到了广泛的应用。但应注意到，从相频特性上看，零阶保持器产生正比于频率的相位滞后。因此零阶保持器的引入，将造成系统稳定性下降。若将零阶保持器传递函数按幂级数展开11-e-Ts-(1-1)=-[1-G,(s) =sSS(Ts)2 +.1 + Ts +2!若取级数的前两项，得T11G,(s)~-1+ Ts1+ Tss实现它的方法很多，可采用放大器和RC网络或有源网络来实现，如图7-13所示。RR2RC放大器OC :Ro增益为T山(b)(a)图7-13零阶保持器的实现(a)RC网络方式：(b)运算放大器方式s7-3z变换线性连续控制系统可采用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及稳态性能。而对于线性离散系统，则可以采用线性差分方程来描述，用变换来分析它的暂态性能及稳态性能。z变换是研究离散系统的主要数学工具，它是由拉普拉斯变换引导出来的，实际上就是离散信号的拉普拉斯变换。7.3.1变换的定义连续信号f(t)的拉普拉斯变换为F(s)= LLf(t)=[f(t)e-" d连续信号f(t)经过采样后的离散信号f(t)为10
《自动控制原理》 第七章 采样数据控制系统分析 10 从幅频特性上看，零阶保持器具有低通滤波特性，但不是理想的低通滤波器。零阶保 持器除了允许采样信号的主频分量通过外，还允许部分高频分量通过。因此，零阶保持器 复现出的连续信号 e (t) h 与原信号 e(t) 是有差别的。同时，由于离散控制系统的连续部分也 具有低通滤波特性，可将通过零阶保持器的绝大部分高频频谱滤掉，而且零阶保持器结构 简单，在实际中得到了广泛的应用。但应注意到，从相频特性上看，零阶保持器产生正比 于频率的相位滞后。因此零阶保持器的引入，将造成系统稳定性下降。 若将零阶保持器传递函数按幂级数展开 ] ( ) 2! 1 1 1 [1 1 ) 1 (1 1 1 ( ) + + 2 + = − = − − = − Ts Ts s s e s e G s Ts Ts h 若取级数的前两项，得 Ts T s Ts G s h + = + − 1 ) 1 1 (1 1 ( ) 实现它的方法很多，可采用放大器和 RC 网络或有源网络来实现，如图 7-13 所示。 §7－3 z 变换 线性连续控制系统可采用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及 稳态性能。而对于线性离散系统，则可以采用线性差分方程来描述，用 z 变换来分析它的 暂态性能及稳态性能。 z 变换是研究离散系统的主要数学工具，它是由拉普拉斯变换引导 出来的，实际上就是离散信号的拉普拉斯变换。 7.3.1 z 变换的定义 连续信号 f (t) 的拉普拉斯变换为 − = = 0 F(s) L[ f (t)] f (t)e dt st 连续信号 f (t) 经过采样后的离散信号 ( ) * f t 为 (a) (b) 图 7-13 零阶保持器的实现 (a) RC 网络方式； (b) 运算放大器方式