《高等数学》课程电子教案：第四章（4.2）换元积分法

章节题目 第二节换元积分法 第一类换元法:「八o(x)]p(x)t=可f(a)dhd-x 内|第二类换元法:∫()mwo 容提要 利用第一类换元法求不定积分时如何凑微分 利用三角代换、倒代换、根式代换求不定积分 重点分析 凑微分法求不定积分 难点分析 253:2(双) 题布置 备注

1 章 节 题 目 第二节 换元积分法 内 容 提 要 第一类换元法：  f [(x)](x)dx =  = ( ) [ ( ) ] u du u x f  第二类换元法：   ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt      = =  重 点 分 析 利用第一类换元法求不定积分时如何凑微分 利用三角代换、倒代换、根式代换求不定积分 难 点 分 析 凑微分法求不定积分 习 题 布 置 P253：2（双） 备 注

教学内容 第一类换元法 问题:「cos2xdhx=?=sin2x+C, 解决方法:利用复合函数,设置中间变量 过程:令t=2x→dx=-dt I cos 2xdx=cos tdt=>sin(+CsI -sin 2x+C 在一般情况下: 设F()=f(a则Jf(a)dm=F()+C 如果u=(x)(可微) dFL(x)]=flo(x)lo(x)dx 「/(x)(x)x=F1(x)+C=(nuh1l=,由此可得换元法定理 定理1:设f(u)具有原函数,u=q(x)可导,则有换元公式 (x)l(x)x=可f(a)dhl-第一类换元公式〔凑微分法) 说明:使用此公式的关键在于将」g(x)t化为9(x)9(x)d 观察重点不同,所得结论不同 例1求 A(-)sin 2xdx=sin 2xd(2x)=-3cos 2x+C, N(=)sin 2xdx =2 sin x cos xdx =2 sin xd(sin x)=(sin x)+C 解(三)m2xdx=2 sinxcosxdx=-2 cos xd(cos x)) -(cosx)+C 例2求 解: 3+2x23+2x(3+2x) 3+2,女。1 (3+2x)dh du 2J3+2 lna+C=-h(3+2x)+

2 教 学 内 容 一、第一类换元法 问题：  cos 2xdx = ? = sin 2x + C, 解决方法：利用复合函数，设置中间变量. 过程：令 t = 2x , 2 1  dx = dt  cos 2xdx tdt  = cos 2 1 = sin t +C 2 1 sin 2 . 2 1 = x +C 在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) .  f u du = F u +C 如果 u = (x) （可微）  dF[(x)] = f [(x)](x)dx   f [(x)](x)dx = F[(x)]+C =  = ( ) [ ( ) ] u du u x f  由此可得换元法定理 定理 1：设 f (u) 具有原函数， u = (x) 可导，则有换元公式  f [(x)](x)dx =  = ( ) [ ( ) ] u du u x f  第一类换元公式（凑微分法） 说明：使用此公式的关键在于将  g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) .  f  x  x dx 观察重点不同，所得结论不同. 例 1 求 sin 2 .  xdx 解（一）  sin 2xdx  = sin 2 (2 ) 2 1 xd x cos 2 ; 2 1 = − x +C 解（二）  sin 2xdx  = 2 sin x cos xdx  = 2 sin xd(sin x) (sin ) ; 2 = x +C 解（三）  sin 2xdx  = 2 sin x cos xdx  = −2 cos xd(cos x) (cos ) . 2 = − x +C 例 2 求 . 3 2 1 dx x  + 解： (3 2 ) , 3 2 1 2 1 3 2 1  +  + =  + x x x dx x  3+ 2 1 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1  +  + =  du u  = 1 2 1 = ln u +C 2 1 ln( 3 2 ) . 2 1 = + x +C

般地∫f(ax+b)=2-()onl- 例3求 -dx x(+2In x 解 x(1+2nx) 1+2hx - d(+2 In x) =1+2hx 2J1+2hnx In u+C In(1+2In x)+C 例4求 (1 解 d(1+x) (1+x)(1 1+x2(1+x)2 解 2+ x 例6求 -dx 解 da dx 4 +1 例7 -dx

3 一般地  f (ax + b )dx =  u du u =ax + b f a [ ( ) ] 1 例 3 求 . (1 2ln ) 1 dx x x  + 解 ： dx x x  ( 1 + 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x  + = ( 1 2ln ) 1 2ln 1 21 d x x + + =  u = 1 + 2ln x  = du u1 21 = ln u +C 21 ln( 1 2ln ) . 21 = + x + C 例 4 求 . ( 1 ) 3 dx xx  + 解 ： dx xx  + 3 ( 1 ) dx x x  ++ − = 3 ( 1 ) 1 1 ] ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 [ 2 3 d x x x + + − + =  1 2 2 2 ( 1 ) 1 1 1 C x C x + + + + + = − . 2(1 ) 1 1 1 2 C x x + + + + = − 例 5 求 . 1 2 2 dx a x  + 解 ： dx a x  + 2 2 1 dx a a x  + = 2 2 2 1 1 1     + =  ax d a a x 2 1 1 1 arctan . 1 C ax a = + 例 6 求 . 8 25 1 2 dx x x  − + 解 ： dx x x  − 8 + 25 1 2 dx x  − + = ( 4 ) 9 1 2 dx x   +   − = 1 3 41 312 2   −  +   − =  3 4 1 3 41 31 2 x d x . 3 4 arctan 31 C x + − = 例 7 求 . 1 1 dx e  x +

