章节题目 第四节函数单调性的判别法 单调性的判别法 单调区间求法 内|利用函数的单调性确定方程实根的个数及证明不等式 容提要 函数单调性的判别法 利用函数单调性证明不等式、确定方程根的个数 重点分析 利用函数单调性证明不等式、确定方程根的个数 难点分析 习P82:3(1)(5)(7)、4(1)(3) 题 布 备注
1 章 节 题 目 第四节 函数单调性的判别法 内 容 提 要 单调性的判别法 单调区间求法 利用函数的单调性确定方程实根的个数及证明不等式 重 点 分 析 函数单调性的判别法 利用函数单调性证明不等式、确定方程根的个数 难 点 分 析 利用函数单调性证明不等式、确定方程根的个数 习 题 布 置 P182：3（1）（5）（7）、4（1）（3） 备 注
教学内容 单调性的判别法 y=f(x) f(x)≤0 定理:设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导 ①如果在(a,b)内f(x)>0,那末函数y=f(x)在[a,b]上 单调增加;(2)如果在(a,b)内∫(x)<0,那末函数 f(x)在[a,b上单调减少 证:Vx1,x2∈(a,b)且x1<x2,应用拉氏定理得 f(x2)-f(x)=f(x2-x)(x<5<x2) x2-x1>0,若在(a,b内,f(x)>0,则f(2)>0 f(x2)>f(x1)∴y=f(x)在ab]上单调增加 若在(a,b内,f(x)<0,则f()<0,∴f(x2)<f(x1) y=f(x)在ab]上单调减少 例1讨论函数y=e2-x-l的单调性 解:∵y'=ex-1.又:D:(-∞,+∞) 在(-∞0内,y<0,函数单调减少; 在(0,+∞内,y>0,∴函数单调增加
2 教 学 内 容 一、单调性的判别法 ( ) [ , ] . (2) ( , ) ( ) 0 1 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] ( ) [ , ] ( , ) . 在 上单调减少 单调增加； 如果在 内 ，那末函数 （）如果在 内 ，那末函数 在 上 定理：设函数 在 上连续，在 内可导 y f x a b a b f x a b f x y f x a b y f x a b a b = = = 证： , ( , ), x1 x2 a b , 1 2 且 x x 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 f x − f x = f x − x x x 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f () 0, ( ) ( ). 2 1 f x f x y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f () 0, ( ) ( ). 2 1 f x f x y = f (x)在[a,b]上单调减少. 例 1 讨论函数y = e − x −1的单调性. x 解： = −1. x y e 又D :(−,+). 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 a b B A
注意函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在这一区间上的符号来判定 而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 二、单调区间求法 问题如上例,函数在定义区间上不是单调的,但在各个部分区间上单调 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的分界点 方法:用方程∫(x)=0的根及∫(x)不存在的点来划分函数, f(x)的定义区间然后判断区间内导数的符号 例2确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解:∵D:(-∞,+∞) f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 解方程f(x)=0得,x=1,x2=2. 当-∞<x<l时,f(x)>0,∴在(-∞1上单调增加; 当<x<2时,f(x)<0,∴在,2上单调减少; 当2<x<+时,f(x)>0,∴在2,+∞)上单调增加 单调区间为(-∞,[1,2y[2+∞) 例3确定函数f(x)=x2的单调区间
3 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定， 而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 二、单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． ( ) , . ( ) 0 ( ) 的定义区间 然后判断区间内导数的符号 方法：用方程 的根及 不存在的点来划分函数， f x f x = f x 例 2 ( ) 2 9 12 3 . 确定函数 f x = x 3 − x 2 + x − 的单调区间 解：D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 解方程f (x) = 0得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时，f (x) 0,在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时，f (x) 0,在[1,2]上单调减少； 当2 x +时，f (x) 0,在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]，[1,2]，[2,+). 例 3 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间
解:∵D:(-∞,+∞).f (x)= (x≠0) 当x=O时,导数不存在 当-∞<x<0O时,f(x)<0,∴在(-∞,0上单调减少; 当<x<+∞时,f(x)>0,∴在0,+∞)上单调增加; 单调区间为(-∞,0y[0,+∞) 注意区间内个别点导数为零不影响区间的单调性 例如,y=x2,yx=0,但在(-∞+∞)上单调增加 例4当x>0时,试证x>h(1+x)成立 证:设f(x)=x-h(1+x),则f(x) 1+x f(x)在0,+∞)上连续,且(O,+∞)可导,f(x)>0, ∴在0,+∞)上单调增加; f(0)=0,∴当x>0时,x-h(1+x)>0,即x>h(1+x) 三、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用 定理中的区间换成其它有限或无限区间,结论仍然成立 应用:利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式
4 解：D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时，f (x) 0,在(−,0]上单调减少； 当0 x +时，f (x) 0,在[0,+)上单调增加； 单调区间为 (−,0]，[0,+). 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加. 例 4 当x 0时,试证x ln(1+ x)成立. 证： 设f (x) = x − ln(1+ x), . 1 ( ) x x f x + 则 = f (x)在[0,+)上连续,且(0,+)可导，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (0) = 0, 当x 0时，x − ln(1+ x) 0, 即x ln(1+ x). 三、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式
思考题 若f(O)>0,是否能断定f(x)在原点的充分小的邻域内单调递增? 思考题解答 不能断定例如f(x)x+2x2sim-,x≠0 0 f(0)=lim(1+2·△ 但f(x)=1+4xsn--201 当x= 时,f(x)=1+ 0 (2k+)丌 (2k+=)丌 时f(x)=-1<0 2k丌 注意k可以任意大,故在x0=0点的任何邻域内,f(x)都不单调递增
5 思考题 若 f (0) 0 ，是否能断定 f (x) 在原点的充分小的邻域内单调递增？ 思考题解答 不能断定. 例如 = + = 0, 0 , 0 1 2 sin ( ) 2 x x x x x f x f (0) = ) 1 lim (1 2 sin 0 x x x + → =1 0 但 , 0 1 2cos 1 ( ) =1+ 4 sin − x x x f x x 当 ) 2 1 (2 1 + = k x 时， 0 ) 2 1 (2 4 ( ) 1 + = + k f x 当 k x 2 1 = 时 f (x) = −1 0 注意 k 可以任意大，故在 x0 = 0 点的任何邻域内， f (x) 都不单调递增．