§17.3细长压杆临界压力F的确定 1静力法 以两端铰支、细长等截面直杆为例: 当F=F的临界状态时,取微弯平衡状态: x截面上的弯矩为:M(x)=-F 梁的挠曲线方程为:dM(x)_Fa W 令h2 dx E E E则有:”+k=0 x 通解:W(x)= a sin kx+ Bcos kx A,B为积分常数,由两端支座约束条件定
§17.3 细长压杆临界压力Fcr的确定 1.静力法 以两端铰支 、细长等截面直杆为例： F=Fcr x w l x F=Fcr 当F=Fcr的临界状态时，取微弯平衡状态： x截面上的弯矩为： M (x) = −Fcrw 梁的挠曲线方程为： w EI F EI M x dx d w cr = = − ( ) 2 2 令 EI F k cr = 2 则有： 0 2 w + k w = 通解： w(x) = Asin k x+ Bcos k x A，B为积分常数，由两端支座约束条件定
通解:W(x)= a sin kx+ Bcos kx F=F 边界约束条件 cr x=0,w=0 B=0 x=l, w=0 E> asin kl=o ∵A≠0∴ sin kl=0 n兀 kl=n丌,k= 1h=1,2 F=F 挠曲线为:w(x)=Asn-x F 取n=1,最小非零解: E 两端铰支压杆临界压力|=xB欧拉公式 (171)
通解： w(x) = Asin k x+ Bcos k x F=Fcr x w l x F=Fcr 边界约束条件： x=0 , w=0 B=0 x=l , w=0 Asin kl = 0 A 0 sin kl = 0 = , = , n =1,2, l n k l n k x l n w x A 挠曲线为： ( ) = sin 取 n =1 ，最小非零解： 2 2 ( ) l k EI Fcr = = 2 2 l EI Fcr 两端铰支压杆临界压力 = 欧拉公式 （17.1）
2能量法 当F=F的临界状态时,从直线平衡一微弯平衡 应变能的改变量为 1M(x) el F=F △ T(w")dx 02EⅠ 外力功的增加为:△W=Fn△ d(Al)=ds-dx=1+(w)'dx-dx(w)dx △l=()2dx X 2 F=F EIL(w)dx △V=△F (w) dx
2.能量法 F=Fcr x w l x F=Fcr 当F=Fcr的临界状态时，从直线平衡 微弯平衡 应变能的改变量为 = = l l w dx EI dx EI M x V 0 2 0 2 ( ) 2 2 ( ) 外力功的增加为： W F l = cr d l ds dx w dx dx w dx 2 2 ( ) 2 1 ( ) = − = 1+ ( ) − = l l w dx 0 2 ( ) 2 1 V = W = l l cr w dx EI w dx F 0 2 0 2 ( ) ( )
7 对两端铰支,设(x)=ASm;可满足支座约束条件 x=0.w=0.x=l.w=0 F=F 丌2Acmn)2dxn2EⅠ E(-2A F COS dx 利用能量法可求临界压力的近似解 X F=F
F=Fcr x w l x F=Fcr 对两端铰支，设 l x w x A ( ) = sin 可满足支座约束条件 x = 0,w = 0, x = l,w = 0 2 2 0 2 0 2 2 2 ( cos ) ( sin ) l EI dx l x l dx l x A l EI F l l cr = − = 利用能量法可求临界压力的近似解
3.其他支承条件细长压杆的临界压力 两端固支端固支两端铰支 端固支 F=F 端铰支 端自由 F=F F=F F=F cr 丌2E 丌2EⅠ 丌2EI 丌EI F F (0.51 (0.71)2 (2 长度系数=0.5=0.7 =.0 H=20
3. 其他支承条件细长压杆的临界压力 2 2 l EI Fcr = 2 2 (2l) EI Fcr = 2 2 (0.7l) EI Fcr = 2 2 (0.5l) EI Fcr = 长度系数=0.5 = 0.7 = 1.0 = 2.0 F=Fcr l 两端铰支 F=Fcr l 一端固支 一端自由 F=Fcr l 一端固支 F=Fcr 一端铰支 l 两端固支