奇点:相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇 点 (1)无阻尼运动形式(=0) 积分有=「v2d 2 x-+ X 中心点 (2)欠阻尼运动形式(0<5<1)
奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇 点。 （1）无阻尼运动形式（ = 0） = dx dx x w x n 2 − 积分有 xdx w xdx = − n 2 2 2 2 2 A w x x n + = （2）欠阻尼运动形式(0 1)
(2)欠阻尼运动形式(0<<1) 1× 稳态焦点 (3)过阻尼运动形式(>1) 稳定节点 (4)负阻尼运动形式(-1<5<0) 不稳定焦点
（2）欠阻尼运动形式(0 1) （3）过阻尼运动形式（ 1） （4）负阻尼运动形式（−1 0）
(5) Jw 不稳定节点 (6) 鞍点
（5） −1 （6）
三.相轨迹的绘制 (1)解析法绘制相轨迹的关键在于找出x和x的关系 用求解微分方程的办法找出x,的关系,从而可在相平面上绘制 相轨迹,这种方法称为解析法。解析法分为 a.消去参变量t 由=∫(x,x)直接解出x(),通过求导得到沁()。在这两个解中消去作为 参变量的t,就得到x-x的关系 例设描述系统的微分方程为+M=0 其中M为常量,已知初始条件x(0)=0,x(0)=x。求其相轨迹 解:x=-M,积分有 x=-M(1)再积分一次有 Mt 由(1)(2)式消去t有 2M(x-x。) M=1
三.相轨迹的绘制 （1）解析法 绘制相轨迹的关键在于找出x和x的关系 用求解微分方程的办法找出x, x的关系，从而可在相平面上绘制 相轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为 a.消去参变量t 由 x = f (x, x)直接解出x(t)，通过求导得到x(t)。在这两个解中消去作为 参变量的t，就得到x − x的关系。 例 设描述系统的微分方程为 x+ M = 0 其中 M为常量，已知初始条件x(0) = 0, x(0) = x。求其相轨迹。 解： x = −M ， 积分有 x = −Mt (1) 再积分一次有 2 2 1 x − x = − Mt (2) 由(1),(2)式消去t有 2 ( ) 2 x = − M x − x M=1 M=-1
b.直接积分法 d x dx ∵x f(, x) 上式可分解为g()d=h(x)h 则由 g(x)d=∫h(x)h 可找出x-x得关系 在上式中由x=-M可有 dx M dx →i=-Mx X-x 积分有 2=-2M(x-x。) 可见两种方法求出的相轨迹是相同的 (2)图解法 a.等倾线法 等倾线:在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线
b.直接积分法 dx dx x dt dx dx dx dt dx x = = = f (x, x) dx dx x = 上式可分解为 g(x)dx = h(x)dx 则由 = x x x x g x dx h x dx () ( ) 可找出 x − x 得关系 在上式中 由x = −M 可有 xdx Mdx x M dx dx = − = − 积分有 2 ( ) ( ) 2 1 2 2 x M x x x M x x = − − = − − 可见两种方法求出的相轨迹是相同的 （2）图解法 a.等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线