信号与系统电来 3.1LT离散系统的啊应 2特解yn(k:特解的形式与激励的形式雷同(r≥1)。 (1)激励f(k)=k(m0) ①所有特征根均不等于1时; yp(k)=Pmk吗+…十P1k+P0 ②有r重等于1的特征根时; yp(k)=k[Pmk吗+…+P1k+P (2)激励f(k)=k ①当a不等于特征根时;y(k)=Pak ②当a是r重特征根时; y,(k)=(P_k+Pr-k-+.+P,k+Po)a (3)激励f(k)=c0s(βk)或sn(βk)且所有特征根均不等 于e+j; y,(k)=Pcos(Bk)+Qsin(Bk) 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-6页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应 2. 特解yp (k): 特解的形式与激励的形式雷同(r≥1） 。 （1） 激励f(k)=km (m≥0） ①所有特征根均不等于1时; yp (k)=Pmk m+…+P1k+P0 ②有r重等于1的特征根时; yp (k)=kr [Pmk m+…+P1k+P0 ] （2） 激励f(k)=ak ①当a不等于特征根时; yp (k)=Pak ②当a是r重特征根时; yp (k)=（Prk r+Pr-1k r-1+…+P1k+P0 )ak （3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等 于e±jβ ； yp (k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)
信号与系统电来 3.1LT离散系统的啊应 例:若描述某系统的差分方程为 y(k)+4y(k-1)+4y(k-2)=f( 已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1;激励(k)=k,k0。 求方程的全解。 解:特征方程为22+4λ+4=0 可解得特征根λ1=2=-2,其齐次解 yh(k)=(C1k+C2)(2)k 特解为y(k)=P(2)k,k0 代入差分方程得P(2)k+4P(2)-1+4P(2)k2=fi(k)=2k, 解得 P=1/4 所以得特解:yn(k)=2k2,心0 代入初始条件解得C心(Ck+C2)(2)+22,k0 故全解为y(k)=y+y 第贝44|> 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-7页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k ，k≥0。 求方程的全解。 解： 特征方程为 λ 2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解 yh (k)=(C1k +C2 ) (– 2) k 特解为 yp (k)=P (2) k , k≥0 代入差分方程得 P(2) k+4P(2) k –1+4P(2) k–2= f(k) = 2 k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp (k)=2 k–2 , k≥0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2 ) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= – 1/4 3.1 LTI离散系统的响应
信号与系统电呼 3.1LT离散系统的响应 、零输入响应和零状态响应 y(k)=y(k)+y(k),也可以分别用经典法求解 y)=y〔)+yj),j=0,1,2,…,n-1 设激励f(k)在k=0时接入系统 通常以y(-1),y(-2),,y(-n)描述系统的初始状态。 y1)=y-2)=…=yn)=0 所以y(-1)=y(-1),y(-2)=y(2) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应 的初始值y(j)和yi)(j=0,1,2,…,n-1) 8贝14|4| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-8页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应 三、零输入响应和零状态响应 y(k) = yx (k) + yf (k) , 也可以分别用经典法求解。 y(j) = yx (j) + yf (j) , j = 0, 1 , 2, …, n –1 设激励f(k)在k=0时接入系统， 通常以y(–1), y(–2) , …，y(–n)描述系统的初始状态。 yf (–1) = yf (–2) = … = yf (–n) = 0 所以 y(–1)= yx (–1) , y(–2)= yx (–2),…，y(–n)= yx (–n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应 的初始值yx (j)和yf (j) ( j = 0, 1, 2 , … ，n – 1)
信号与系统电来 3.1LT离散系统的响应 例:若描述某离散系统的差分方程为 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k) 已知激励(k)=k,k≌0,初始状态y(-1)=0,y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应 解:(1)y(k满足方程y(k)+3yk-1)2y、k-2)=0 其初始状态y(1)=y(-1)=0,y、(2)=y(2)=1/2 首先递推求出初始值y(0),y1), y(k)=-3yx(k-1)-2y(k-2) y(0)=-3y(-1)-2y(-2)=-1,y(1=-3y30)-2yx(-1)=3 方程的特征根为入1=-1 2 其解为y(k)=Cx1(-1)+Cx2(-2) 将初始值代入并解得Cx1=1,Cx2=-2 所以y(k)=(-1)-2(2),心0 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第3-9页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应 例：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2 k , k≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：（1）yx (k)满足方程 yx (k) + 3yx (k –1)+ 2yx (k –2)= 0 其初始状态yx (–1)= y(–1)= 0, yx (–2) = y(–2) = 1/2 首先递推求出初始值yx (0), yx (1), yx (k)= – 3yx (k –1) –2yx (k –2) yx (0)= –3yx (–1) –2yx (–2)= –1 , yx (1)= –3yx (0) –2yx (–1)=3 方程的特征根为λ1 = –1 ，λ2 = – 2 ， 其解为 yx (k)=Cx1 (– 1) k+Cx2 (–2) k 将初始值代入 并解得 Cx1 =1 , Cx2 = – 2 所以 yx (k)=(– 1) k – 2(– 2) k , k≥0