解 -dx d x -d x 1+e)+C 例8求(1-2)e 解 De d(x+-) 例9求 解:原式= 12x+3dx-1(x-t 1〔、2x+30(2x+3)-8 x -ld (2x-1) +C. 例10求「 1-coS x 解: d x coS x (1+cos x X1-cos x) dx 1+cos x ∫xh-2a- d (sin x) sin x cot x+ sin x 例11求|sin2x.cos3xdh 解:∫sm2 xcos xdx-mn2x: cos'xd(sin x o)d(sin x)=l( 2 -sin'x-=sin 5x+=sin'x+C 说明:当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次项去凑微分

4 解： dx e  x 1+ 1 dx e e e x x x  + + − = 1 1 dx e e x x          + = − 1 1 dx e e dx x x   + = − 1 (1 ) 1 1 x x d e e dx + + = −   x ln(1 e ) C. x = − + + 例 8 求 ) . 1 (1 1 2 e dx x x x  + − 解： , 1 1 1 2 x x x = −         + e dx x x x  +  − 1 2 ) 1 (1 ) 1 ( 1 x e d x x x = +  + . 1 e x C x = + + 例 9 求 . 2 3 2 1 1 dx x x  + + − 解：原式 ( )( ) dx x x x x x x  + + − + − − + − − = 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 x dx x dx   = + − 2 −1 4 1 2 3 4 1 2 1 (2 1) 8 1 2 3 (2 3) 8 1 = + + − − −   x d x x d x ( ) ( 2 1) . 12 1 2 3 12 1 3 3 = x + − x − +C 例 10 求 . 1 cos 1  + dx x 解：  + dx 1 cos x 1 ( )( )  + − − = dx x x x 1 cos 1 cos 1 cos  − − = dx x x 2 1 cos 1 cos  − = dx x x 2 sin 1 cos   = − (sin ) sin 1 sin 1 2 2 d x x dx x . sin 1 cot C x = − x + + 例 11 求 sin cos . 2 5  x  xdx 解：  x  xdx 2 5 sin cos  = sin cos (sin ) 2 4 x xd x  = sin (1−sin ) (sin ) 2 2 2 x x d x  = (sin − 2sin + sin ) (sin ) 2 4 6 x x x d x sin . 7 1 sin 5 2 sin 3 1 3 5 7 = x − x + x +C 说明：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分

例12求∫cos3xcos2xd W: cos AcosB=-[cos(A-B)+COS(A+ b)l, 3 (cos x+cos 5x) 2 cos 3x cos 2xdx=-I(cos x+cos 5x)dx =sin x+sin 5x+C 例13求 解(-) jesc xda=∫ sin x 2 sin-cos )-:4m引 In tan -+C =h(cscx-cotx)+C.(使用了三角函数恒等变形) 解 CSC x sin x =丁d(sx u=COSx l 21+l 类似地可推出 isecxdx= n(sec x+tnx)+C 例14设f(sn2x)=cos2x,求∫(x) 解:令=sn2x→ ()=1 例15求∫ 2

5 例 12 求 cos3 cos 2 .  x xdx 解： [cos( ) cos( )], 2 1 cos Acos B = A− B + A+ B (cos cos5 ), 2 1 cos3x cos 2x = x + x   x xdx = (cos x + cos5x)dx 2 1 cos3 cos 2 sin 5 . 10 1 sin 2 1 = x + x +C 例 13 求 csc .  xdx 解（一）  csc xdx  = dx sin x 1  = dx x x 2 cos 2 2sin 1              = 2 2 cos 2 tan 1 2 x d x x        = 2 tan 2 tan 1 x d x C x = + 2 ln tan = ln(csc x − cot x) +C. （使用了三角函数恒等变形） 解（二）  csc xdx  = dx sin x 1  = dx x x 2 sin sin  − = − (cos ) 1 cos 1 2 d x x u = cos x  − = − du u 2 1 1        + + − = − du u 1 u 1 1 1 2 1 C u u + + − = 1 1 ln 2 1 . 1 cos 1 cos ln 2 1 C x x + + − = 类似地可推出 sec ln(sec tan ) .  xdx = x + x + C 例 14 设 (sin ) cos , 2 2 f  x = x 求 f (x) . 解：令 u x 2 = sin cos 1 , 2  x = −u f (u) =1− u, f u ( u)du  ( ) = 1− , 2 1 2 = u − u +C . 2 1 ( ) 2 f x = x − x +C 例 15 求 . 2 4 arcsin 1 2 dx x x  −