武汉大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章（7-4）常系数差分方程的求解

特解: 自由顶苟正猴或余表达式 则特解为D(n)= D sinno+D2 cosna n是差分方程的婧征方程的m次重恨时, 则特解是(Dn+D2nx+…+D1)n

•特解： •自由项为 正弦或余弦表达式 则特解为 • 是差分方程的特征方程的m次重根时， 则特解是 1 0 2 0 D(n)  D sinn  D cosn k k k k (D n D n D )n 1 1 1 2     k n

●完会解=齐蚀解十特解 ●代入边界条件求出待定柰数C1,于是 得到宠佥解的闵式 下面对上次课付论的p39、7-22题的差分方 程进行求解

完全解=齐次解+特解 代入边界条件求出待定系数 ，于是 得到完全解的闭式 Ci 下面对上次课讨论的p39、7-22题的差分方 程进行求解

解:特征方程为α+(1+a)=0 a=1+a x(n)=10 y(n)=c(1+a)"+D 将特解D代入方程:D=10+(1+a)D 10 D y(n)=c(1+a)y-0 10 y(0)=20 C=20+ 10 10 y(n)=(20+)(1-a) a 将a=0.003;n=12代入方程 y(12)0.m3010.06(10032-101=14273元

元 将 代入方程 将特解 代入方程： 解：特征方程为 ＋ [10 .06 (1.003 ) 10 ] 142 .73 0.003 1 (12 ) 0.003 ; 12 10 )(1 ) 10 ( ) (20 10 (0) 20 20 10 ( ) (1 ) 10 10 (1 ) ( ) (1 ) 1 ( ) 10 (1 ) 0                             n n n n y a n a a a y n a y c a y n c a a D D D a D y n c a D a x n a  

2已知二阶线性时不变续时间系就的动方程 yk]-5y{k-1+6yk-2]=f[k 初始条件y|0=0,y1=-1,翰入信号k=2kuk,求 就的完企响应yk] 解(1)求齐次方程yk-5yk-1H+6yk-2]=0的齐次解yh|k 特征方程为r2-5r+6=0 持征根为 F1=2,n2=3 齐次解yA闪yk]=C124+C23

2 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y[0]=0, y[1]=1, 输入信号f[k]=2 k u[k]，求系 统的完全响应y[k]。 特征根为 齐次解yh[k] 解 (1)求齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2] = 0的齐次解yh [k] 特征方程为 y[k]5y[k 1] 6y[k  2]  f [k] 5 6 0 2 r  r   r1  2,r2  3 k k yh[k]  C1 2 C2 3

2)求非齐次方程yk-5y{-11+6k-2]=的特解y[ 由输入/[凡]的形式,设方程的特解为 yn小]=A2,k≥0 将持解带入原微分方程即可求得常数4=-2。 3)求方程的全解 k]=y,[]+y,[k]=C12K+C23k-k2k-,k20 C1+(2 y]=2C1+3C2-2=-1解得C=1.C2=1 yk]=-24+3-k2k+k>0

2) 求非齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2] =f[k] 的特解yp[k] 解得 C1=1，C2= 1 由输入f [k]的形式，设方程的特解为 将特解带入原微分方程即可求得常数A=2。 3) 求方程的全解 y [k]  Ak2 , k  0 k p [ ] [ ] [ ] 2 3 2 , 0 1    1  2    y k y k y k C C k k k k k h p y[0]  C1 C2  0 y[1]  2C1  3C2  2  1 [ ] 2 3 2 , 0 1       y k k k k k k